2023年全国初中数学竞赛试题及参考答案6.doc
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1、“卡西欧杯”初中数学竞赛试题及参照答案一、 选用题(共5小题,每题6分,满分30分。)1、如图,有一块矩形纸片ABCD,AB8,AD6。将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将AED沿DE向右翻折,AE与BC交点为F,则CEF面积为()A、2B、4C、6D、8AAABBBCCCEEDDDF答:A解:由折叠过程知,DEAD6,DAECEF45,因此CEF是等腰直角三角形,且EC862,因此,SCEF22、若M(x,y是实数),则M值一定是()A、正数B、负数C、零D、整数A1BCDAB1C1I解:由于M0且,这三个数不能同步为0,因此M03、已知点I是锐角三角形ABC内心,A1,B1
2、,C1分别是点I有关边BC,CA,AB对称点。若点B在A1B1C1外接圆上,则ABC等于()A、30B、45C、60D、90答:C解:由于IA1IB1IC12r(r为ABC内切圆半径),因此点I同步是A1B1C1外接圆圆心,设IA1与BC交点为D,则IBIA12ID,因此IBD30,同理,IBA30,于是,ABC604、设A,则与A最靠近正整数为()A、18B、20C、24D、25答:D解:对于正整数mn3,有,因此A由于,因此与A最靠近正整数为25。5、设a、b是正整数,且满足56ab59,0.90.91,则等于()A、171B、177C、180D、182答:B解:由题设得0.9bb59,0
3、.91bb56,因此29b32。因而b30,31。当b30时,由0.9ba0.91b,得27a28,这样正整数a不存在。当b31时,由0.9ba0.91b,得27a29,因此a28。因此177二、 填空题:(共5小题,每题6分,满分30分。)6、在一种圆形时钟表面,OA体现秒针,OB体现分针,(O为两针旋转中心),若目前时间恰好是12点整,则通过秒钟后,OAB面积第一次到达最大。答:解:设OA边上高为h,则hOB,因此SOAB当OAOB时,等号成立。此时OAB面积最大。设通过t秒时,OA与OB第一次垂直。又由于秒针1秒钟旋转6度,分针1秒钟旋转0.1度,于是(60.1)t90,解得t7、在直角
4、坐标系中,抛物线(m0)与x轴交于A、B两点,若A、B两点到原点距离分别为OA、OB,且满足,则m值等于答:2解:设方程两根分别为且,则有0,0因此有0,0,由,可知OAOB,又m0,因此,抛物线对称轴在y轴左侧,于是,OB,因此由得m28、有两副扑克牌,每副牌排列次序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色牌又按A、2、3、J、Q、K次序排列。某人把按上述排列两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,如此下去,直至最终只剩余一张牌,则所剩这张牌是答:第二副牌中方块6解:根据题意,假如扑
5、克牌张数为2,那么根据上述操作措施,只剩余一张牌就是这些牌最终一张。例如,手中只有64张牌,根据上述操作措施,最终只剩余第64张牌。目前,手中有108张牌,多出1086444(张),假如根据上述操作措施,先丢掉44张牌,那么此时手中恰好有64张牌,而本来次序第88张牌恰好放在手中牌最底层。这样,再继续进行丢、留操作,最终剩余就是本来次序第88张牌。按照两副扑克牌花色排列次序,88542266,所剩余最终一张牌是第二副牌中方块6。9、已知D、E分别是ABC边BC、CA上点,且BD4,DC1,AE5,EC2。连结AD和BE,它们相交于点P,过点P分别作PQCA,PRCB,它们分别与边AB交于点Q、
6、R,则PQR面积与ABC面积之比为。ABCDFEPQR答:解:过点E作EFAD,且交边BC于点F,则因此FDCD,又由于PQCA,因此,于是PQ由QPRACB,故10、已知,,都是正整数,且,若最大值为A,最小值为B,则AB值等于。答:494解:由于把58写成40个正整数和写法只有有限种,故最小值和最大值是存在。不妨设,若1,则,且因此当1时,可以把逐渐调整到1,这时,将增大;同样地,可以把,逐渐调整到1,这时将增大。于是,当,均为1,19时,获得最大值,即39个A。若存在两个数,使得2 ( 1ij 40,则这阐明在,,中,假如有两个数差不不不小于1,则把较小数加1,较大数减1,这时,将减小。
7、因此,当取到最小时,,,中任意两个数差都不不不不小于1。于是,当,时,获得最小值,即18个22个B94,故AB494三、 解答题(共4题,每题15分,满分60分)11、某校举行春季运动会时,由若干个同学构成一种8列长方形队列。假如原队列中增长120人,就能构成一种正方形队列;假如原队列中减少120人,也能构成一种正方形队列。问原长方形队列有同学多少人?解:设原长方形队列有同学8x人,由已知条件知8x120和8x120均为守全平方数。于是可设其中m、n均为正整数,且mn。 得即由、可知,、都是8倍数,因此m、n均能被4整除。于是mn,mn均能被4整除。因此或解得:或因此,或。故原长方形队列有同学
8、136人或904人。12、已知p,q都是质数,且使得有关x二次方程至少有一种正整数根,求所有质数对(p,q)。解:由方程两根和为8p10q可知,若方程有一种根为整数,则另一种根也是整数。由方程两根积为5pq,知方程另一种根也是正整数。设方程两个正整数根分别为,(),由根与系数关系得8p10q5pq由得,有如下几种也许状况:因此5pq1,pq+5,p5q,q5p,代入当5pq1时,5pq18p10q,而5pq110p8p10q,故此时无解。当pq5时,pq58p10q,因此(p10)(q8)85由于p、q都是质数,只也许因此(p,q)(7,3)当p5q时,p5q8p10q,因此7p15q,不也许
9、。当5pq时,5pq8p10q,因此3p11q,于是(p,q)(11,3)综上所述,满足条件质数对(p,q)(7,3)或(11,3)13、如图,分别以ABC(ABC为锐角三角形)边AB,BC,CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB,EBC,FAC。求证:(1)AEDF;(2)AEDF。证明:(1)延长BD至点P,使DPBD,连结AP、CP。ABCFPDE由于DAB是等腰直角三角形,因此ADB90,ADBD,在等腰直角三角形EBC中,BEC90,BECE,因此由于PBCPBAABC45ABC,ABECBEABC45ABC因此PBCABE。于是ABEPBC,即AEPC。同理,在ADF和APC中,有,
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