20152016广州五校高二数学理上学期期末联考试题及答案.docx

2015―2016学年度第一学期期末模块考试 五校联考高二年级数学（理科）试题 2016年1月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。考试时间为120分钟。 注意事项： 1、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 2、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内。 第一部分 选择题（共60分） 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。） 1．设全集 ，集合 ， ，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A． B． C． D． 2．函数 的定义域是( ) 第1题图 A． B． C． D． 3．已知向量 ．若 为实数， ，则 ( ) A． B． C． D． 4．下列有关命题的说法正确的是( ) A．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”． B．线性回归直线方程 恒过样本中心 ，且至少经过一个样本点． C．命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ”． D．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题． 5．已知 直线 与直线 平行， ，则 是 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件 6．等差数列 的前n项和为 ,若 ，则 的值是( ) A．65 B．70 C．130 D．140 7．函数y＝sin (2x＋ )的图像可由函数y＝sin 2x的图像( ) A．向左平移 个单位长度而得到 B．向右平移 个单位长度而得到 C．向左平移 个单位长度而得到 D．向右平移 个单位长度而得到 8．设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A．若 , , ,则 B．若 , , ,则 C．若 , , ,则 D．若 , , ,则 9．如图，若程序框图输出的 是126，则判断框①中应为( ) A． B． C． D． 10．已知 为等比数列， 是它的前 项和．若 ，且 与 的等差中项为 ，则 等于( ) A. B. C. D. 11．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，点 是坐标原点，若 ，则△ 的面积为（ ） A. B. C. D. 第9题图 12．若函数 的定义域为实数集R,满足 ( 是R的非空真子集),在R上有两个非空真子集 ,且 ,则 的值域为( ) A . B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．如右图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________． 14．设 满足约束条件 ,则 的最大值是________． 15．已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，…直线 交 轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是_________． 16．设二次函数 的值域为 ，则 的最大值为_________． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分） A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若 ＝－cosA2，sinA2， ＝cosA2，sinA2，且 ＝12. （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a＝23且 ，求此三角形的面积．

18．（本小题满分12分） 某校学生利用元旦节进行社会实践，在 岁的人群随机抽取 人，进行了一次“是否已养成垃圾分类习惯”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 已养成垃圾分类习惯的人数 占本组频率 第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六祖
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求 、 、 的值； （Ⅱ）从 岁年龄段的“已养成垃圾分类习惯的人”中采用分层抽样法抽取 人参加垃圾分类宣讲活动，其中选取 人作为领队，求选取的 名领队年龄都在 岁的概率.

19．（本小题满分12分） 已知二次函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 上的图像上。 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列 前 项和为 ，问满足 的最小正整数 是多少?.,
20．（本小题满分12分） 如图所示，在三棱柱 中， 为正方形， 为菱形， ,平面 平面 。 （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值。　　　　

21．（本小题满分12分） 给定椭圆 ： ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆是椭圆 的“伴随圆”． 已知椭圆 的两个焦点分别是 ，椭圆 上一动点 满足 ． （Ⅰ）求椭圆 及其“伴随圆”的方程； （Ⅱ） 过点 作直线 ,使得直线 与椭圆 只有一个交点，且 截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 ．求出 的值．

22．（本小题满分12分） 设 ，函数 ． （Ⅰ）若 ，求函数 在区间 上的最大值； （Ⅱ）若 ，写出函数 的单调区间（不必证明）； （Ⅲ）若存在 ，使得关于 的方程 有三个不相等的实数解，求实数 的取值范围．
2015-2016学年度上学期期末模块考试 五校联考高二年级数学（理）科试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D A C A D B C B B 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 14. 3 15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ） ＝－cos2A2＋sin2A2 ………………1分 ＝－cosA ………………2分 ＝12， ∴cosA＝－12， ………………3分 又∵A∈(0°，180°)， ∴A＝120°. ………………4分 （Ⅱ）由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos120°即b2＋c2＋bc＝12 ………………5分 又∵ ∴联立方程 解得： ………………8分 ∴S△ABC＝12bcsin120°＝3 ……………10分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）第二组的频率为 ，所以高为 ． 频率直方图如右： ……………2分 第一组的人数为 ，频率为 ，所以 ． ……………3分 第二组的频率为 ，所以第二组的人数为 ，所以 ． ……………4分 第四组的频率为 ，所以第四组的人数为 ， 所以 ． ……………5分 （Ⅱ） “已养成垃圾分类习惯的人”中，由于 岁年龄段的人数与 岁年龄段的人数的比值为 。所以，采用分层抽样法抽取6人， 岁的占4人，分别编号为A1，A2，…A4， 岁的占2人，分别编号为B1，B2． ……………7分 从中任取两人，则总的基本事件构成集合Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3) (A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，…，(B1，B2)}共有15个， ……………9分 其中，年龄都在 岁的事件所含基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)， (A1，A4)，(A2，A3)， (A2，A4)，(A3，A4)共6个， ……………11分 故概率 . ……………12分
19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为 点 均在函数 上的图像上 所以 ……………1分 当 时， ……………2分 当 时， ， ……………4分 经检验当 时，也满足 ， ……………5分 所以 ……………6分 （Ⅱ） ……………7分 ……………9分 …………10分 由 ，得 ，满足 的最小正整数为12. …………12分
20．（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）连接 . 在正方形 中， . 因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . ………………1分 因为 平面 ， 所以 . ………………2分 在菱形 中， . ………………3分 因为 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 . ………………4分 因为 平面 ， 所以 . ………………5分 （Ⅱ）在平面 内过点 作 .由（Ⅰ）可知： 平面 . 以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， ………………6分 设 ，则 .在菱形 中， ，所以 ， . ……7分 设平面 的一个法向量为 . 因为 即 ………………8分 所以 即 ( ,1) ………………9分 由（Ⅰ）可知： 是平面 的一个法向量,且 = ………………10分 所以 . ………………11分 所以 二面角 的余弦值为 . ………………12分 方法2：证明：连接 . 在正方形 中， . 因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . ………………1分 在平面 内过点 作 . 以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， ………………2分 设 ，则 .在菱形 中， ，所以 ， . ……3分 （Ⅰ） , ……4分 所以 ……5分 所以 . ……6分 （Ⅱ）设平面 的一个法向量为 . 因为 即 ………………7分 所以 即 ( ,1) ………………8分 又因为 且 所以 ………………9分 即 是平面 的一个法向量,且 = ………………10分 所以 . ………………11分 所以 二面角 的余弦值为 . ………………12分
21. （本小题满分12分） 解：(Ⅰ)由题意得： ，则 ，半焦距 ．．．．．．．．．1分 所以 ，椭圆 的方程为 ．．．．．．．．．2分 “伴随圆”的方程为 ．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）由题意，直线 的斜率显然存在。 设过点 ，且与椭圆有一个交点的直线 为 ， 联立直线与椭圆方程得： 　整理得 ．．．．．．．．．6分 所以 ，即 ① ．．．．．．．．．8分 又因为直线 截椭圆 的“伴随圆”所得的弦长为 ， 则有 化简得 ② ．．．．．．．．．10分 联立① ②解得： ，所以 ．．．．．．．．．12分
22. （本小题满分12分） 解：（1）当 ， 时， ．．．．．．．．．1分 作函数图像（图像略），可知函数 在区间 上是增函数， 所以 的最大值为 ．．．．．．．．．2分 （2） ．．．．．．．．．3分 ①当 时， ， 因为 ，所以 ， 所以 在 上单调递增． ．．．．．．．．．4分 ②当 时， ， 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．5分 综上，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ．……6分 （3）①当 时， ，所以 在 上是增函数，关于 的方程 不可能有三个不相等的实数解． ……………8分 ②当 时，由（1）知 在 和 上分别是增函数，在 上是减函数，当且仅当 时，方程 有三个不相等的实数解． 即 ． …………10分 令 ， 在 时是增函数，故 ． …………11分 所以，实数 的取值范围是 ． …………12分

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