小学数学奥数基础教程五年级09.doc

小学数学奥数基础教程(五年级)

本教程共30讲
奇偶性（三）
　　利用奇、偶数的性质，上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。
　　例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？
　　分析与解：题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子，假设这个说法不对，即对角线上没放棋子。如下图所示，因为题目要求摆放的棋子以MN为对称轴，所以对于MN左下方的任意一格A，总有MN右上方的一格A＇，A与A＇关于MN对称，所以A与A＇要么都放有棋子，要么都没放棋子。由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。而题设每行放3枚棋子，7行共放棋子 3×7=21（枚），21是奇数，与上面的推论矛盾。所以假设不成立，即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。

　　例2 对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？
　　分析与解：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成右上表。
　　例3 左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？

　　分析与解：如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。无论从哪个房间开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差1。而右上图有7黑5白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。
　　例4 左下图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？

　　分析与解：将这14个小方格黑白相间染色（见右上图），有8个黑格，6个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
　　例5 在右图的每个○中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的○中的数字之差（大数减小数）恰好等于它们之间所标的数字。能否办到？为什么？

　　分析与解：假定图中5与1之间的○中的数是奇数，按顺时针加上或减去标出的数字，依次得到各个○中的数的奇偶性如下：

　　因为上图两端是同一个○中的数，不可能既是奇数又是偶数，所以5与1之间的○中的数不是奇数。
　　同理，假定5与1之间的○中的数是偶数，也将推出矛盾。
　　所以，题目的要求办不到。
　　例6 下页上图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

　　分析与解：马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？
　　为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●。因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。

　　讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）。因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●。也就说是，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。

练习9
　　1.教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生。一周后，每个学生都必须和他相邻（前、后、左、右）的某一同学交换座位。问：能不能换成？为什么？
　　2.房间里有5盏灯，全部关着。每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全部是亮的？
　　3.左下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？

　　4.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右上图）。守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。可以做到吗？
　　5.红光小学五年级一次乒乓球赛，共有男女学生17人报名参加。为节省时间不打循环赛，而采取以下方式：每人只打5场比赛，每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。然后根据每人得分决定出前5名。这种比赛方式是否可行？
　　6.如下图所示，将1～12顺次排成一圈。如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问：a是多少时，可以走到7的位置？

练习9
　　1.不能。

　　提示:如右图所示，25个座位分为12白13黑。相邻座位总是一黑一白，因为只有12个白座位，所以原来坐在黑座位上的13人不可能都换到白座位上。
　　2.不可能。
　　提示：一开始亮着的灯（0盏）是偶数，每次有两盏灯亮暗发生变化，不改变亮着的灯数的奇偶性，所以亮着的灯数总是偶数，不可能5盏灯都亮着。
　　3.不能。提示：与例4类似。
　　4.不可以。

　　提示：如右图所示，△表示小木屋。守园人只能黑白相间地走，走过的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走过第48棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋。
　　5.不可行。
　　提示：17人每人打5场（次），共打17×5=85（场），即共有85人次参赛。因为每场球是2人打的，每个人都算一次，所以每赛一场球2人次，不论赛多少场球，总计的人次数应是偶数，与共有85人次参赛矛盾。说明设计的比赛方式行不通。
　　6.不存在。
　　提示：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置。由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置。