20182019高二数学上学期期中联考试题理科附答案福建长汀一中连城一中等六校.docx

“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考 2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（理科）试题 （考试时间：120分钟 总分：150分）
第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.数列 的通项公式为 ，则 的第 项是（ ） A． B． C． D． 2．在 中， , , ,则 等于（ ） A． B． C． D． 3. 等比数列 的前 项和 则 的值为（ ） A . B. C . D. 4. 在 中， 分别是角 的对边，若 ， 则 的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 5.各项均为正数的等比数列 ，前 项和为 ，若 ， ，则 ( ) A． B． C． D． 6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金�(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金�，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金�由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A．6斤　　　 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 7.若实数 满足 ，则 的最小值为( ) A． B． C． D． 8.设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. 或 D. 9.已知正数 的等差中项是 ，且 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 10. 若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 11.如图，某景区欲在两山顶 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高 ， ,在水平面上 处测得山顶 的仰角为 ，山顶 的仰角为 ， , 则两山顶 之间的距离为（ ） A． B． C． D．

12. 中，角 的对边长分别为 ，若 ，则 的最大值为 ( ) A．1 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知 ，则 的最小值为_______________． 14.已知 中， ， ， ，则 面积为_______ __. 15. 在数列 中，已知 ， ，记 为数列 的前 项和，则 ________. 16．已知首项为2的正项数列 的前 项和为 ，且当 时， ．若 恒成立，则实数 的取值范围为__________ _____．

三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）． 设 是公比为正数的等比数列，若 ， 且 ， ， 成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设 ，求证：数列 的前 项和 ．

18．（本小题满分12分） 已知关于 的不等式 的解集为 ． （1）求 的值； （2）解关于 的不等式 ．

19．（本小题满分12分） 在 中，角 的对边分别为 ，若 ． （1）求角 ； （2）若 的面积为 ， ，求 的值．

20．（本小题满分12分） 在 中，设角 , , 的对边分别为 , , ，已知 （1）求角 的大小； （2）若 ，求 周长的取值范围.

21．（本小题满分12分） 已知数列 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）若 ， ，求 成立的正整数 的最小值．

22．（本小题满分12分） 某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船； 方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船．问：哪一种方案合算？请说明理由．

“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考 2018-2019学年第一学期半期考 高二数学（理科）试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C B C A D A C B A D 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13、 14、 15、 16、 三、解答题（第17题10分，18－22题每题12分，共70分） 17、解：(1)设等比数列 的公比为 ， ∵ ， ， 成等差数列 ∴ 即 ，……………………………（2分） 即 ，解得 或 (舍去)，∴ .……………………………（4分） 所以 的通项为 ( ) ……………………………（5分） (2)由上知 ∵ ， ∴ ， ……………………………（7分） ∴ ……………………………（9分） ∴ ……………………………（10分） 即数列 的前 项和为 ．
18、解：（1）由题意知： 且 和 是方程 的两根，……………………………（2分） 由根与系数的关系有 ，解得 ……………………………（6分） （2）不等式 可化为 ， 即 ． ……………………………（8分） 其对应方程的两根为 ①当 即 时，原不等式的解集为 ；……………………………（9分） ②当 即 时，原不等式的解集为 ；……………………………（10分） ③当 即 时，原不等式的解集为 ； ……………………………（11分） 综上所述：当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； ……………………………（12分）
19、解：（1）（法一）：在 中，由正弦定理得 ∴ ……………………………（2分） 又 ，∴ ， ∴ ……………………………（4分） ∴ ……………………………（5分） ， 故 ……………………………（6分） （法二）由余弦定理得 ………………………（2分） ∴ ……………………………（3分） ∴ , ……………………………（5分） , 故 ． ……………………………（6分） （2） ，所以 ． ……………………………（7分） 又 ∴由余弦定理得 ∴ ……………………………（9分） 又由正弦定理知 ……………………………（10分） ∴ 即 ∴ ……………………………（12分） 20、（1）由题意知 ……………………………（1分） 即 ……………………………（2分） 由正弦定理得 ……………………………（3分） 由余弦定理得 …………………………… （4分） 又 ， 故 …………………………… （5分） （2）（法一）：由上知 ， ∴由余弦定理有 ，……………………………（6分） 又 ，∴ ， ……………………………（7分） 又∵ ∴ ，(当且仅当 时取等号) ……………………………（8分） ∴ ， 即 解得 ，(当且仅当 时取等号) ……………………………（10分） 又∵三角形两边之和大于第三边,即 ∴ ……………………………（11分） ∴ ……………………………（12分） 所以 的周长的范围为 （法二）由正弦定理知 ∴ , ……………………………（6分） 又 则 的周长 …………………………（8分） ∵ ∴ ∴ ……………………………（10分） ∴ ， 所以 的周长的范围为 .……………………………（12分）

21、解：（1）由 ………① 当 时， ………② ……………………………（2分） ①�C②得 即 ……………………………（3分） 当 时， 也满足上式 ……………………………（4分） ∴ ……………………………（5分） (2)由(1)得, , ……………………………（6分） 所以 ………① ∴ ………② ……………………………（7分） ①－②，得 ……………………………（9分） 依题意 ，即 即 成立， ……………………………（10分） 又当 时, , 当 时, . ……………………………（11分） 故使 成立的正整数 的最小值为5. ……………………………（12分）
22、解：（1）设第n年开始获利，获利为y万元， 由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列， 故n年的总费用为 ． ……………………………（2分） ∴获利为 ……………………………（4分） 由 即 解得 ……………………………（5分） ∵n∈N*，∴n＝4时，即第4年开始获利． ……………………………（6分） （2）方案一：n年内年平均获利为 ． 由于 ，当且仅当n＝9时取“＝”号． ∴ （万元）． 即前9年年平均收益最大，此时总收益为12×9＋46＝154（万元）．……………………………（9分） 方案二：总纯收入获利 ． ∴ 当n＝15时， 取最大值144，此时总收益为144＋10＝154（万元）． ……………………………（11分） ∵两种方案获利相等，但方案一中n＝9，所需的时间短， ∴方案一较合算． ……………………………（12分）

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