大学毕业设计---正定二次型的判定及应用数学.doc

毕 业 论 文（设 计）

论文（设计）题目：正定二次型的判定及应用

姓 名 刘洁
学 号 11111022015
院 系 数学与信息科学学院
专 业 信息与计算科学
年 级 2011级2班
指导教师 王永忠

年 月 日

目 录
摘 要 1
ABSTRACT 2
第1章 引言 3
1.1 研究背景及意义 3
第2章 二次型 4
2.1 二次型........................................... 4
2.3 正定二次型与正定矩阵............................. 4
第3章 正定二次型的判定及应用 7
3.1 正定二次型的判别方法 7
3.2 正定二次型在实际中的应用.........................15
第4章 结论..............................................18
参考文献.................................................19
致 谢...................................................20

新乡学院本科毕业论文（设计）
摘 要
在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。
关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式；

ABSTRACT
In the quadratic form,the positive definite quadratic form has a special position.This paper has summarized some judjement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequalities proving and extreme problems.

Key words: positive definite quadratic; positive definite matrix; principal minor determinant
19
第1章 引言
1.1 研究背景及意义
在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 二次型的系统研究是从18世纪开始的，柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类.然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明.这个定律后被雅克比重新发现和证明.1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语.二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念.而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的.
现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值.它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二之间具有一一对应关系.目前有钱志森和林文生先生在做正定二次型在许多实际应用和理论研究中有很大的实用机制的研究。在物理中曹璞证明了正定二次型的重要意义.而王双进等人用二次型判断晶体相对稳定性做出了重要研究。牛滨花的等人在地震波的场方程矩阵和能量的正定二次型及其意义运用矩阵的正定二次型理论阐述了“能量矩阵与弹性矩阵”之间一致的对称性和正定性。能量矩阵蕴含的动态力的平衡关系，速度的时间，空间分布和能量的传播及变化的物理意义，能够从能量矩阵的正定二次型特性表示出来.
二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别. 在大学学习期间发现，教材中有关二次型正定性的内容不尽完善，而它的应用却越来越广泛，许多问题的解决都可归纳为二次型问题。因此有关正定二次型的研究和学习就显得尤为重要。

第2章二次型
2.1二次型
定义2.1.1 设是一个数域，，个文字,,…，的二次齐次多项式
称为数域上的一个元二次型，简称二次型.当为实数时，称为实二次型.当 为复数时,称 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即=称为标准型.
定义2.1.2在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性,其中正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数.
定义2.1.3 阶矩阵的个行标和列标相同的子式

称为的一个阶主子式.而子式

称为的阶顺序主子式.

2.2正定二次型与正定矩阵
定义 2.2.1设=是元实二次型（为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数都有，则称为正定二次型,称为正定矩阵；如果，则称为半正定二次型，称为半正定矩阵;如果，则称为负定二次型，称为负定矩阵;如果，称 为半负定二次型，称为半负定矩阵；既不是正定又不是负定实二次型称为不定的二次型，称为不定矩阵.
注：判定正定矩阵的前提是该矩阵必须为对称矩阵。
正定矩阵的充要条件：
(1)n元实二次型正定它的正惯性指数为n;
(2)一个实对称矩阵A正定A与E合同，即可逆矩阵C，使得 A=;
(3)实二次型=是正定的A的顺序主子式全大于零;
(4)一个实对称矩阵A正定A的特征值全大于零;
(5)一个实对称矩阵A正定A的主子式全大于零;
(6)A，B是实对称矩阵，则 正定A，B均正定;
(7)A实对称矩阵，A正定正定矩阵B，使得A=，（k为任意正整数）
正定矩阵的这些性质，可以用来判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。
二次型化为标准形通常有两种方法：
1）配方法再通过非退化线性变化化为标准形；
2）用相应矩阵的特征值、特征向量，再将该矩阵化为标准形；
3）合同矩阵.
例1
解：的矩阵为A=
以下为合同变换过程：

因此D=，C=
令X=CY，得=

第3章 正定二次型的判定及应用
3.1 正定二次型的判定
定理 3.1.1实二次型是正定二次型的充要条件是的规范形为
定理 3.1.2 实二次型是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于
证明 设实二次型经线形替换化为标准形

其中由于为可逆矩阵所以不全为零时也不全为零反之亦然.
如果是正定二次型那么当不全为零即不全为零时有

若有某个比方说则对这组不全为零的数代入式后得这与是正定二次型矛盾因此必有 即的正惯性指数等于
如果的正惯性指数等于则于是当不
全为零即当不全为零时式成立从而是正定型
定理3.1.3实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵与单位矩阵合同
定理3.1.4实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵是实可逆矩阵
证明 实二次型是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵使得
则　
令则
若
则
令
则　
所以为正定二次型.
定理3.1.5实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的主子式全大于零
证明 实二次型是正定二次型,以表示的左上角阶矩阵,下证考虑以为矩阵的二次型

由于所以当不全为零时,由正定二次型可知从而为正定二次型,故
对二次型的元数作数学归纳法
当时因为所以正定假设且对元实二次型结论成立
由于用乘的第1列到第列,再用乘第的第1行到第行经此合同变换后可变为以下的一个矩阵

因为矩阵与合同所以是一个阶对称矩阵从而
也是对称矩阵上述的变换不改变的主子式的值因此的主子式也全大于零,而的阶主子式等于的阶主子式乘以并且于是的主子式全大于零由归纳假设,与合同所以与单位矩阵合同此即是正定二次型
例1 设是阶正定阵，证明：
（1）对任意，都有

（2）的绝对值最大元素必在主对角线上.
证明 （1）正定，从而的一切2阶主子式均大于0，当时

移项后，开方即证
.
（2）设的主对角线上最大元素为（由于正定，).再由第一问结论可知

由此即证

即中绝对值最大元素必在主对角线上.
定理3.1.6实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的顺序主子式全都大于零
证明 实二次型是正定二次型,则由定理可知的主子式全大于零,所以的顺序主子式也全大于零.
对二次型的元数作数学归纳法
当时由条件知所以是正定的.
假设充分性的判断对于元的二次型已经成立,现在来证元的情形.
令=
于是矩阵可以分块写成：
=
则的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,是正定矩阵
则存在可逆的阶矩阵使得
令=
于是
再令=
则有
令
就有
两边取行列式,,则由条件因此.

所以矩阵与单位矩阵合同,因此是正定矩阵即是正定二次型
例2考虑二次型,问为何值时，为正定二次型.
解 利用顺序主子式来判别,二次型的矩阵为，的顺序主子式为
； ；.
于是，二次型正定的充要条件是：，有，可知，；由,
可得,
所以，当时, 正定.
定理3.1.7实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵是实可逆矩阵
证明 实二次型是正定二次型,可知存在可逆矩阵使得
则　
令则
若
则
令
则　
所以为正定二次型.
定理3.1.8实二次型是正定二次型的充要条件是正定矩阵其中是实可逆矩阵
证明 实二次型是正定二次型,则是正定阵,
令其中可逆)
则　
又因非退化线性替换不改变正定性,则

是正定二次型,所以是正定阵
是正定阵,令,则是正定二次型
令
则是正定二次型

定理3.1.9实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵的全部特征值都是正的.
证明 实二次型是正定二次型,则是正定阵,又对于任意一个阶实对称矩阵都存在一个阶正交矩阵使得成为对角形
令=
则否则与为正定二次型相矛盾，
则特征值为均大于零即为正的.
又相似矩阵有相同特征值，则的特征值也均为正
的全部特征值均为正的则存在一个阶正交矩阵使得
=
其中为的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到
令
例3 已知是阶正定矩阵，证明为正定矩阵.
分析：只要证明的特征值全大于零即可
证明 由正定知是实对称矩阵，从而

即也是实对称矩阵.设的特征值为,则的特征值为,
而的特征值为,
因为是正定矩阵，所以,(,从而，
故，即，的特征值全大于零，故，为正定矩阵.
则　
所以为正定二次型
例4 若是阶实对称阵，证明：半正定的充要条件是对任何>0，正定.
证明 是实对称阵，从而存在正交阵，使
,其中为的全部实特征值.
先证必要性 若半正定，则又因为

所以的全部特征值为
又，为正定阵.
再证充分性 若不是正定阵，则存在，此时可令，则，但

即中有一个特征值为，这与为正定阵的假设矛盾，从而得证是半正定的.
定理3.1.9实二次型是正定二次型的充要条件是矩阵是正定阵
证明实二次型是正定二次型, 则由正定阵的定义可知是正定阵.
是正定阵,则的顺序主子式全都大于零.由定理6可知是正定二次型.
性质：若为阶实正定阵，显然，也是正定阵
例5 设有元二次型其中为实数，试问：当满足何种条件时，二次型为正定二次型.
解 令

当 =，即当时，原二次型为正定二次型.
3.2正定二次型的应用
1实二次型的正定性证明不等式
例1 设是一个阶实非退化矩阵求证.
证明：若是正定矩阵,必有, 其中是的主对角线上的元素.
因为是实非退化矩阵所以

=
是正定矩阵由上述定理得
=
此即.
2正定二次型在极值中的问题.
例2求三元函数的极值.
解：先求三个一阶偏导数令它们为0解方程组得驻点再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵由的正定性确定极值

得驻点.

所以=.
因为为正定阵所以得极小值
.

例3讨论函数的极值.
解：

有二阶连续偏导数
令则 ，即

的各阶顺序主子式

为正定，
故 在处有极小值为
注：当为半定时，不能判断.

第4章 总结
二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程的化为标准型问题的研究通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来.所以正确写出二次型矩阵是研究二次型的基础.
本文先介绍了二次型、正定二次型以及正定矩阵的相关概念，在第三章中的第一小节详细的介绍了正定二次型的判定方法以及部分定理的应用，在第二小节中给出了它在不等式和极值问题中的应用举例说明.

参考文献
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致 谢
从开始写作至论文最终定稿，总共花费了我一个月以来所有的时间，中间查阅搜索了许多资料，感谢我的指导老师王老师，提供了许多宝贵的意见，在知识的海洋里吸取更多的营养，从而能够为自己进一步的加油充电。通过论文的撰写，使我能够系统、全面的学习有关正定二次型的知识，并得以借鉴众多学者的宝贵经验。还有非常感谢同学的帮助，帮我一遍一遍的复查论文的格式内容。同时，我也感谢论文中所涉及到的专家学者，在没有你们的研究的基础上，我将很难完成这篇论文.