20152016钦州市高二数学下学期期末试卷理带答案.docx

钦州市2016年春季学期教学质量监测 高二理科 数 学（B卷） （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的。（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。） 1．若复数 满足 ，则 的共轭复数 　 ． ． ． ． 2．极坐标方程 表示的曲线是一条 ．射线 ．直线 ．垂直于极轴的直线 ．圆　 3．已知数列 中， ， 计算该数列的前几项，猜想它的通项公式是 ． ． ． ． 4．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法的种数是（　　） ． ． ． ． 　 5．在 的展开式中，常数项是 ．－28 ．－7 ．7 ．28 6．“因为偶函数的图象关于 轴对称，而函数 是偶函数，所以 的图象关于 轴对称”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是 ．大前提错误 ．小前提错误　　　　 ．推理形式错误 ．大前提与推理形式都错误

7．某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关，他收集了3月份本班同学的感冒数据，并制出下面一个2×2列联表： 感冒 不感冒 合计 男生 5 27 32 女生 9 19 28 合计 13 47 60 由 的观测值公式，可求得 ，根据给出表格信息和参考数据，下面判断正确的是 ．在犯错概率不超过1%的前提下认为该班“感冒与性别有关” ．在犯错概率不超过1%的前提下不能认为该班“感冒与性别有关” ．有15%的把握认为该班“感冒与性别有关” ．在犯错概率不超过10%的前提下认为该班“感冒与性别有关” 8．已知函数 的导函数 是二次函数，右图是 的大致图象，若 的极大值与极小值的和等于 ，则 的值为 ． 　　　　 ． 　　　　 ． 　　　　 ． 　　　　 9．设两个正态分布 和 的密度函数图象如图所示，则有 ． ． 　 ． ． 10．某同学投篮第一次命中的概率是0.75，连续两次投篮命中的概率是0.6，已知该同学第一次投篮命中，则其随后第二次投篮命中的概率是 ．0.45 ．0.6 ．0.75 ．0.8　　 11．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有 ． 个 ． 个 ． 个 ． 个　 12．设随机变量 的取值为0，1，2. 若 ， ，则 ． ． ． ． 　 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在函数 的图象上的点 处的切线方程是 ▲ 。 14．如图，类比三角形中位线定理“如果 是三角形的中位线， 则 。”，在空间四面体（三棱锥） 中， “如果　▲　，则　▲　”。 15．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入 （单位：千元）的统计数据如下表， 年　份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 据此，我们得到 关于年份代号 的线性回归方程： ，则预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入等于　▲　。 16．已知函数 则 　▲　。 三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）设 ，复数 是纯虚数。 （1）求 的值； （2）若 是方程 的一个根，求实数 ， 的值。
18．（本小题满分12分）已知 ，求二项式 的展开式中 的系数及展开式中各项系数之和。　
19．（本小题满分12分）已知直线 的极坐标方程为 。 （1）在极坐标系下写出 和 时该直线上两点的极坐标并画出该直线； （2）已知 是曲线 上的任意一点，求点 到直线 的最短距离及此时 的极坐标。
20．（本小题满分12分）某学校为了解高二年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人。 （1）求直方图中 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数； （2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试. 设4人中，甲班学生的人数为 ，求 的分布列和数学期望。
21．（本小题满分12分） 已知数列 的前 项和为 ， ，满足 ， （1）求 ， ， ；（2）根据（1）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明。
22．（本小题满分12分）函数 ，其中 为实常数。 （1）讨论 的单调性； （2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 钦州市2016年春季学期教学质量监测参考答案 高二理科 数 学（B卷） 一、选择题答案：（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C A C B B C A D D B 二、填空题答案：（每小题5分，共20分） 13． ； 14． 　 15． ；16． 　 三、解答题：本大题共6小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解：（1）因为复数 是纯虚数，所以 ………………2分 解得 　所以 ………………………………………………………5分　 （2）因为 是方程 的一个根，所以 　………………………………………………………7分 即 　…………………………………………………………8分 所以 　解得 　．…………………………………………………10分
18．解：依题意， 知 ，…………4分 ∴ ，…………………………………………………………………6分 设展开式中含 的项是第 项，则 ，……………………………………………8分 令 ，则 ．∴展开式中 的系数是： 　………………10分 令 ∴则二项式 的展开式中各项系数之和是 　……………………………………………………………………12分 19．解：（1）将代入 的极坐标方程，求得 ， 　………………………………2分　 所以直线 经过 ， 两点，……………3分 在极坐标系下，直线如图所示：………………………6分 　 （2）曲线 化为直角坐标方程得 ，该曲线为单位圆， 将直线 的极坐标方程 化为直角坐标方程得 ………8分 要求圆上任意一点到直线 的最短距离，只要求圆心 到直线 的距离即可。 由点到直线的距离公式得： ，　………………………………10分 所以点 到直线 的最短距离为 ，此时，点 的极坐标为 。………12分 20．解：（1）由直方图知， ， 解得 　．………………………………………………………………………2分 因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人， 所以甲班的学生人数为 人，...………………………………………..…4分 所以甲班学习时间在区间（10,12]的人数为 人．…………………6分 （2）乙班学习时间在区间（10,12]的人数为 人． 由（1）知，甲班学习时间在区间（10,12]的人数为3人， 两班中学习时间大于10小时的同学共7人．……………………………………………8分 所以的所有可能为0，1，2，3． 　　　　　　 　 　　　　　　 　……………………10分 0 1 2 3
所以随机变量 的分布列是
　………………………………………12分 21．（1）由 ，及 可算得 ， ， ， 　　………………………………………4分 （2）由此猜想 的表达式是 　……………………………………………6分 下面用数学归纳法证明： （1）由 知，当 时，等式成立；……………………………7分 （2）当 时，假设 时等式成立，即 　　…………………8分 那么，当 时，由 得 ，得 ，而 ，…………10分 ∴ ，∴ 　　　 所以，当 时，等式成立。 综合（1）、（2）可知，对任意的正整数 ，有 成立　　。………………12分 22．（1）函数 的定义域为 ， ．………………1分 ①当 时，∵ ∴ ，∴ ∴ 在定义域 上单调递增．……………………………………………………3分 ②当 时，若 ，则 ， 在 上单调递增； 若 ，则 ， 在 上单调递减．………………………………5分 综上所述，当 时， 在定义域 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．………………………………………………6分　　 （2）当 时， ，　………………8分 不等式 在 上恒成立 　　 令 ， ……………10分 所以 在 上单调递增，所以 ，∴ 　　　 所以 的范围为 。………………………………………………………………12分

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