2023年初中数学竞赛绝对值.docx

第2讲 绝对值
知识总结归纳
一. 绝对值的定义
正数的绝对值是它自身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
或或
二. 绝对值的几何意义
的绝对值就是数轴上表达数的点与原点的距离．数的绝对值记作．
三. 去绝对值符号的方法：零点分段法
（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，拟定绝对值符号内的数的正负（即，还是）．假如已知条件没有给出其正负，应当进行分类讨论．
（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表达在数轴上，相应的点（零点）将数轴提成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．
四. 零点分段法的环节
（1） 找零点；
（2） 分区间；
（3） 定正负；
（4） 去符号．
五. 含绝对值的方程
（1） 求解含绝对值的方程，重要是先运用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解．
（2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合规定
的．
六. 绝对值三边不等式:

七. 具有绝对值的代数式的极值问题
对于代数式（）
（1） 假如为奇数，则当时取最小值；
（2） 假如为偶数，则当时取最小值.

典型例题
一. 绝对值的化简
【例1】 已知，化简：．

【例2】 已知、、的大小关系如图所示，求的值.
c
b
0
a

【例3】 已知、、、满足，,，求的值.

【例4】 化简：.

【例5】 化简：.

【例6】 化简：.

【例7】 化简：；

【例8】 化简：.

【例9】 化简：.

【例10】 已知，化简：.

【例11】 若，化简：.

【例12】 若，且，化简：.

【例13】 若的值恒为常数，求满足的条件及此常数的值.

【例14】 、为有理数，且，试求的值.

二. 绝对值方程
【例15】 解方程：
（1）；
（2）；
（3）．

【例16】 .

【例17】 解方程：
（1）；
（2）；
（3）．

【例18】 解方程：.

【例19】 解方程：.

【例20】 解方程：.

【例21】 解方程：

【例22】 解方程：.

【例23】 已知关于的方程，试对的不同取值，讨论方程解的情况.

三. 绝对值不等式
【例24】 解不等式： .

【例25】 解不等式：.

【例26】 解不等式：.

【例27】 解不等式：.

【例28】 求不等式的整数解个数.

【例29】 若不等式有解，求的取值范围.

【例30】 解关于的不等式：.

四. 绝对值的几何意义和最值问题
【例31】 已知，求的最大值.

【例32】 已知，求的最大值.

【例33】 求的最小值.

【例34】 （1）试求的最小值.
（2）试求的最小值.

【例35】 试求的最小值．

【例36】 试求的最小值．

【例37】 假如，且，求的最大值和最小值.

五. 三角不等式
【例38】 证明三边不等式:.

【例39】 已知，求的最大值和最小值.

【例40】 已知，求的最大值和最小值.

【例41】 已知都是有理数，，，且，求的值.

【例42】 已知，，，试比较与的大小.

思维奔腾
【例43】 满足的整数对(，)共有多少个？

【例44】 求的最小值．

作业
1. 已知，，化简：.

2. 化简：．

3. 已知，，化简： .

4. 已知，，化简：．

a
b
0
5. 数、在数轴上相应的点如图所示，化简：．

6. 化简：．

7. 化简：．

8. 解方程：．

9. 解方程：.

10. 解方程：
（1）；
（2）.

11. 解不等式：.

12. 计算下列式子的的最小值.
（1）；
（2）；
（3）．

13. 设，求的最小值.

14. 计算的最小值．

15. 已知，当时，的最小值是，求的值.