本科毕业论文---简单的线性规划教学设计探究.doc

本科生毕业论文（设计）

题目： 简单的线性规划教学设计探究

作 者 单 位 数学与信息科学学院

简单的线性规划教学设计探究

摘要: 新理念下的教学设计与传统的备课相比有很大的差异, “简单的线性规划”作为高中新教材增加的内容,是数学规划理论中的重要分支.鉴于教育实习中一线优秀数学教师及高等师范院校学生对教学设计的不同关注点,本文采用文献法和访谈法,以寻求进行简单的线性规划的教学设计方法,并辅以案例说明.
关键词: 教学设计; 线性规划; 案例

Simple linear programming teaching design Inquiry

Abstract: Under the new concept of teaching design and preparation compared to the traditional big difference, "a simple linear programming" as a new high school textbooks to increase the content of the theory of mathematical programming is an important branch. In view of teaching practice in the forefront of outstanding math teachers and students of the Teachers College of Higher Education design the different concerns, the paper used literature and interviews to find a simple linear programming design methods of teaching, supplemented by case note.
Key words: instructional design; linear programming; case

课堂教学既是传授知识的一种形式,也是培养能力的一个舞台.数学教师正是借助这个舞台孜孜不倦地向学生传播数学真理.数学教师在这个舞台上既是演员——身临其境地诠释数学知识,领略数学美景；又是导演——最大限度地调动学生的内在激情,引导学生探索数学奥秘.由此看来,教学舞台效果要取决于数学课堂教学设计.线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,是研究如何使用最少的人力、物力去最优地完成科学研究、工程设计、经济管理中实际问题的专门科学.因为它可以为我们提供最合乎经济原则的科学工作方法,所以在当前“知识经济”的潮流中越来越能发挥出重要作用.在这部分的教学中,努力培养学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用,进而培养学生学习数学的兴趣,应用数学的意识和解决实际问题的能力、数形结合的思想.强调用不等式的现实背景和实际应用,把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具,刻画优化问题的一种数学模型.

1 教学设计的研究背景及研究现状
1.1 教学设计的定义
教学设计作为一种理论和一门新兴的教育科学,孕育于二次世界大战之后的现代媒体和各种学术理论被综合应用于教育、教学的年代.到20世纪60年代末以它独特的知识理论体系和结构而立足于教育科学之林.它是以解决教学问题为宗旨的一门新兴科学,是教育技术学的重要分支.
关于教学设计的定义,不同的学者有着不同的观点.斯密斯和雷根认为:“教学设计是指运用系统方法,将学习理论与教学理论的原理转换成对教学资料和教学活动的具体计划的系统化过程”.乌美娜在《教学设计》一书中指出:“教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标,建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程”.还有的学者认为,教学设计是运用系统方法,将学习理论与教学理论的原理转换成对教学目标（或教学目的）、教学条件、教学方法、教学评价……等教学环节进行具体计划的系统化过程.
纵观这些定义,它们有一个共同特点:教学设计是以教学理论、学习理论和传播理论为基础,运用系统方法分析和研究教学需求,设计解决教学问题的方法和步骤,形成教学方案,并对其方案实施后的教学效果做出价值判断的规划过程和操作程序.其目的是优化教学过程,提高教学效果.
1.2 传统教学设计存在的问题
教学设计在中国的历史并不长,其理论还处于不断丰富和发展之中,故不能避免在实践层面存在着一些问题:
（1）理论不能很好地应用到教学实践当中
经过我国教学设计专家20多年的努力,教学设计的理论发展已具一定规模,但教学设计的本土化研究是与当前的教学实践相适应.目前,我们对教学设计的研究几乎都是西方的教育观念、学习理论和教学模式,因此,也就造成了理论不能很好地应用到实际的现状.
（2）教师对教学设计理论和方法的理解与掌握普遍达不到能够应用的程度
目前在对教师的培训中,大多是对教学设计理论和一般方法进行介绍,很少能结合案例来介绍如何操作,这就造成了许多教师对教学设计的理论和方法一知半解,更不要说应用了.
（3）对生成性教学与教学设计关系存在误解
新课程倡导生成性教学,而“教学设计”是对教学的“预设”,二者看似对立,互不相融,实际上这也是存在于许多教师中的疑惑,而这种观点是不正确的.因为一方面,“预设”更多的是需要关注活动的大环节,要对学生的开放性问题的各种反应有一个尽可能充分的估计,以更有效地宏观控制好教学过程,因此“预设”是为了更好地“生成”.另一方面,互动生成需要教师有较强的灵活驾驭课堂的能力,只有这样才能使教学设计达到最大功效.
1.3 新课程理念下的教学设计
新一轮高中数学课程改革从理念、内容到实施,都有较大变化,“要实现数学教育教学改革的目标,教师是关键,教学实施是主渠道,而教学设计是实现课程目标、实施教学的前提和重要基础”.新课程改革在内容设置上主要是删除了那些陈旧、繁杂、在现实生活中用处不大的内容,增加一些现代社会迫切需要的知识,如算法、概率和统计以及微积分等知识.提出了以人为本的先进教学理念,强调在传授知识的同时,更应重视学生的情感、态度和价值观的培养,教育的最终目的是培养健全的人,对社会有用的人.为此,本次课程改革对高中数学教学提出了以下新的要求:
（1）数学教学要以学生发展为本
随着时代的发展,各行各业都对公民的数学素养提出了更高的要求,不同行业对数学的要求是不尽相同的,学生的兴趣、志向与自身条件也不相同,每个人未来发展所需要的数学基础是不一样的,因此选择性和多样性是本次数学新课程的一个基本理念,它的着眼点是学生的发展,希望能为每个学生提供更好的发展条件和基础.但是,由此带来的学生如何选择课程和如何制定学习计划等新问题.因此,教学首先的任务是基于学生原有知识基础和认知发展水平的了解,以每个学生的终生学习和终生发展为着眼点,指导学生合理地选择课程,制定学习计划,使他们能够顺利地、有效地进行学习,获得在原有基础上的不同发展.
（2）用与时俱进的眼光重新审视基础知识和基本技能
随着时代的前进和数学的发展,高中数学的基础知识也在发生着变化,原有的对某些知识的教学要求随着时代的发展就有可能被删改,如在三角函数中降低了对恒等变型的要求；而为了适应时代的发展需要,一些新的知识就要添加进来,比如线性规划.因此教学中要用发展的眼光与时俱进地认识基础知识和基本技能,对于一些核心的概念和通法通则,要在整个高中的教学中螺旋上升,让学生多次接触和训练,不断加深认识和理解,提高熟练程度.
（3）数学教学要注重联系
数学教学要打好学生的基础,发展学生的能力.同时,教学中教师要指导学生用数学知识解决一些学生力所能及的实际问题,使学生亲身感受数学与现实生活的联系,体会数学在现实生活中的应用价值.另外,在教学中要鼓励、引导学生从实际情景中发现数学问题,并归结为数学模型,进而尝试用有关的知识和方法去解决问题.因为只有这样的学习,才能使学生感受到学习数学的意义和价值,从而对数学的科学价值、应用价值、文化价值有较为全面的认识,进而对数学的教育价值有所感悟和认识,促使学生产生学习的需要.
（4）关注数学的文化价值,促进学生科学观的形成
数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.数学教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值,开阔视野,探寻数学发展的历史轨迹,提高文化素养,养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍的追求真理精神.在教学中,尽可能结合高中数学内容,介绍一些对教学发展起重大作用的历史事件和人物,反映数学在人类社会进步、人类文明建设中的作用,同时也反映社会发展对数学发展的促进作用.
（5）改善和丰富当前的教与学的方式
当前大多数数学课堂教学中,教师灌输式地讲授,学生以机械的模仿、记忆的方式对待数学学习的状况仍然占主导地位.现代教学理论指出,学生的数学学习活动不应该只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、动手实践、合作交流等都是学习数学的重要方式.在教学中,鼓励学生积极参与教学活动,倡导师生互动,教学的过程中既要有教师的讲授和指导,也要有学生的自主探索和交流.教师要创设适当的教学情景,鼓励学生发现数学规律和问题解决的途径,使他们经历知识的形成过程.
高中数学新课程改革的理念要落到实处,只有在教学上得以“物化”才能真正发挥其作用,因此新课改实施的关键在于教师.孔凡哲教授认为,教师的专业能力包括教学设计的能力、教学实施的能力和反思能力,因此高中数学教师要提高自己的教学水平,成为专业型教师,就必须注意提高自己的教学设计能力.
1.4 将《简单的线性规划》教学设计作为研究对象的原因
“简单的线性规划”是现行新编高中数学教材(试验修订本) 中新增加的一节内容.我们知道,线性规划是直线方程的一个简单应用.从教材的内容安排上来看,本小节内容可分为两部分:前部分是“二元一次不等式表示平面区域”, 这部分内容的教学目的是不仅让学生了解二元一次不等式表示平面区域,并能准确地画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域.它是学习本小节内容的前提基础；后部分是“线性规划”,这部分内容的教学目的是不仅要让学生了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念,而且要让学生了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值,让学生掌握利用线性规划图解法解决一些实际生活中简单的最优问题.因此,它是本小节的核心内容.
这一新内容的增加,无疑增加了数学知识的工具性和实用性.虽然本节内容只是规划论中的极小一部分,但为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法—数学建模法,因此教师如何让学生牢固掌握本小节内容显得尤为重要.
2 简单的线性规划教学设计研究
2.1 简单的线性规划的教学设计内容
教材安排了两个实际问题,分别属于两种类型:第一种类型是给一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,得到的效益最大；第二种类型是给定某项任务,问怎样安排能使完成这项任务的人力、物力资源最小.其中第二个例子还要求最优解是整数解,这也是实际问题中的实际需要.
（1）第一课时是二元一次不等式表示的平面区域的教学
这是关于基础知识的教学.对于这一部分内容的掌握程度,直接影响着线性规划问题中可行域的确定.因此,这一内容在本节中起着承前启后的作用.本节课的教学应突出数学中的化归思想、数形结合思想,培养学生识图、画图的观察能力和联想能力.在教学中采用计算机辅助教学,创设问题的情景,帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述几何图形问题.然后进行例题的分析,加深理解不等式(或不等式组)所表示的平面区域的确定步骤,启发学生进行归纳总结不等式(组)确定平面区域的方法即“直线定界, 特殊点定域”.在学生得出平面区域的表示方法后,为了进一步深化认识,提高思维能力和创新意识,让学生们观察前面例题的图形,进而启发提问: 表示平面与直线 的位置关系如何？是在直线的上方还是下方？通过问题的提出与进一步的探索,可使学生们深化对知识的理解,既培养了学生的化归思想和数形结合的思想,又在一定层次上培养了学生的创造性思维能力,给学生以成功的体验.
（2）在其后的两个课时中, 重点是线性规划问题的图解法,难点是如何把实际问题转化为线性规划问题并给出解答
教学过程的设计思路是立足于教学目标,以知识为载体,渗透数形结合及化归的数学思想,以计算机辅助教学为教学手段,以发展学生的思维能力,提高学生观察、联想能力及解决实际问题为目的.教学过程中创设一个导情引思的问题为情景,即从一个错误的代数例子出发,引导学生主动地参与,积极探求问题的“错误”所在,从而思考问题解决的途径及方法.
通过启发与引导,将该问题转化为几何问题,利用几何画板的动画效果,探索出所求的极值,进而完成最值问题的解答.参照问题解决的方法, 进而提出线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解的概念,归纳出解线性问题的方法:图解法；总结出解线性规划问题的基本步骤: 画、移、求、答.
为了提高思维的深刻性, 加深对知识的理解程度,进行变式训练,改变区域,改变变量 y 的符号,让学生通过实践,平行移动直线, 得到一组等值线, 得出的最值与直线的斜率有关.即当时与时的最值相反.
（3）线性规划在实际生产中的应用是一个建模问题,也是本节的中心问题
如何把实际问题转化成线性规划问题(即建模),并给出解答是本节的重点、难点有两个: 一是建模, 二是寻找整点(不是所有问题, 根据实际问题需要). 为了突破难点, 在教学过程中列出约束条件, 建立目标函数,作出可行域, 在动画中显示平行直线的移动, 最先经过或最后经过的整点便是最优整点解.
线性规划问题一般有四种情况:
① 唯一最优解
例1 目标函数 约束条件
最优解为,对应的最优值
② 无穷多个最优解
例2 目标函数,约束条件同例1
③ 无界解
例3 目标函数 约束条件
④ 无可行解
例4 目标函数 约束条件
出现②和③这两种情况,一般认为是线性规划问题的数学模型有错误.出现②,说明缺乏必要约束条件；出现③,说明存在互相矛盾的约束条件.
另外,在建模时要考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一,解决这类问题最常用和最重要的一种方法就是图解法,它在实际生产、生活中有着广泛的应用,学会图解法也是教学的基本要求.随着信息社会和市场经济的发展,一个公民是否具备优化思想和运用数学去思考问题的意识显得非常重要.
2.2 新理念下影响教师进行线性规划教学设计的因素分析
在数学知识体系内部,线性规划占据着非常重要的地位,而且在现实生活当中有着很大的应用价值,对学生能力的培养也起到了不可估量的作用,因此教师要重视线性规划的教学.那么,在新的理念下,如何进行线性规划的教学设计才能将知识更好地传给学生,才能对学生的发展有帮助,才可以称得上好的教学设计？哪些因素影响了教师进行线性规划的教学设计？为此笔者从一线优秀数学教师、高等师范学校的学生两个维度进行了调查研究.
2.2.1 一线优秀教师如何看待《简单的线性规划》的教学设计
教师是教学的实施者,是教学设计的实践者,尤其是优秀的教师,他们积累了大量的教学经验,因此有绝对充分的发言权,为此,我采访了西安电子科技大学附属中学的几位特级和高级教师,现将他们的观点对比分析如下:
（1）重视教学情境的设置以及教学案例的使用
他们一致认为要使学生学好数学,首先要培养学生的学习兴趣,而恰当的教学情境及教学案例的使用不但能更好的启发学生,激发学生的学习兴趣,而且有助于增强学生的应用意识.
（2）对《简单的线性规划》教学设计说法不一
有的教师觉得应该先举实例,让学生自己体会简单的线性规划的特点,组织同学讨论,并启发学生发现知识,因为这对于培养学生的数学学习能力,激发和培养学生学习数学的兴趣,增强学生的应用意识,增强学生合作、探究的能力都非常有帮助.有的教师则持另一种态度,他们认为由于时间的原因,可能会减少把知识转化为能力的环节,而以教师讲解为主的教学设计则可以在有限的时间内传授给学生更多的知识,教学效果更好,而且对于学习能力、接受能力差的学生更适合这种风格的教学设计.
（3）在教学设计过程中,适当地向学生介绍数学史的知识
数学史知识的引入不但能激发学生学习数学的兴趣,提高他们的数学文化底蕴,而且能让他们更加懂得有关知识的形成过程,比如实践应用的需要、知识本身发展的需要等,从而提高学生的数学应用意识.
2.2.2 高等师范学校的学生进行教学设计时关注的要点
高等师范学校的学生由于接受比较多的课程改革的新思想,没有形成固定的教学模式,所以他们在进行教学设计时,能够用新的课程理念作为理论依据,与优秀教师的关注点有所不同,主要体现在以下几点:
（1）注重创设问题情境,激发学生兴趣
新课程指出:“数学学习不仅仅是记忆一些重要的数学结论,还要发展数学思维能力和积极的情感态度.” 注重学生在数学学习过程中获得体验,产生学习数学的积极情感,也是新课程所提倡的.在教学设计中,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题,提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.
（2）注重借助现代化教学手段,改变课堂教学模式
如果教师总是采用一根粉笔、一张嘴、一块黑板的模式来讲课,长此以往,学生就会感到厌倦,对学习数学没有兴趣.我们可适当根据本章内容借助现代化教学手段来改变我们的课堂教学模式.利用PowerPoint（幻灯片）展示问题情境或例题,方便快捷,节约课堂时间；利用几何画板演示,生动直观,易于理解,激发学生学习数学的兴趣.不仅如此,有些学生还大胆设计了让学生自己动手上机操作,通过自己的活动得出结论的环节.
（3）注重教学设计中各个知识点之间教师语言的顺畅连贯
教师的语言是课堂教学的必要条件,是师生之间沟通的桥梁,教师的语言在教学过程中是否具有承上启下、层层深入的作用,也是衡量一个新手教师的重要方面.因此,新教师在教学设计中除了要把教学内容搞清楚以外,就尤其注重每个环节的衔接语.
2.3 新理念下的简单的线性规划教学设计应该注意的问题
（1） 教学内容的设计要注意体现数学的文化价值和人文精神
在高中数学教学内容的设计和编写过程中,应将数学的文化价值渗透在各部分内容之中,并采取多种形式,如与具体数学内容相结合或单独设置专栏作专题介绍,列出课外阅读的参考书目及相关资料来源,以便学生自己查阅、收集整理.如在线性规划概念的教学过程中,深入浅出地介绍线性规划概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要是紧密相关的.也可以讲故事的形式,介绍1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法,为这门学科奠定了基础,让学生体会数学家刻苦钻研的精神.这样既渗透了数学文化,又体现了人文精神.
（2） 教学素材的选取要注意体现数学的本质,关注与实际的联系,关乎学生的发展水平
教学设计素材的选取,首先要有助于反映相应数学内容的本质,有助于学生对数学的认识和理解,激发他们学习数学的兴趣,充分考虑学生的心理特征和认知水平,素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性.事实上,高中生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识,这些是学生进行高中数学学习的基本出发点.在教学设计中,选择学生感兴趣的、与其生活密切相关的素材,现实世界中的常见现象或其他科学的实例,展现数学的概念、结论,体现数学的思想、方法,反映数学的应用,使学生感到数学就在身边,数学的应用无处不在.
（3） 教学过程的设计要注意发展学生的数学应用意识
由于计算机的出现和现代信息技术的飞速发展,使数学应用得到了前所未有的发展,数学渗透到几乎每一个科学领域和人们日常生活的每一个角落,人们越来越认识到“高科技本质上是数学技术”.因此,强调数学的广泛应用具有重要的现实意义.在教学过程设计中注意渗透研究性学习和“数学建模”的思想,可以帮助学生体验数学在解决实际问题中的作用.在研究性学习中培养学生研究问题的习惯,对于考查应用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的学习兴趣,提高学生的自学能力都很有帮助.
（4） 教学设计要充分体现现代信息技术与数学教学内容、教学形式的整合
随着时代的发展,现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容数学、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响.如何使现代信息技术为学生的数学学习提供更多的帮助使教学设计值得关注的问题.在教学设计中,注意恰当使用信息技术,可帮助学生更好地理解数学概念和性质,增强学生对数学学习的兴趣.
3 教学设计案例
3.1 简单的线性规划（案例1）
●教学目标
（一）教学知识点：二元一次不等式表示平面区域.
（二）能力训练要求：会用二元一次不等式表示平面区域.
（三）德育渗透目标
1.渗透数形结合思想.
2.培养学生应用意识.
●教学重点 二元一次不等式表示平面区域.
●教学难点
准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域.
● 教学方法 讨论法
结合前面所学的以二元一次方程的解为坐标的点的集合是一条直线,提出以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是什么图形呢？从而展开师生讨论,让学生加深对二元一次不等式表示平面区域的理解.
●教具准备 投影片三张
第一张:记作§7.4.1 A 内容:课本P60 2（1）
2、（1）

§7.4.1 A
第二张:记作§7.4.1 B 内容:课本P60练习1（1）、（3）
1（1） （3）

§7.4.1 B （1） §7.4.1 B （3）

第三张:记作§7.4.1 C 内容:课本P60 2（2）

（2）

§7.4.1 C
●教学过程
Ⅰ.课题导入
通过前几节的学习,我们知道,在平面直角坐标系中,以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点和的一条直线,那么,以二元一次不等式（即含有两个未知数,且未知数最高次数都是的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？
Ⅱ.讲授新课
［师］在平面直角坐标系中,所有的点被直线分成三类:
（1）在直线上；
（2）在直线的左下方的平面区域内；
（3）在直线的右上方的平面区域内.
即:对于任意一个点,把它的坐标代入,可得到一个实数,或等于0,或大于0,或小于0.
若,则点在直线上.
我们猜想:对直线右上方的点,成立；
对直线左下方的点,成立.
［师］我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.
不妨,在直线上任取一点,过点P作平行于x轴的直线,在此直线上点P右侧的任意一点,都有,,
所以,，,即.
再过点P作平行于y轴的直线,在此直线上点P上侧的任意一点,都有, .
所以,,,即.
因为点是直线上的任意点,所以对于直线右上方的任意点,都成立.
同理,对于直线左下方的任意点,都成立.
如图1所示: 图1
所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是在直线右上方的平面区域.
如图2所示:
那么,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是在直线左下方的平面区域. 图2
总之,二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.
由于对在直线同一侧的所有点,把它的坐标代入,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点,从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地,当时,常把原点作为此特殊点）
［师］下面我们再来看两例子.
［例1］画出不等式表示的平面区域.
解:先画直线（画成虚线）.
取原点,代入,
∵,
∴原点在表示的平面区域内,不等式表示的区域如图3: 图3
［例2］画出不等式组表示的平面区域.
分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解:不等式表示直线左上方的点的集合,表示直线上及左下方的点的集合,表示直线上及左方的点的集合.
（打出投影片§7.4.1 A)
［师］结合投影片上的图进行讲解.
不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域.
Ⅲ.课堂练习
［生］自练课本P60 1（1）、（3）,2（1）
［师］（陆续打出投影片§7.4.1 B、C.) 结合学生所做进行讲评.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习,要掌握“二元一次不等式表示平面区域”.
注意:（1）表示直线的某一侧的平面区域，不包括边界的直线；
（2）所表示的平面区域包括边界直线.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4 1.
（二）1.预习内容:课本P60～P62.
2.预习提纲:
（1）何为线性规划问题？其相关概念是什么？
（2）线性规划有何意义？
●板书设计

课 题

二元一次不等式 [例1] 课时小结

表示平面区域 [例2］

3.2 简单的线性规划（案例2）
●教学目标
（一）教学知识点
1.线性规划问题,线性规划的意义.
2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
3.线性规划问题的图解方法.
（二）能力训练要求
1.了解简单的线性规划问题.
2.了解线性规划的意义.
3.会用图解法解决简单的线性规划问题.
（三）德育渗透目标
让学生树立数形结合思想.
●教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题.
●教学难点 准确求得线性规划问题的最优解.
●教学方法 讲练结合法
教师可结合一些典型例题进行讲解,学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性规划问题.
●教具准备
多媒体课件（或幻灯片）记作§7.4.2 A 内容:课本P60图7—23 §7.4.2 A
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课,咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域,下面,我们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.
Ⅱ.讲授新课
首先,请同学们来看这样一个问题.
设,式中变量x、y满足下列条件
求的最大值和最小值.
分析:从变量x、y所满足的条件来看,变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.
(打出投影片§7.4.2 A)
［师］（结合投影片或借助多媒体课件）
从图上可看出,点不在以上公共区域内,当,时,.点在直线上.
作一组与直线平行的直线（或平行移动直线) .
可知,当在的右上方时,直线上的点满足,即.
而且,直线往右平移时,随之增大.
（引导学生一起观察此规律）
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中,以经过点A的直线所对应的最大,以经过点B的直线所对应的最小.
所以:, .
诸如上述问题中,不等式组是一组对变量x、y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件. 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,我们把它称为目标函数.由于又是关于x、y的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数.
另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示.
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.例如:我们刚才研究的就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题.
那么,满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解.
Ⅲ.课堂练习
［师］请同学们结合课本P64练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求的最大值,使式中的x、y 满足约束条件
解:不等式组表示的平面区域如图4所示:
当, 时,,点在直线上.
作一组与直线平行的直线
. 图4
可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中,以经过点A的直线所对应的最大.所以.
（2）求的最大值和最小值,使式中的x、y满足约束条件
解:不等式组所表示的平面区域如图5所示:
从图示可知,直线在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,以经过点的直线所对应的最小,以经过点的直线所对应的最大.
所以 .
图5
Ⅳ.课时小结
通过本节学习,要掌握用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:
1.首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设,画出直线.
3.观察、分析,平移直线,从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P65习题7.4
（二）1.预习内容:课本P61～64.
2.预习提纲:
怎样用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
●板书设计
课 题
有关概念 复习回顾
约束条件 二元一次不等式表示平面区域
线性约束条件
目标函数
线性目标函数 例题讲解 课时小结
线性规划问题 图解法解决线性规划
可行域 问题的基本步骤
最优解

3.3 简单的线性规划（案例3）
●教学目标
（一）教学知识点
用图解法解决简单的线性规划问题.
（二）能力训练要求
能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.
（三）德育渗透目标
1.增强学生的应用意识.
2.培养学生理论联系实际的观点.
●教学重点
线性规划的两类重要实际问题:第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.
●教学难点
根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解.尤其是最优解是整数解.
●教学方法 讲练结合法
结合典型的实际问题讲解怎样用图解法解决线性规划的两类重要实际问题.
●教具准备
投影片三张（或多媒体课件）
第一张:记作§7.4.3 A 内容:课本P62图7—24.
第二张:记作§7.4.3 B 内容:课本P63图7—25.
第三张:记作§7.4.3 C
内容如下:
解:设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯.则,

作出可行域:目标函数为: §7.4.3 C
作直线.把直线向右上方平移至的位置时,直线经过可行域上的点C,且与原点距离最大,此时取最大值.
解方程组 得点C的坐标为.
所以,每天应配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯,能使该咖啡馆获利最大.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课,我们一起探讨了如何运用图解法解决简单的线性规划问题.
生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题,其中有两类重要实际问题,下面我们就结合这两类问题的典型例题来探讨一下如何解决线性规划的实际问题.
Ⅱ.讲授新课
第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,收到的效益最大？
例如:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t,需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元,每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t,甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t）,能使利润总额达到最大？
分析:将已知数据列成下表:
产品
消耗量

资源
甲产品（1 t）

乙产品(1 t)

资源限额（t）

A种矿石（t）
10
4
300
B种矿石(t)
5
4
200
煤(t)
4
9
360
利润（元）
600
1000

解:设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t,利润总额为z元,
那么
目标函数为:.
作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 A）,即可行域.
作直线,
即直线, §7.4.3 A
把直线向右上方平移至的位置时,直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大,此时取最大值.
解方程组 得M的坐标为,.
答:应生产甲产品约12.4 t,乙产品34.4 t,能使利润总额达到最大.
第二种类型是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.
例如:要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
规格类型

钢板类型
A规格

B规格

C规格

第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少？
解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,根据题意可得:

作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 B）,即可行域: §7.4.3 B
目标函数为,