20152016广州五校高二数学理上学期期末联考试题及答案.docx

20152016学年度第一学期期末模块考试 五校联考高二年级数学（理科）试题 2016年1月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。考试时间为120分钟。 注意事项： 1、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 2、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。 第一部分 选择题（共60分） 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。） 1设全集 ，集合 ， ，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A B C D 2函数 的定义域是( ) 第1题图 A B C D 3已知向量 若 为实数， ，则 ( ) A B C D 4下列有关命题的说法正确的是( ) A命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ” B线性回归直线方程 恒过样本中心 ，且至少经过一个样本点 C命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ” D命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 5已知 直线 与直线 平行， ，则 是 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件 6等差数列 的前n项和为 ,若 ，则 的值是( ) A65 B70 C130 D140 7函数ysin (2x )的图像可由函数ysin 2x的图像( ) A向左平移 个单位长度而得到 B向右平移 个单位长度而得到 C向左平移 个单位长度而得到 D向右平移 个单位长度而得到 8设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A若 , , ,则 B若 , , ,则 C若 , , ,则 D若 , , ,则 9如图，若程序框图输出的 是126，则判断框中应为( ) A B C D 10已知 为等比数列， 是它的前 项和若 ，且 与 的等差中项为 ，则 等于( ) A. B. C. D. 11过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，点 是坐标原点，若 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 第9题图 12若函数 的定义域为实数集R,满足 ( 是R的非空真子集),在R上有两个非空真子集 ,且 ,则 的值域为( ) A . B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13如右图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ 14设 满足约束条件 ,则 的最大值是_ 15已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交 轴于点 若 ，则椭圆的离心率是_ 16设二次函数 的值域为 ，则 的最大值为_ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（本小题满分10分） A、B、C为ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若 cosA2，sinA2， cosA2，sinA2，且 12. （）求角A的大小； （）若a23且 ，求此三角形的面积18（本小题满分12分） 某校学生利用元旦节进行社会实践，在 岁的人群随机抽取 人，进行了一次“是否已养成垃圾分类习惯”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数 分组 已养成垃圾分类习惯的人数 占本组频率 第一组第二组第三组第四组第五组第六祖（）补全频率分布直方图并求 、 、 的值； （）从 岁年龄段的“已养成垃圾分类习惯的人”中采用分层抽样法抽取 人参加垃圾分类宣讲活动，其中选取 人作为领队，求选取的 名领队年龄都在 岁的概率.19（本小题满分12分） 已知二次函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 上的图像上。 （）求数列 的通项公式； （）若数列 前 项和为 ，问满足 的最小正整数 是多少?.,20（本小题满分12分） 如图所示，在三棱柱 中， 为正方形， 为菱形， ,平面 平面 。 （）求证： ； （）求二面角 的余弦值。21（本小题满分12分） 给定椭圆 ： ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆是椭圆 的“伴随圆” 已知椭圆 的两个焦点分别是 ，椭圆 上一动点 满足 （）求椭圆 及其“伴随圆”的方程； （） 过点 作直线 ,使得直线 与椭圆 只有一个交点，且 截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 求出 的值22（本小题满分12分） 设 ，函数 （）若 ，求函数 在区间 上的最大值； （）若 ，写出函数 的单调区间（不必证明）； （）若存在 ，使得关于 的方程 有三个不相等的实数解，求实数 的取值范围2015-2016学年度上学期期末模块考试 五校联考高二年级数学（理）科试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D A C A D B C B B 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 14. 3 15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分10分） 解：（） cos2A2sin2A2 1分 cosA 2分 12， cosA12， 3分 又A(0，180)， A120. 4分 （）由余弦定理得：a2b2c22bccos120即b2c2bc12 5分 又 联立方程 解得： 8分 SABC12bcsin1203 10分 18.（本小题满分12分） 解：（）第二组的频率为 ，所以高为 频率直方图如右： 2分 第一组的人数为 ，频率为 ，所以 3分 第二组的频率为 ，所以第二组的人数为 ，所以 4分 第四组的频率为 ，所以第四组的人数为 ， 所以 5分 （） “已养成垃圾分类习惯的人”中，由于 岁年龄段的人数与 岁年龄段的人数的比值为 。所以，采用分层抽样法抽取6人， 岁的占4人，分别编号为A1，A2，A4， 岁的占2人，分别编号为B1，B2 7分 从中任取两人，则总的基本事件构成集合(A1，A2)，(A1，A3) (A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(B1，B2)共有15个， 9分 其中，年龄都在 岁的事件所含基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)， (A1，A4)，(A2，A3)， (A2，A4)，(A3，A4)共6个， 11分 故概率 . 12分19.（本小题满分12分） 解：（）因为 点 均在函数 上的图像上 所以 1分 当 时， 2分 当 时， ， 4分 经检验当 时，也满足 ， 5分 所以 6分 （） 7分 9分 10分 由 ，得 ，满足 的最小正整数为12. 12分20（本小题满分12分） 证明：（）连接 . 在正方形 中， . 因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 1分 因为 平面 ， 所以 . 2分 在菱形 中， . 3分 因为 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 . 4分 因为 平面 ， 所以 . 5分 （）在平面 内过点 作 .由（）可知： 平面 . 以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 6分 设 ，则 .在菱形 中， ，所以 ， . 7分 设平面 的一个法向量为 . 因为 即 8分 所以 即 ( ,1) 9分 由（）可知： 是平面 的一个法向量,且 = 10分 所以 . 11分 所以 二面角 的余弦值为 . 12分 方法2：证明：连接 . 在正方形 中， . 因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 1分 在平面 内过点 作 . 以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 2分 设 ，则 .在菱形 中， ，所以 ， . 3分 （） , 4分 所以 5分 所以 . 6分 （）设平面 的一个法向量为 . 因为 即 7分 所以 即 ( ,1) 8分 又因为 且 所以 9分 即 是平面 的一个法向量,且 = 10分 所以 . 11分 所以 二面角 的余弦值为 . 12分21. （本小题满分12分） 解：()由题意得： ，则 ，半焦距 1分 所以 ，椭圆 的方程为 2分 “伴随圆”的方程为 4分 （）由题意，直线 的斜率显然存在。 设过点 ，且与椭圆有一个交点的直线 为 ， 联立直线与椭圆方程得： 整理得 6分 所以 ，即 8分 又因为直线 截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 ， 则有 化简得 10分 联立 解得： ，所以 12分22. （本小题满分12分） 解：（1）当 ， 时， 1分 作函数图像（图像略），可知函数 在区间 上是增函数， 所以 的最大值为 2分 （2） 3分 当 时， ， 因为 ，所以 ， 所以 在 上单调递增 4分 当 时， ， 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减5分 综上，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 6分 （3）当 时， ，所以 在 上是增函数，关于 的方程 不可能有三个不相等的实数解 8分 当 时，由（1）知 在 和 上分别是增函数，在 上是减函数，当且仅当 时，方程 有三个不相等的实数解 即 10分 令 ， 在 时是增函数，故 11分 所以，实数 的取值范围是 12分20 20