20152016汕头市高二数学下学期期末试题理有答案.docx

汕头市2015-2016学年高二下学期期末质量监测 数学理试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。） 1•集合A＝｛x｜ ｝，B＝｛x ｜x2＜16｝，则A B＝（） A．（1，4）　　B．［l，4）　　C．［l，＋ ）　　D．［e，4） 2．复数 A．一3一4 　B．一3＋4 　C．3一4 　 D．3＋4i 3•函数 的图象中相邻的两条称轴间距离为（） A、3 　　B、 　　C、 　　D、 4．下列命题中，是真命题的是（） A． 　　 B．已知 ，b为实数，则 十b＝0的充要条件是 ＝一1 C． 　　D．已知 ，b为实数，则 ＞1，b＞1是 b＞1的充分条件 5．现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅 有两人相邻，则不同的站法种数是（） A.12 　B．24 　C．36　 D．48 6.已知向量 ＝(1, x)， ＝(1, x一1)，若 ，则｜ ｜＝（） A. 　　 B. 　　　C. 2 　　D. 7.已知双曲线 的离心率为 ，则C的渐近线方程为（） A. y＝ 　　B. y＝ 　　C. y＝ 　　D. y＝ 8.在△ABC中， ，AC＝3，D在边BC上，且CD＝2DB，则AD＝（　　） A. 　　　B. 　　　C. 5 　　D. 2 9.某程序框图如图所示，现将输出 值依次记为： ， ，…， ），…若程序运行中输出的一个数组是 (x，一10)，则数组中的x＝（） A. 32 B. 24 C. 18　 D. 16 10.如图1，已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（） 　　 11.已知函数f(x)＝ ，如果存在实数x0，使得对任意的实数x， 都有f(x0） 成立，则 的最小值为（　） 　A、 　　B、 　　C、 　　　D、 12.已知函数 ，设 为实数，若存在实数 ，使 f(m)一2g(a)＝0则实数a的取值范围为（） A.［－1，＋ ) 　　B.［－1, 3］　　C.（一 ，－1］U［3，＋ ) 　　D.（一 ，3]
第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题一第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22 题一第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。） 13.若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2一y2＝1的一个焦点，则P＝　　　． 14.点M(x, y)是不等式组 表示的平面区域 内的一动点，且不等式2x－y+m≥0 总成立，则m的取值范围是　　　　 15.若三棱锥P-ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体 积是　　　　 16.设 的展开式中常数项是　　　　　
三．解答题：（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。） 17.（本小题满分12分)若数列 的前n项和 满足 ，等差数列 满足 (1）求数列 ， 的通项公式； (2）设 ，求数列 的前n项和 ．

18.（本小题满分12分）如图，四棱锥 中， ， ， 与 都是等边三角形. （1）证明： ； （2）求二面角 的余弦值.

19. 2016年4月21日上午10时，某省会首次启动重污染天气II级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）
频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)完成被调查人员的频率分布直方图； (2)若从年龄 ， 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
20.如图，已知抛物线 的焦点为 ，椭圆 的中心在原点， 为其右焦点，点 为曲线 和 在第一象限的交点，且 ．（1）求椭圆 的标准方程； （2）设 为抛物线 上的两个动点，且使得线段 的中点 在直线 上， 为定点，求 面积的最大值．

21.已知函数 （1）求曲线 在点 处的切线方程; （2）证明： .
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22. （本小题满分10分）选修4―1：几何证明选讲 如图所示，已知 是⊙ 相切， 为切点，过点 的 割线交圆于 两点，弦 ， 相交于点 ， 为 上一点，且 ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长．

23．本小题满分10分)选修4―4；坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以直角坐标系原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若直线 的参数方程为 其中 为参数，求直线 被曲线 截得的弦长．

24．（本小题满分10分）选修 ：不等式选讲 已知函数 ， ． （1）解关于 的不等式 ； （2）若函数 的图像恒在函数 图像的上方，求实数 的取值范围．

参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B A C D B A C A A B B B 二、填空题： 13、 14、 或 ， 15、 ， 16、 三、解答题. 17、解：(1)当 时， …………（1分） 当 时， ，即 …………（3分） 数列 是以 为首项，3为公比的等比数列， …………（4分） 设 的公差为 …………（5分） 所以 …………（6分） ⑵由（1）可知道： …………（7分） ① ②，…………（8分） 由①-②得， …………（9分） …………（10分） …………（11分） 所以 …………（12分） 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥 中， ， ， 与 都是等边三角形.（1）证明： ； （2）求二面角 的余弦值. 证明：（1）取 的中点 ，连接 ，则 为正方形…………（1分） 过 作 平面 ,垂足为点 ，由 与 都是等边三角形. 不难得到 ,所以 ,…………（2分） 即点 为正方形 的对角线交点，故 …………（3分） 所以 平面 ，又 平面 ，所以 …………（4分） 因为 分别是 的中点，所以 ,所以 ；…………（6分） （2）由（1）知，可以 为坐标原点， 为 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，设 ，则点 , , …………（7分） 所以 , ,…………（8分） 设平面 的一个法向量为 所以 ， 取 得到 ，所以 …………（9分） 又 平面 ，所以可以取平面 的一个法向量 …………（10分） 由图像可知，该二面角为锐角，可设为 所以 .…………（12分） 19. 2016年4月21日上午10时，某省会首次启动重污染天气II级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）
频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)完成被调查人员的频率分布直方图； (2)若从年龄 ， 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望. 解：(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图……………（2分） ……………（5分） (2) 的所有可能取值为：0,1,2,3……………（6分） ……………（7分） ……………（8分） ……………（9分） ……………（10分） 所以 的分布列是： 0 1 2 3
所以 的数学期望是 .……………（12分） 20.如图，已知抛物线 的焦点为 ，椭圆 的中心在原点， 为其右焦点，点 为曲线 和 在第一象限的交点，且 ．（1）求椭圆 的标准方程； （2）设 为抛物线 上的两个动点，且使得线段 的中点 在直线 上， 为定点，求 面积的最大值． 解：（1）设椭圆 的方程为 ，半焦距为 ． 由已知，点 ，则 ．………………（1分） 设点 ，据抛物线定义，得 ．由已知， ，则 ．从而 ，所以点 ．………………（2分） 设点 为椭圆的左焦点，则 ， ． 据椭圆定义，得 ，则 ．……………（4分） 从而 ，所以椭圆 的标准方式是 ．……（5分） （2）设点 ， ， ，则 ． 两式相减，得 ，即 ．因为 为线段 的中点，则 ． 21.已知函数 （1）求曲线 在点 处的切线方程; （2）证明： . 解：(1)显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，………(1分) 且 ……………(3分) 所以切线斜率 ，且 ……………(4分) 所以曲线 在点 处的切线方程为 即 ……………(5分) （2）由题意知 由于 ，该不等式可以转化为如下等价的不等式: ,即证对于 不等式 恒成立。…………(6分) 设 ，则 由 得到 ，所以函数 在 上是增函数。 由 得到 ，所以函数 在 上是减函数。…………(7分) 所以函数 在 上有最小值 …………(8分) 设 ，则 由 得到 ，所以函数 在 上是增函数。 由 得到 ，所以函数 在 上是减函数。…………(9分) 所以函数 在 上有最大值 …………(10分) 综上所述： …………(12分) 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22. （本小题满分10分）选修4―1：几何证明选讲 如图所示，已知 是⊙ 相切， 为切点，过点 的 割线交圆于 两点，弦 ， 相交于点 ， 为 上一点，且 ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长．
解：（Ⅰ）∵ , ∴ ∽ , ∴ ……………………(1分) 又∵ , ∴ , ……………………(2分) ∴ , ∴ ∽ ， ∴ ，∴ ……………………(3分) 又∵ ，……………………(4分) ∴ ．……………………(5分) （Ⅱ）∵ , ∴ ，………………(6分) ∵ ∴ ……………………(7分) 由（1）可知： ，解得 .……………………(8分) ∴ ． ∵ 是⊙ 的切线，∴ ………………(9分) ∴ ，解得 ．……………………(10分) 23．本小题满分10分)选修4―4；坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以直角坐标系原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若直线 的参数方程为 其中 为参数，求直线 被曲线 截得的弦长． 解(1)∵曲线 的参数方程为 (α为参数) ∴曲线 的普通方程为 ……………………(2分) 将 代入并化简得： 即曲线c的极坐标方程为 ……………………(5分) （2）直线 的普通方程为 ，……………………(6分) 将 代入并化简得： 直线 的极坐标方程为： ……………………(7分) 所以 或 ……………………(8分) 将 或 分别代入 得： 或 ……………………(9分) 即直线 与曲线 两个交点的极坐标为 , 所以弦长 ……………………(10分) 24．（本小题满分10分）选修 ：不等式选讲 已知函数 ， ． （1）解关于 的不等式 ； （2）若函数 的图像恒在函数 图像的上方，求实数 的取值范围． 解：（Ⅰ）由 得 ， ……(*) …………（1分） （1） 当 时，不等式(*)可以化为： ，即 ………（2分） （2） 当 时，不等式(*)显然不成立。………（3分） （3） 当 时，不等式(*)可以化为： ，即 ………（4分） 综上，原不等式的解集为 ………（5分） （Ⅱ）∵函数 的图象恒在函数 图象的上方 ∴ 恒成立，即 恒成立………（6分） 记 （1）当 时， = ，则 （2）当 时， = ，则 ………（7分） （3）当 时， = ，则 ………（8分） （4）当 时， = ，则 ………（9分） 综上， ∴ 的取值范围为 . ………（10分）

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