2018高三数学理第一次模拟考试题包头市带答案.docx

2018高三数学（理）第一次模拟考试题（包头市带答案） 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （包头市第一次模拟考试） 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知全集 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 节的容积共 升，下面 节的容积共 升，则该竹子最上面一节的容积为（ ） A． 升 B． 升 C． 升 D． 升 4.若 ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 5.已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ） A． B． C． D． 7.若双曲线 ： 的离心率为 ，一条渐近线的倾斜角为 ，则 的值（ ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定，与 ， 的具体值有关 8.执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ） A． B． C． D． 9.现有 张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母 时，它的另一面必须写数字 .你的任务是：为检验下面的 张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ） A．翻且只翻（1）（4） B．翻且只翻（2）（4） C．翻且只翻（1）（3） D．翻且只翻（2）（3） 10.如图，在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点， 是 的中点，沿 ， ， 将正方形折起，使 ， ， 重合于点 ，构成四面体，则在四面体 中，给出下列结论：① 平面 ；② ；③ 平面 ；④ ；⑤平面 平面 .其中正确结论的序号是（ ） A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．②④⑤ 11.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12.已知 是圆 的直径， 是圆 的弦 上一动点， ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.某人随机播放甲、乙、丙、丁 首歌曲中的 首，则甲、乙 首歌曲至少有 首被播放的概率是 ． 14.设函数 ， ， 为 图象的对称轴， 为 的零点，且 的最小正周期大于 ，则 ． 15.设数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 ． 16.在平面直角坐标系 中，双曲线 的左支与焦点为 的抛物线 交于 ， 两点.若 ，则该双曲线的离心率为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的面积 . 18.如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值. 19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取 株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表： 生长指标值分组
（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图； （2）求这 株小麦生长指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 . ①利用该正态分布，求 ； ②若从试验田中抽取 株小麦，记 表示这 株小麦中生长指标值位于区间 的小麦株数，利用①的结果，求 . 附： . 若 ，则 ， . 20.已知 ， 是椭圆 ： 的左右两个焦点， ，长轴长为 ，又 ， 分别是椭圆 上位于 轴上方的两点，且满足 . （1）求椭圆 的方程； （2）求四边形 的面积. 21.已知函数 ， . （1）若 时，求函数 的最小值； （2）若 ，证明：函数 有且只有一个零点； （3）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）若 时，求 与 的交点坐标； （2）若 上的点到 距离的最大值为 ，求 . 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 ， . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围. 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （包头市第一次模拟考试） 数学（理科）参考答案 一、选择题 1-5: ADCDB 6-10: CBBAC 11、12：DD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）由正弦定理，设 ， 则 . 由题设条件，得 ， 整理得 . 又 ， 所以 ，即 . （2）由余弦定理，可知 ，① 由（1）可知 ，② 由 ，再联立①②求得 ， ， ， ， 所以 . 18.解：（1）由已知得 ， 取 的中点 ，连接 ， ， 由 为 的中点知 ， ， 又 ，故 ， 所以四边形 为平行四边形，于是 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）取 的中点 ，连接 . 由 得 ，从而 ， 且 . 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由题意知， ， ， ， ， ， ， . 设 为平面 的法向量，则 ， 即 ，可取 . 设 为平面 的法向量， 则 ，即 ，可取 . 于是 ， . 所以二面角 的正弦值为 . 19.解：（1）画图. （2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数 和样本方差 分别为 ， . （3）①由（1）知 ，从而 . ②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间 的概率为 ， 依题意知 ， 所以 . 20.解：（1）由题意知 ， ，所以 ， . 所以 ，椭圆 的方程为 . （2）设 ， ，又 ， ， 所以 ， ， 由 ，得 ， . 延长 交椭圆于 ， 因为 ，所以 ，且 . 所以线段 为 的中位线，即 为线段 的中点， 所以 . 设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得， ，即 . 所以 ， ， 消去 ，得 ，依题意取 . . 21.解：（1）当 时， ， 所以 . 令 ，得 ，当 时， ； 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时， 有最小值 . （2）由 ，得 ， 所以当 时， ， 函数 在 上单调递减，所以当 时， 在 上最多有一个零点. 因为当 时， ， ， 所以当 时，函数 在 上有零点. 综上，当 时，函数 有且只有一个零点. （3）由（2）知，当 时， 在 上最多有一个零点. 因为 有两个零点，所以 . 由 ，得 . 令 ， 因为 ， ，所以 在 上只有一个零点， 设这个零点为 ， 当 时， ， ； 当 时， ， ； 所以函数 在 上单调递减；在 上单调递增. 要使函数 在 上有两个零点，只需要函数 的极小值 ，即 . 因为 ， 所以 ， 可得 ， 又因为 在 上是增函数，且 ， 所以 ， ， 由 ，得 ， 所以 ，即 . 以下验证当 时，函数 有两个零点. 当 时， ， ， 所以 . 因为 ，且 ， 所以函数 在 上有一个零点. 又因为 （因 ）. 且 ，所以 在 上有一个零点. 所以当 时，函数 在 内有两个零点. 综上，实数 的取值范围是 . 22.解：（1）曲线的普通方程为 ， 当 时，直线 的普通方程为 ， 由 ，解得 ，或 ， 从而 与 的交点坐标为 ， . （2）直线 的普通方程为 ， 设 的参数方程为 （ 为参数）， 则 上的点 到 的距离为 . 当 时， 的最大值为 ， 由题设得 ，所以 ， 当 时， 的最大值为 ， 由题设得 ，所以 ， 综上， 或 . 23.解：（1）当 时，不等式 等价于 ，① 当 时，①式化为 ，无解； 当 时，①式化为 ，得 ； 当 时，①式化为 ，得 . 所以 的解集为 . （2）当 时， ， 所以 的解集包含 ，等价于 时 . 又 在 上的最大值为 . 所以 ，即 ，得 . 所以 的取值范围为 .

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