浅谈正态分布及其应用.doc

山东财经大学
本科毕业论文(设计)

题目: 浅谈正态分布及其应用

学 院 数学与数量经济学院
专 业 数学与应用数学
班 级 数学二班
学 号 20100544218
姓 名 杨静
指导教师

山东财经大学教务处制
二Ｏ一四年五月

山东财经大学学士学位论文原创性声明
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浅谈正态分布及其应用
摘要
正态分布是概率论中最重要的一种分布，也是自然界中最常见的一种分布。许多实际问题中的变量，如人的身高、体重，产品的长度、宽度、重量等，测量误差以及射击时弹着点与靶心间的距离等都近似服从正态分布。它尤其在医学中更是有着重要的应用，并随着技术的发展正态分布越来越受到重视。理论研究表明，许多分布都可以用正态分布来近似，而且一些重要的统计分布可由正态分布导出，更重要的是，正态分布具有良好的性质。在理论研究中，正态分布十分重要。本文通过对正态分布的由来，以及定义和性质进行简单的描述，着重介绍了正态分布的应用，尤其是在医学中的应用，表明了正态分布与我们的生活息息相关，对经济发展、质量监控、医学诊断具有重要的作用。
关键词：正态分布;均值;方差;极限定理
On the normal distribution and its application
Abstract
Normal probability theory is the most important type of distribution, but also the nature of the most common form of distribution. Many practical problems in variables such as a person's height, weight, the product of length, width, weight, etc., measure the distance error and the point of impact with the bull's-eye when shooting between the approximate normal distribution so. It is particularly in medicine but also has important applications, and with the development of a normal distribution technology more and more attention. Theoretical studies indicate that many of the distribution can be approximated by a normal distribution, and the statistical distribution may be important normal export, and more importantly, the normal distribution having good properties. In theory, the normal distribution is very important. Based on the normal distribution of the origin and nature of the definition and description of a simple, highlighting the normal distribution of applications, especially in medical applications, indicating a normal distribution with our lives, to economic development, quality monitoring, medical diagnostics play an important role.

Keywords: normal distribution; mean; variance; limit theorem

目录
一、引言 1
二、正态分布的理论 1
(一)正态分布的定义 1
(二)正态分布的性质 2
(三)一般正态分布与标准正态分布的关系 3
三、正态分布的应用 3
(一)正态分布的简单应用 3
1.估计频数分布 3
2. 统计方法的理论基础 4
(二)中心极限定理 4
(三)正态分布在医学中的应用 6
四、结论 7
参考文献 9

一、引言
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家棣莫弗于1733年在求二项分布的渐近公式时提出的，当时有一个赌徒向棣莫弗提出一个问题：A,B两个人在赌场里赌博，A,B各自获胜的概率是，赌局，两人约定若A赢的局数,则A付给赌场元，否则，B付给赌场元。问赌场挣钱的期望值是多少？问题并不复杂，本质上是一个二项分布，若为整数，棣莫弗求出最后的理论结果是

其中

但是对具体的，因为其中的二项公式中有组合数，为了把这个理论结果实际计算出数值结果，棣莫弗运用了斯特林公式（）假设无穷大，从而得出了二项分布的极限是正态分布；但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布;高斯与拉普拉斯研究了正态分布的性质。
高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布不仅有了“高斯分布”的名称，而且后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。在高斯刚做出这个发现之初也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。但随着各种理论的深入研究，高斯理论的卓越贡献日显重要。
正态分布也由此开始受到广泛的应用，在物理化学、产品质量检测，及在股票、证券中，尤其是近几年在医学诊断中有着重要的应用。对经济、科技、医学发展有着重要的应用。
对于正态分布的发展过程，现有文献大多是谈论某一个人或某一阶段对正态分布的理论工作，并以记录和证明为主，正态分布从被人忽视，到得到广泛的应用过程并没有详细资料进行记载，而后者对数学研究则更具有理论价值和指导意义，这也是目前国内外研究的中点。
本文也是在参考大量文献的基础上通过对正态分布的定义、性质进行了简单的介绍，着重介绍了正态分布在实际中的一些具体应用，更加偏重于对正态分布应用的描述。
二、正态分布的理论
(一)正态分布的定义
定义2.1 定义在样本空间上，取值于实数域的随机变量，若其分布函数为

则称是随机变量的正态分布，常常简单地记作，相应的其密度函数为

并称为正态变量。这里的和分别指的是均值和标准差。
关于点对称，在达到极大，当固定时，的值越小，的图像就愈尖，值越大，的图像就越平缓 。由概率密度函数的性质，我们可以知道，如果在点附近愈尖、愈高，则随机变量在点附近取值的概率也愈大，事实上，对任意服从的随机变量有

这说明，随机变量的绝对值不超过的概率略大于，不超过的概率在0.95以上，而超过的概率只有0.003，即

因为很小，在实际问题中常常认为它是不会发生的。也就是说，对服从分布的随机变量来说，基本上可以认为有这种近似的说法被一些实际工作者称作是正态分布的“原则”。
由以上的讨论可知，反应了随机变量取值的分散程度。
(二)正态分布的性质
正态分布也称为“常态分布”，正态分布具有两个参数和，第一个参数是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数

是此随机变量的方差，所以正态分布记作。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与邻近的值的概率大，而取离越远的值的概率越小；越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散；因此服从正态分布的变量的频数分布由，完全决定。
性质1 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均值所在的位置。
性质2 对称性：正态曲线以均值为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
性质3 均匀变动性：正态曲线由均值所在处开始，分别向左右两侧
逐渐均匀下降。
(三)一般正态分布与标准正态分布的关系
标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的和为0和1，通常用表示服从标准正态分布的变量，记为，其密度函数记为，分布函数为，所以

标准正态分布以纵坐标为对称轴对称分布，人们编制了标准正态分布的分布表，由于对不同的，就有一个不同的正态分布，那当然不可能对所有的编制正态分布表。事实上，人们只编制了一张的标准正态分布表，我们可以通过变量变换，把一般的正态随机变量，变换成标准正态变量，将正态分布换为标准正态分布，便于查表，得出结果。
三、正态分布的应用
(一)正态分布的简单应用
正态分布有极其广泛的应用，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、

分布、分布等。其主要应用有以下几个方面。
1.估计频数分布
一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
例 某地区初中化学竞赛5000人参加，成绩呈正态分布，且平均分，标准差，预选100人参加省级竞赛，应如何确定分数线？并估计60分以上的人数。
解 要录取100人，占总人数的0.02，在分数线以下的人数占全地区考生的0.98，查正态分布表得的值为2.05，所以录取分数线为。
对于高于60分以上的人数，先求60分以下的人数所占概率为，所以60分以上的人数为。
2. 统计方法的理论基础
如分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的，检验也是以正态分布为基础的。此外，分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。
个相互独立地变量的平方和是一个参数为的分布随机变量，因为人们习惯于把独立变量的个数称作“自由度”，所以也就把它称作自由度为的变量。
相应的分布是如果与相互独立，分别是自由度为与的分布的随机变量，则随机变量是参数为的分布，记作。
对于检验，常常假设原假设：为真，那么子样均值应当在周围随机地摆动，而不会偏离太大。为了便于查表，我们将改变为

在为真时，服从标准正态分布。对于给定的显著性水平，如果，则

如果（可由标准正态分布表查得）则原假设错误，否则原假设成立。
(二)中心极限定理
中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近与正态分布的定理，这个定理是数理统计和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。
它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立地随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响很小，总的影响就可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。
定理3.1 在重伯努利试验中，事件在每次试验中出现的概率为，为次试验中事件出现的次数，则

定理3.2若是一列独立同分布的随机变量，且

则有

例 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立地，问总计要备有多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不用等候。
解 令

则

如果260架分机中同时要求使用外线的分机数为，显然有

根据题意是要确定最小的整数，使得

成立，因为较大，所以可以用正态分布代替，相应的，，所以有

查分布表知，故取，于是

以代入，即可求得

取最接近的整数16，因此总机至少配备16根外线才能以95%以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候。
(三)正态分布在医学中的应用
不少医学现象服从正态分布或近似正态分布，如：同年龄儿童的身高、同性别健康成人的红细胞数等，很多医学资料成偏态分布，如疾病的潜伏期等，经对数变换后服从对数正态分布，因此在医学中常常用到正态分布，来检测儿童发育是否正常、疾病的发病率等；正态分布因而也受到广泛的关注和应用。
制定医学参考值范围：亦称医学正常值范围。它是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定正常值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的“正常人”，所谓“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群；其次需根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，如80%，90%，95%和99%，常用95%；根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，如白细胞计数过高过低皆属不正常须确定双侧界值，又如肝功中转氨酶过高属不正常须确定单侧上界，肺活量过低属不正常须确定单侧下界。另外，还要根据资料的分布特点，选用恰当的计算方法。常用的方法有：
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布的资料。
（2）对数正态分布法：适用于对数正态分布资料。
（3）百分位数法：常用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。
表3—1常用值

参考值范围(%)
单侧
双侧
80
0.842
1.282
90
1.282
1.645
95
1.645
1.960
99
2.326
2.576
例 某年某地测得100名正常成人的血铅含量(ug/dl)如表3—2，试确定该地正常成人血铅含量的95%参考值范围。

表3-2
4
4
5
5
6
6
7
7
7
7
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8
8
8
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8
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8
9
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10
10
10
10
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10
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10
11
11
11
12
13
13
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13
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13
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14
14
14
15
15
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16
16
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
18
18
18
18
19
20
20
20
20
21
21
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22
22
23
24
24
25
25
26
26
26
27
27
28
28
29
30
30
31
31
32
32
32
33
35
41
44
50
51
表3-3
对数组段
频数
累计频数
0.6~
4
4
0.7~
2
6
0.8~
5
11
0.9~
9
20
1.0~
12
32
1.1~
15
47
1.2~
18
65
1.3~
14
79
1.4~
12
91
1.5~
5
96
1.6~
3
99
1.7~1.8
1
100
合计
100
—
根据经验已知正常成人的血铅含量近似对数正态分布，因此，首先对原始数据作对数变换，进行正态性检，并编制对数值频数表3-3，再利用正态分布法求95%参考值范围。
解 按照上边表（3-1）所给出的数据，我们由此可以设为对数数组段的组中值,

,则对数的均数和标准差为：

因为血铅含量仅过高为异常，参考值范围应为单侧95%上限值：
（ug/dl）
即该地正常成人血铅含量95%参考值范围小于38.28ug/dl。也就是血铅含量大于38.28ug/dl
的为不正常人，即血铅含量过高，需要相应的医学治疗。
四、结论
在联系自然、社会和思维的实践背景下，我们以正态分布的本质为基础，以正态分布曲线及面积分布图为表征（以后谈及正态分布及正态分布论就要浮现此图），进行抽象与提升，抓住其中的主要哲学内涵，归纳正态分布论（正态哲学）的主要意义如下：
(1)整体论
正态分布启示我们，要用整体的观点来看事物。“系统的整体观念或总体观念是系统概念的精髓。” 正态分布曲线及面积分布图由基区、负区、正区三个区组成，各区比重不一样。用整体来看事物才能看清楚事物的本来面貌，才能得出事物的根本特性。不能只见树木不见森林，也不能以偏概全。此外整体大于部分之和，在分析各部分、各层次的基础上，还要从整体看事物，这是因为整体有不同于各部分的特点。用整体观来看世界，就是要立足在基区，放眼负区和正区。要看到主要方面，还要看到次要方面，既要看到积极的方面还要看到事物消极的一面，看到事物前进的一面还要看到落后的一面。片面看事物必然看到的是偏态或者是变态的事物，不是真实的事物本身。
(2)重点论
正态分布曲线及面积分布图非常清晰的展示了重点，那就是基区占68.27%，是主体，要重点抓，此外95%，99%则展示了正态的全面性。认识世界和改造世界一定要住住重点，因为重点就是事物的主要矛盾，它对事物的发展起主要的、支配性的作用。抓住了重点才能一举其纲，万目皆张。事物和现象纷繁复杂，在千头万绪中不抓住主要矛盾，就会陷入无限琐碎之中。由于我们时间和精力的相对有限性，出于效率的追求，我们更应该抓住重点。在正态分布中，基区占了主体和重点。如果我们结合20/80法则，我们更可以大胆的把正区也可以看作是重点。
（3）发展论
联系和发展是事物发展变化的基本规律。任何事物都有其产生、发展和灭亡的历史，如果我们把正态分布看作是任何一个系统或者事物的发展过程的话，我们明显的看到这个过程经历着从负区到基区再到正区的过程。无论是自然、社会还是人类的思维都明显的遵循着这样一个过程。准确的把握事物或者事件所处的历史过程和阶段极大的有助于掌握我们对事物、事件的特征和性质，是我们分析问题，采取对策和解决问题的重要基础和依据。发展的阶段不同，性质和特征也不同，分析和解决问题的办法要与此相适应，这就是具体问题具体分析，也是解放思想、实事求是、与时俱乐进的精髓。正态发展的特点还启示我们，事物发展大都是渐进的和累积的，走渐进发展的道路是事物发展的常态。例如，遗传是常态，变异是非常态。

通过本文的叙述，我们可以看出正态分布不仅与科学实验、经济发展有关它更是应用于我们的实际生活中，与我们的生活息息相关，对我们的饮食、健康 有很大的影响。在实际生活中的应用越来越受到重视，越来越受到广泛应用。

参考文献
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