20182019高二数学12月月考试卷理科带答案山西大学附中.docx

山西大学附中 2018～2019学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断 数学试题（理科） 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1．直线 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．方程 表示的图形是（） A．以 为圆心， 为半径的圆B．以 为圆心， 为半径的圆 C．以 为圆心， 为半径的圆D．以 为圆心， 为半径的圆 3．直线 关于点 对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 4．已知直线 和 互相平行，则实数 （） A． B． C． D． 5．若直线 过点 且与直线 垂直，则 的方程为( ) A． B． C． D． 6．若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是（） A． 0 B． 2 C． 5 D． 6 7．已知坐标平面内三点 直线l过点 .若直线 与线段 相交，则直线 的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．若直线 过点 且 到 的距离相等，则直线 的方程是（ ） A． B． C． D． 9．设点 分别是椭圆 的左、右焦点，弦 过点 ，若 的周长为 ，则椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 10．已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上任意一点，点 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 11．如图， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，若 是面积为 的等边三角形，则 的值为( ) A． B． C． D． 12.直线 与曲线 交于 两点， 为坐标原点，当 面积取最大值时，实数 的值为（　　） A． B． C． D． 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.） 13．椭圆 的焦距为　_______． 14.与圆 关于直线 对称的圆的标准方程为　_____________________． 15．已知椭圆的短半轴长为 ，离心率 的取值范围为 ，则长半轴长的取值范围为　_____________． 16．已知实数 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是　_______． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知直线 ，若直线 在两坐标轴上截距相等，求 的方程．

18．（本小题12分）已知 的三个顶点坐标为 （1）求 的外接圆 的方程； （2）若一光线从 射出，经 轴反射后与圆 相切，求反射光线所在直线的斜率.

19．（本小题12分）如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ，且 ， 为 中点. （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.

20．（本小题12分）已知圆 ，圆 ，直线 过点 ． （1）若直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线 的方程； （2）若直线 与圆 相交于 两点，求线段 的中点 的轨迹方程．

21．（本小题12分）已知过点 ，且斜率为 的直线与圆 相交于不同两点 . （1）求实数 的取值范围； （2）若 为坐标原点，问是否存在以 为直径的圆恰过点？若存在，则求 的值；若不存在，说明理由.

22．（本小题12分）已知椭圆 的左、右焦点为 ，且半焦距 ，直线 经过点 ，当 垂直于 轴时，与椭圆 交于 两点，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）当直线 不与 轴垂直时，与椭圆 相交于 两点，求 的取值范围．
山西大学附中 2018～2019学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断 数学试题答案（理科） 考试时间：110分钟 满分：150分 命题人：代婷 审核人：王晓玲 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） CCACACACDABA 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.） 13.814. 15． 16. 17．解：当x=0时，y=a�2，当y=0时，x= ， 则a�2= ， 解得a=1或a=2， 故直线l的方程为x+y+1=0或2x+y=0 10分 18．解：（1）(AB) ⃑=(-1,-1),(AC) ⃑=(1,-1),(AB) ⃑•(AC) ⃑=0,于是AB⊥AC 所以ΔABC是直角三角形，于是外接圆圆心为斜边BC的中点(-3,2)，半径r=|BC|/2=1 所以：ΔABC的外接圆E的方程为：(x+3)^2+(y-2)^2=1 6分 （Ⅱ）点(-2,-3)关于y轴对称的点(2,-3)，则反射光线经过点(2,-3) 有图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2) 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=|-5k-5|/√(k^2+1)=1，解得：k=-4/3或-3/4 12分 19．解：（1）证明：由条件可知AB=AD，E为BD的中点， 所以AE⊥BD， 又面ABD⊥面BDC，面ABD∩面BCD=BD，且AE⊂面ABD， 所以AE⊥面BCD，又因为CD⊂平面BCD， 所以AE⊥CD． 5分 （2）以E为坐标原点O，EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 在直角三角形ABF中，可得BF=2 tan30°=2，可得EF=2cos60°=1， 可得E（0，0，0），A（0，0，3），D（0， ，0），C（3，2 ，0），B（0，� ，0）， 由BE⊥平面AEF，可得平面AEF的法向量为 =（0，� ，0）， =（0， ，�3）， =（3，2 ，�3）， 设平面ADC的法向量为 =（x，y，z）， 由 ，令y= ，可取 =（�1， ，1）， 可得cos＜ ， ＞= = =� ， 则平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值为 20．解：（1）由题意可知：c=1，由椭圆的通径公式可知：|A1B1|= = ，即a= b2，又a2�b2=c2=1，解得：a= ，b=1， ∴椭圆的标准方程： ； 5分 （2）由（1）可知椭圆的右焦点F2（1，0），当直线l与x轴不重合时，设直线l方程x=my+1，A2（x1，y1），B2（x2，y2）， ，整理得：（m2+2）y2+2my�1=0， 则y1+y2=� ，y1y2=� ，x1+x2=m（y1+y2）+2= ，x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1= ， • =（x1�1，y1）•（x2�1，y2）=x1x2�（x1+x2）+1+y1y2=� =�（1� ）=�1+ ∈（�1， ]， 当直线l与x轴重合时，则A2（� ，0），B2（ ，0），则 • =（� �1，0）（ �1，0）=�1， ∴ • 的取值范围[�1， ]． 12分 21．解：（1）直线l过点M（1，2），圆 ， 可得圆心C1（0，0），半径r1=2， 可设直线l的方程为x�1=m（y�2），即x�my+2m�1=0， 可得圆心O到直线l的距离为d= ， 由直线l被圆C1所截得的弦长为 ，可得 2 =2 ，解得d=1，即 =1， 解得m=0或 ， 则直线l的方程为x=1或3x�4y+5=0： （2） 22．解：（1）（法一）设直线方程为y=kx+4，即kx-y+4=0，点C（2，3）到直线的距离为 d=(|2k-3+4|)/√(k^2+1)=(|2k+1|)/√(k^2+1)<1,解得－4/3<k<0 4分 （法二）设直线方程为y=kx+4，联立圆C的方程得 (k^2+1)x^2-(4-2k)x+4=0,此方程有两个不同的实根 ∴Δ＝（4－2k）^2-4×4(k^2+1)>0,解得－4/3<k<0 4分 (2)设直线方程为y=kx+4，联立圆C的方程得 (k^2+1)x^2-(4-2k)x+4=0,设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2), 则x_1+x_2=(4-2k)/(k^2+1),x_1 x_2=4/(k^2+1) (AM) ⃑⋅(AN) ⃑=(x_1,y_1-4)⋅(x_2,y_2-4)=(x_1,kx_1)⋅(x_2,kx_2)=(k^2+1)x_1 x_2=4 8分 （3）假设存在满足条件的直线，则有MO⊥NO⇒(MO) ⃑⋅(NO) ⃑=0⇒x_1 x_2+y_1 y_2=0 y_1 y_2=(kx_1+4)(kx_2+4)=k^2 x_1 x_2+4k(x_1+x_2)+16 得(k^2+1)x_1 x_2+4k(x_1+x_2)+16=0，从而得3k^2+4k+5=0,∵Δ=16-60<0,此方程无实根 所以，不存在以MN为直径的圆过原点。 12分

20 × 20