20182019高二数学上学期第一次月考试卷理科有答案江西南康中学.docx

南康中学2018-2019学年度第一学期高二第一次大考 数学(理科)试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若 表示点, 表示直线, 表示平面,则下列叙述中正确的是( ) A．若 ,则 B．若 ,则 C．若 ,则 D．若 , ,则 2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图 的面积为( ) A． B． C． D． 3．已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 ( ) A． B． 10 C． D．12 4.下列结论中正确的是( ) A.若直线 上有无数个点不在平面 内，则 // ． B．若直线 与平面 平行，则直线 与平面 内的任意一条直线都平行． C．若直线 与平面 垂直，则直线 与平面 内的任意一条直线都垂直． D．四边形确定一个平面． 5．已知半径为1的动圆与定圆 相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A． B． 或 C． D． 或 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　) A．60 B．30 C．20 D．10 7．函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象( ) A． 向左平移 个单位长度 B． 向右平移 个单位长度 C． 向左平移 个单位长度 D． 向右平移 个单位长度 8． 在正方体 中，M和N分别为 和 的中点，那么直线 和 所成的角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 9．如图,在 中, ,直线 过点 且垂直于 ,动点 ,当点P逐渐远离点A时, 的大小( ) A．变大 B．变小 C．不变 D．有时变大有时变小 10．如图，在四棱锥中，底面 为正方形，且 ,其中 分别是 的中点，动点 在线段 上运动时，下列四个结论： ① ；② ；③ 面 ；④ 面 ，其中恒成立的为（ ） A． ①③ B． ③④ C． ①④ D． ②③ 11．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体 中，点 分别是棱 的中点，点 是棱 的中点，则过线段 且平行于平面 的截面的面积为（ ） A． B． C． D． 12. 在等腰直角 中， 为 中点， 为 中点， 为 边上一个动点， 沿 翻折使 ，点 在面 上的投影为点 ，当点 在 上运动时，以下说法错误的是（ ） A. 线段 为定长 B. C. D. 点 的轨迹是圆弧
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）． 13．若 在圆 的直径 上,则直线 的方程是_______. 14．已知 中，角A、B、C的对边分别为 且 ，则 ______． 15．如图，在直三棱柱 中，侧棱长为2，AC＝BC＝1， ，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使 ，则线段B1F的长为_____． 16．在直三棱柱 中,底面为等腰直角三角形, , , 若 、 、 别是棱 、 、 的中点,则下列三个说法: ； ②三棱锥 的外接球的表面积为 ； ③三棱锥 的体积为 ； 其中正确的说法有__________．(把所有正确命题的序号填在答题卡上) 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）． 17、已知圆 与直线 相交于不同的 两点， 为坐标原点. （1）求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的值.
18、如图，四棱锥 的底面 为菱形， ， ， 分别为 和 的中点． （ ）求证： 平面 ． （ ）求证： 平面 ．

19．记 为各项为正数的等比数列 的前 项和，已知 . （Ⅰ）求数列 的通项公式; （Ⅱ）令 ，求 的前 项和 . 20．己知 分别为 三个内角 的对边，且 ． (I)求角 的大小； (II)若 ，且 的面积为 ，求 的值．

21．如图，四棱锥 中， 为正三角形. 且 . （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）若点 到底面 的距离为2， 是线段 上一点，且 //平面 ，求四面体 的体积.

22．如图1，在长方形 中， 为 的中点， 为线段 上一动点．现将 沿 折起，形成四棱锥 . 图1 图2 图3 （Ⅰ）若 与 重合，且 (如图2).证明： 平面 ； （Ⅱ）若 不与 重合，且平面 平面 (如图3)，设 ，求 的取值范围.
南康中学2018-2019学年度第一学期高二第一次大考 数学(理科)参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） D C C C D D D A D C A B C 10．A【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN． （1）由正四棱锥S�ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直． 11．【解析】在 取BC的中点M，连结 ， 根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形 ， 由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为 ，下底为 ，高为 ， 利用梯形的面积公式可求得 ，故选B. 12.【解析】由于 平面 ，所以 ，所以同理 ，由（1）可知 点轨迹为圆弧， 长度最小值为 ，最大值为 ，所以C选项错误. 二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）． 13．x-y-1=0 14．5 15. 16．①②③ 16.【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱 ： 其中，底面为等腰直角三角形, , ， 、 、 别是棱 、 、 的中点.对于①，取 中点 ，连接 ， 交 于点 ，连接 .∵ 为 中点， ， ∴四边形 为正方形，则 在 中， ， 分别为 ， 的中点，则 ∥ ，且 . ∵ 为 的中点，且 ∥ ∴ ∥ 且 ∴四边形 为平行四边形∴ ∥ ∴ ，故正确； 对于②，易得 ，则 .∵ ∴ ，即 ∵ ∴三棱锥 的外接球的球心在线段 的中点处，则外接球的半径为 ∴三棱锥 的外接球的表面积为 ，故正确； 对于③，易得 ， . 在 中， ， ， ，同理可得 ，则三棱锥 为正四面体，其体积为 ，故正确；
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）． 17、解析：（1）由 消去 得 ，----------2分 由已知得， 得 ，得实数 的取值范围是 ；---5分 （2）因为圆心 到直线 的距离为 ， ----7分 所以 由已知得 ，解得 .---10分 18、【解析】解： （ ）证明：取 中点为 ， ∵在 中， 是 中点， 是 中点， ∴ ，且 ，------------------2分 又∵底面 是菱形， ∴ ， ∵ 是 中点， ∴ ，且 ， ∴ ，且 ， ∴四边形 是平行四边形，∴ ，--------------------------------4分 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ．--------------------------------6分 （ ）证明：设 ，则 是 中点， ∵底面 是菱形， ∴ ，-------------------------8分 又∵ ， 是 中点， ∴ ，-----------------------------10分 又 ， ∴ 平面 ．----------------------------12分 19、解析：（Ⅰ） = ， ， = 或-4（舍去）------------------------3分 故 , ， ．-------------------------------6分 （Ⅱ） ，-------------------9分 故 .-----------------------12分 20．【解析】 （Ⅰ）由正弦定理得， ，∵ ，---------------2分 ∴ ，即 ．--------------------------------4分 ∵ ∴ ，∴ ∴ ．-------------------6分 （Ⅱ）由： 可得 ．∴ ，--------------------8分 ∵ ， ∴由余弦定理得： ，-----------10分 ∴ .-----------------------------12分 21．解析：（Ⅰ）证明： ，且 ， ，又 为正三角形，所以 ，又 ， ，所以 ，-------------------2分 又 ， // ， ，--------------------------------4分 ， 所以 平面 ，--------------------------------5分 又因为 平面 ，所以平面 平面 .---------------------------6分
（Ⅱ）如图，连接 ， 交于点 ，因为 // ， 且 ，所以 ，--------------------7分 连接 ，因为 //平面 ，所以 // ，则 ，---9分 由（Ⅰ）点 到平面 的距离为2， 所以点 到平面 的距离为 ，----------10分 所以 ， 即四面体 的体积为 .-----------------12分 22．解析：（Ⅰ）由 与 重合，则有 ,--------------------------2分 因为 ， ,所以 ,----------------------4分 ,所以 平面 . --------------------6分 （Ⅱ） 如图，作 于 ,作 于，连接 . 由平面 平面 且 可得 平面 ,故 ,由 可得 平面 ,故在平面图形中， 三点共线且 .--------------------8分 设 ，由 ，故 ,-------------------10分 ，所以 ， .---------------------12分

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