初中数学破题致胜微方法巧用旋转60°引发的变换1.doc

60°引发的变换
例：如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.点P在△ABC内，且PA= ，PB=5,PC=2,则
（1）∠APC的度数为_____,（2）△ABC的面积为_____.

分析：方法一：（1）利用旋转，把△APC绕点A旋转60度，再在A点同侧按位似比为2，进行放大的变换，如图1，连接DP，∴△APC∽△ADB,相似比为2，AD=2AP=,DB=2PC=4,∠DAP=60°，则△ADP为直角三角形，∴,又PB=5，∴∠PDB=90°，又∵∠ADP=180°-∠DAP-∠DPA=30°,则∠ADB=120°，∴∠APC==120°.
（2）△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.可得△ABC为直角三角形，只需要知道一条边的长度即可，作AE⊥BD交BD的延长线于点E，∵∠ADE=60°,∴AE=3,DE= ，借助勾股定理可得,则

方法二：(1)轴对称，涉及的三个三角形△ABP、△ACP、△BCP分别以AB、AC、BC所在的直线为对称轴做轴对称变换，如图，连接DE、DF，得到∠ECF=180°, ∠DAE=120°, ∠DBF=60°,EF=2PC=4,DF=DA=BF=PB=5,DE= ,∴∠DEF=90°,又∵∠AED=∠ADE=30°, ∴∠APC==120°.
(2)

答案：120°
总结：如图，若是含60°直角三角形中内一点和三个顶点相连形成三条线段AP、BP、CP和短直角边所对的∠APC中知三求一时，或者知三求面积时，可考虑
（1）旋转+位似变换：把短直角边和直角三角形内一点所在的三角形绕60°角的顶点旋转60°，并位似扩大2倍，变换后连接P及P的对应点，形成三角形解决问题
（2）轴对称变换，：把直角三角形内的三个三角形沿其和直角三角形的公共边进行轴对称变换，然后顺次连接P的三个对应点形成三角形解决问题

练习：已知：如图，在△ABC中，．若，点P在△ABC内，且， ，，则=______．

分析：把△APC旋转到AC边到AB边上，并扩大2倍，得到△AMB，进而， △APC∽△AMB，相似比为2，连接MP，得到∠MPA=90°，PM=3,∠PMA=30°，∠PMB=90°,利用勾股定理得BM=4,∴PC=2.
答案：2