2014高一数学必修4平面向量单元测试题有答案.docx

第二章测试 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有下列四个表达式： ①|a＋b|＝|a|＋|b|； ②|a－b|＝±(|a|－|b|)； ③a2>|a|2； ④|a•b|＝|a|•|b|. 其中正确的个数为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 解析　对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的． 答案　A 2．下列命题中，正确的是(　　) A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同 B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反 C．a＝(－3,1)与b＝(－2，－5)方向相反 D．a＝(2,4)与b＝(－3,1)的夹角为锐角 解析　在B中，a＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b， ∴a与b方向相反． 答案　B 3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　) A.7 B.10 C.13 D．4 解析　∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a•b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝13. 答案　C 4．已知向量a＝8＋12x，x，b＝(x＋1,2)，其中x>0，若a∥b，则x的值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．0 解析　∵a∥b，∴(8＋12x)×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16，又x>0，∴x＝4. 答案　B 5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则AP→•(PB→＋PC→)等于(　　) A.49 B.43 C．－43 D．－49 解析　M为BC的中点，得PB→＋PC→＝2PM→＝AP→， ∴AP→•(PB→＋PC→)＝AP→2. 又∵AP→＝2PM→，∴|AP→|＝23|AM→|＝23. ∴AP→2＝|AP→|2＝49. 答案　A 6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)•c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析　8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c＝(3，x)， ∴(8a－b)•c＝(6,3)•(3，x)＝18＋3x. 又(8a－b)•c＝30，∴18＋3x＝30，x＝4. 答案　C 7．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a•b的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 解析　依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)， 则b＝12(λ－1)a， ∴a•b＝12(λ－1)a2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案　B 8．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为(　　) A.34 B.537 C.2537 D.53737 解析　∵(3e1＋4e2)•e1＝3e21＋4e1•e2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e1＋4e2|2＝9e21＋16e22＋24e1•e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37. ∴|3e1＋4e2|＝37. 设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，则 cosθ＝537×1＝537. 答案　D 9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝(　　) A.14a＋12b B.23a＋13b C.12a＋14b D.13a＋23b 解析　如图所示，AF→＝AD→＋DF→， 由题意知，DE：BE＝DF：BA＝1：3. ∴DF→＝13AB→. ∴AF→＝12a＋12b＋13(12a－12b)＝23a＋13b. 答案　B 10．已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(－3,1)，B点坐标为12，32，则C点坐标为(　　) A．(1，－3) B.－54，54 C．(4,2) D．(－2,4) 解析　设C(x，y)，则由AB→＝BC→，得 12－(－3)，32－1＝x－12，y－32， ∴x－12＝72，y－32＝12，⇒x＝4，y＝2，∴C(4,2)． 答案　C 11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a•b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是(　　) A.0，π6 B.π3，π C.π3，2π3 D.π6，π 解析　设a与b的夹角为θ， ∵Δ＝|a|2－4a•b≥0， ∴a•b≤|a|24，∴cosθ＝a•b|a||b|≤|a|24|a||b|＝12. ∵θ∈[0，π]，∴θ∈π3，π. 答案　B 12．在△ABC所在平面内有一点P，如果PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　) A.13 B.12 C.23 D.34 解析　因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→＝PB→－PA→，所以2PA→＋PC→＝0，PC→＝－2PA→＝2AP→，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示)．所以△PAB与△ABC的面积之比是13. 答案　A 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(3，3)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________. 解析　由a∥b，得23cosθ＝6sinθ，∵cosθ≠0， ∴tanθ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案　π6或76π 14．假设|a|＝25，b＝(－1,3)，若a⊥b，则a＝________. 解析　设a＝(x，y)，则有x2＋y2＝20.① 又a⊥b，∴a•b＝0，∴－x＋3y＝0.② 由①②解得x＝32，y＝2，或x＝－32， y＝－2， ∴a＝(32，2)，或a＝(－32，－2)． 答案　(32，2)或(－32，－2) 15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB→•AC→＝BA→•BC→＝2，那么c＝__________. 解析　由题知 AB→•AC→＋BA→•BC→＝2， 即AB→•AC→－AB→•BC→＝AB→•(AC→＋CB→)＝AB→2＝2⇒c＝|AB→|＝2. 答案　2 16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： ①若a•b＝a•c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 解析　 当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，AC→＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角为∠BAC＝30°. 答案　② 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b. (1)当m为何值时，c与d垂直？ (2)当m为何值时，c与d共线？ 解　(1)令c•d＝0，则(3a＋5b)•(ma－3b)＝0， 即3m|a|2－15|b|2＋(5m－9)a•b＝0， 解得m＝2914. 故当m＝2914时，c⊥d. (2)令c＝λd，则3a＋5b＝λ(ma－3b) 即(3－λm)a＋(5＋3λ)b＝0， ∵a，b不共线， ∴3－λm＝0，5＋3λ＝0，解得λ＝－53，m＝－95. 故当m＝－95时，c与d共线． 18．(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 证明　设此等腰直角三角形的直角边长为a，则 AD→•CE→＝(AC→＋CD→)•(CA→＋AE→) ＝AC→•CA→＋CD→•CA→＋AC→•AE→＋CD→•AE→ ＝－a2＋0＋a•223a•22＋a2•223a•22 ＝－a2＋23a2＋13a2＝0， ∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE. 19．(12分)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标． 解　设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)， BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)， ∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线， ∴存在实数λ，使BD→＝λBC→， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)． ∴x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，∴x－3＝2(y－2)， 即x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC，∴AD→•BC→＝0， 即(x－2，y＋1)•(－6，－3)＝0. ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.② 由①②可得x＝1，y＝1. ∴|AD→|＝ (1－2)2＋22＝5， 即|AD→|＝5，D(1,1)． 20．(12分)在直角坐标系中，已知OA→＝(4，－4)，OB→＝(5,1)，OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，求MB→的坐标． 解　设点M的坐标为M(x，y)． ∵OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|， ∴OM→⊥MB→，∴OM→•MB→＝0. 又OM→＝(x，y)，MB→＝(5－x,1－y)， ∴x(5－x)＋y(1－y)＝0. 又点O，M，A三点共线，∴OM→∥OA→. ∴x4＝y－4. ∴x(5－x)＋y(1－y)＝0，x4＝y－4，解得x＝2，y＝－2. ∴MB→＝OB→－OM→＝(5－2,1＋2)＝(3,3)． 21．(12分) 如图，在平面斜坐标系xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP→＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)． (1)若点P的斜坐标为(2，－2)，求点P到O的距离|OP|； (2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程． 解　(1)因为点P的斜坐标为(2，－2)，故OP→＝2e1－2e2，|OP→|2＝(2e1－2e2)2＝8－8e1•e2＝8－8cos60°＝4， ∴|OP→|＝2，即|OP|＝2. (2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OM→＝xe1＋ye2， 又|OM→|＝1.故(xe1＋ye2)2＝1. ∴x2＋y2＋2xye1•e2＝1.即x2＋y2＋xy＝1. 故所求方程为x2＋y2＋xy－1＝0. 22．(12分)如图，在四边形ABCD中，BC→＝λAD→(λ∈R)，|AB→|＝|AD→|＝2，|CB→－CD→|＝23，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形． (1)求λ的值； (2)求CB→•BA→的值． 解　(1)因为BC→＝λAD→， 所以BC∥AD， 且|BC→|＝λ|AD→|. 因为|AB→|＝|AD→|＝2， 所以|BC→|＝2λ. 又|CB→－CD→|＝23， 所以|BD→|＝23. 作AH⊥BD交BD于H， 则H为BD的中点． 在Rt△AHB中，有
cos∠ABH＝BHAB＝32， 于是∠ABH＝30°， 所以∠ADB＝∠DBC＝30°. 而∠BDC＝90°， 所以BD＝BC•cos30°，即23＝2λ•32， 解得λ＝2. (2)由(1)知， ∠ABC＝60°，|CB→|＝4， 所以CB→与BA→的夹角为120°， 故CB→•BA→＝|CB→|•|BA→|cos120°＝－4.

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