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2018高三数学（文）第一次模拟考试卷（山西附答案） 2018届山西省高三第一次模拟考试 数学（文）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.下列命题正确的是（ ） A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 B．命题“若 ，则 ”的逆命题为真命题 C．命题“ ”的否定是“ ” D．“ ”是“ ”的充分不必要条件 3.已知 ，则 （ ） A．-3 B． C． D．3 4.已知向量 在向量 方向上的投影为2，且 ，则 （ ） A．-2 B．-1 C. 1 D．2 5.若点 为圆 上的一个动点，点 为两个定点，则 的最大值是 （ ） A．2 B． C. 4 D． 6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖�（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 中， ，则阳马 的外接球的表面积是 （ ） A． B． C. D． 7.完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ） 多面体 顶点数 面数 棱数 各面内角和的总和 三棱锥 4 6 四棱锥 5 5 五棱锥 6 （说明：上述表格内，顶点数 指多面体的顶点数.） A． B． C. D． 8. 甲、乙二人约定7:10在某处会面，甲在7：00-7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05-7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是（ ） A． B． C. D． 9.执行如图所示的程序框图，如果输入的 是10，则与输出结果 的值最接近的是（ ） A． B． C. D． 10.在 中，点 为边 上一点，若 ，则 的面积是（ ） A． B． C. D． 11.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ） A． B． C. D． 12.若对于 ，且 ，都有 ，则 的最大值是（ ） A． B． C. 0 D．-1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.若复数 ，则复数 的模是 ． 14.已知 是定义在 上周期为4的函数，且 ，当 时， ，则 ． 15.如图，点 在 轴的非负半轴上运动，点 在 轴的非负半轴上运动.且 .设点 位于 轴上方，且点 到 轴的距离为 ，则下列叙述正确的个数是_________. ① 随着 的增大而减小； ② 的最小值为 ，此时 ； ③ 的最大值为 ，此时 ； ④ 的取值范围是 . 16.若双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ， 为 的左支上一点，且 ，则 的离心率是 ． 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知等比数列 中， . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18.如图，在多面体 中，四边形 为菱形， ，且平面 平面 . （1）求证： ； （2）若 ，求多面体 的体积.
19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费10元；重量超过 的包裹，除 收费10元之外，超过 的部分，每超出 （不足 ，按 计算）需再收5元. 该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 （1）某人打算将 三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率； （2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？ 20.已知椭圆 过点 ，且两个焦点的坐标分别为 . （1）求 的方程； （2）若 （点 不与椭圆顶点重合）为 上的三个不同的点， 为坐标原点，且 ，求 所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值. 21. 已知函数 . （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）若不等式 对于任意 成立，求正实数 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数， ），将曲线 经过伸缩变换： 得到曲线 . （1）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 的极坐标方程； （2）若直线 （ 为参数）与 相交于 两点，且 ，求 的值. 23. 【选修4-5：不等式选讲】 已知函数 . （1）若 的最小值不小于3，求 的最大值； （2）若 的最小值为3，求 的值.
试卷答案 一、选择题 1-5: CADDB 6-10: BACBA 11、12：BC 二、填空题 13. 2 14. -1 15. 2 16. 4 三、解答题 17.解：（1）设等比数列 的公比为 ，则 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，解得 ， 所以 ； （2） ， 设 ，则 ， . 18. （1）证明： 连接 ，由四边形 为菱形可知 ， ∵平面 平面 ，且交线为 ， ∴ 平面 ，∴ ， 又 ，∴ ， ∵ ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ； （2）解： ，由（1）知 平面 ，又 ，∴ 平面 ， 则 ， 取 的中点 ，连接 ，则 ， 由（1）可知 ，∴ 平面 ， 则 ， 所以 ，即多面体 的体积为 .
19.解：（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：
情况 第一包裹 第二个包裹 甲支付的总快递费 礼物 重量（ ） 快递费（元） 礼物 重量（ ） 快递费（元） 1 0.3 10 3.3 25 35 2 1.8 15 1.8 15 30 3 1.5 15 2.1 20 35 所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为 ； （2）将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 350 450 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 平均揽件数 故公司平均每日利润的期望值为 （元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 平均揽件数 故公司平均每日利润的期望值为 （元） 故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利. 20.解：（1）由已知得 ， ∴ ，则 的方程为 ； （2）设 代入 得 ， 设 ，则 ， ， 设 ，由 ，得 ， ∵点 在椭圆 上，∴ ，即 ，∴ ， 在 中，令 ，则 ，令 ，则 . ∴三角形面积 ， 当且仅当 时取得等号，此时 ， ∴所求三角形面积的最小值为 . 21.解：（1）函数 的定义域为 ， ， 若 ，则 当 或 时， 单调递增； 当 时， 单调递减， 若 ，则 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增. 综上所述，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递减，在 和 上单调递增. （2）原题等价于对任意 ，有 成立， 设 ，所以 ， ， 令 ，得 ；令 ，得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 为 与 中的较大值， 设 ， 则 ， 所以 在 上单调递增，故 ，所以 ， 从而 ， 所以 ，即 ， 设 ，则 ， 所以 在 上单调递增， 又 ，所以 的解为 ， 因为 ，所以正实数 的取值范围为 .
22.解：（1） 的普通方程为 ， 把 代入上述方程得， ， ∴ 的方程为 ， 令 ， 所以 的极坐标方程为 ； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ， 而 ，∴ ， 而 ，∴ 或 . 23.解：（1）因为 ，所以 ，解得 ，即 ； （2） ， 当 时， ，所以 不符合题意， 当 时， ，即 ， 所以 ，解得 ， 当 时，同法可知 ，解得 ， 综上， 或-4.

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