2017中考数学几何压轴题辅助线专题复习.doc

中考压轴题专题几何（辅助线）

精选1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为　 　．

精选2．如图，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB与∠CBA的平分线AE，BF相交于点D，
求证：DE＝DF．

精选3.已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC．
(1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积；
(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数。

精选4、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，
（1）当OA=时，求点O到BC的距离；
（2）如图1，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少？
（3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围；
（4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少？

．

精选5．如图，已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，AD平分∠BDC，
求证：BD+DC＝AD．

精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（第6题图）
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；
（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

精选8、等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；
（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE
（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．

精选l1
l2
l3
l4
h3
h2
h1

第题图
9．如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、．
（1） 求证：；
（2）设正方形的面积为，求证：；
（3）若，当变化时，说明正方形的面积
随的变化情况．

参考答案
精选1
解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC===5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴=，即=，解得AD=．
故答案为：．
G
精选2
证明：在AB上截取AG，使AG=AF，
易证△ADF≌△ADG（SAS）．
∴DF＝DG．∵∠C＝60°，
AD，BD是角平分线，易证∠ADB=120°．
∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．
易证△BDE≌△BDG（ASA）．
∴DE＝DG＝DF．
精选3、
解：（1）连接OC．
∵PC为⊙O的切线，
∴PC⊥OC．
∴∠PCO=90度．
∵∠ACP=120°
∴∠ACO=30°
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30度．
∴∠BOC=60°
∵OC=4
∴
∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC=；
（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°
由（1）知∠BOC+∠OPC=90°
∵PM平分∠APC
∴∠APM=∠APC
∵∠A=∠BOC
∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°．
精选4、
解：（1）在Rt△ABE中，．（1分）
过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，∴，∴，∴，
∴点O到BC的距离为．（3分）

（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．
∴直线BC与⊙O相切．（5分）
此时，四边形OECF为矩形，
∴AF=AC﹣FC=3﹣=，
∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）

（3）；（9分）

（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）
设正方形OGCH的边长为x，则AG=3﹣x，
∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，
∴，∴，
∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）
精选5、
证法1：（截长）如图，截DF=DB，易证△DBF为等边三角，然后证△BDC≌△BFA即可；
证法2：（截长）如图，截DF=DC，易证△DCF为等边三角，然后证△BDC≌△AFC即可；
证法3：（补短）如图，延长BD至F，使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF，
易证△DCF为等边△，再证△BCF≌△ACD即可．
证法4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．
设AB＝AC＝BC＝a，根据（圆内接四边形）托勒密定理：
CD·a＋BD·a＝AD·a，得证．

精选6、
解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．
∴∠APO=90°．
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．
∴△OCP∽△PDA．
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴====．
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．
∵AD=8，∴CP=4，BC=8．
设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，
∴x2=（8﹣x）2+42．
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．
∴边AB的长为10．
（2）如图1，
∵P是CD边的中点，
∴DP=DC．
∵DC=AB，AB=AP，
∴DP=AP．
∵∠D=90°，
∴sin∠DAP==．
∴∠DAP=30°．
∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，
∴∠OAB=30°．
∴∠OAB的度数为30°．
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
．
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=QB．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．
由（1）中的结论可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB==4．
∴EF=PB=2．
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．

精选7、
解：（1）DF=DE．理由如下：
如答图1，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（2）DF=DE．理由如下：
如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
∵在△ADF与△BDE中，，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．
依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．
∵＞0，
∴该抛物线的开口方向向上，
∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．

精选8、
（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，
∴∠ACF=∠BAO．
在△ACF和△ABO中，
，
∴△ACF≌△ABO（AAS）
∴CF=OA=1，AF=OB=2
∴OF=1
∴C（﹣1，﹣1）；

（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∴∠ACG=∠BAC=90°，
∴∠AGC+∠GAC=90°．
∵∠CAG+∠BAO=90°，
∴∠AGC=∠BAO．
∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠ADO=∠BAO，
∴∠AGC=∠ADO．
在△ACG和△ABD中

∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD．
∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；

（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH
由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．
∵∠ADH=∠BAO．
∴∠BAO=∠AHD．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABO=∠EBO，
∵∠AOB=∠EOB=90°．
在△AOB和△EOB中，
，
∴△AOB≌△EOB（ASA），
∴AB=EB，AO=EO，
∴∠BAO=∠BEO，
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．
∴∠AEC=∠BHA．
在△AEC和△BHA中，
，
∴△ACE≌△BAH（AAS）
∴AE=BH=2OA
∵DH=2OD
∴BD=2（OA+OD）．

l1
l2
l3
l4
h3
h2
h1

精选9、
（1）证：设交于点，与交于点，
由已知，
四边形是平行四边形，．
又．
（2）证：作，垂足分别为，
在中，
．
．
又，
．
又，
l1
l2
l3
l4
h3
h2
h1

．
（3）解：，
，
．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．