九年级数学竞赛从三角形的内切圆谈起强化辅导讲座.docx
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1、 注:设RtABC的各边长分别为a、b、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式: (1) ; (2) 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图,在RtABC中,C=90,BC=5,O与RtABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,若O的半径r2,则RtABC的 周长为 思路点拨 AF=AD,BE=BD,连OE、OF,则OECF为正方形,只需求出AF(或AD)即可【例2】 如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C,AC、BD相交于N点,连结ON,NP,下列结论:四边形ANPD
2、是梯形;ON=NP:DPP C为定值; FA为NPD的平分线,其中一定成立的是( ) A B C D 思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形,判定性质等重要几何知识,注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换,推导出NPADBC是解本例的关键【例3】 如图,已知 ACP=CDE=90,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、C、D三点的圆交AB于F,求证:F为CDE的内心 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 连CF、DF,即需证F为CDE角平分线的交点,充分利用与圆有关的角,将问题转化 为角相等问题的证明【例4】 如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AB=BC=1
3、,以AB为直径作半圆O切CD于E,连结OE,并延长交AD的延长线于F (1)问BOZ能否为120,并简要说明理由; (2)证明AOFEDF,且 ; (3)求DF的长思路点拨 分解出基本图形,作出基本辅助线(1)若BOZ=120,看能否推出矛盾;(2)把计算与推理融合;(3)把相应线段用DF的代数式表示,利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程注: 如图,在直角梯形ABCD中,若AD+BC=CD,则可得到应用广泛的两个性质: (1)以边AB为直径的圆与边CD相切; (2)以边CD为直径的圆与边AB相切 类似地,三角形三条中线的交点叫三角形的重心,三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心外心、内心
4、、垂心、重心统称三角形的四心,它们处在三角而中的特殊位置上,有着丰富的性质,在解题中有广泛的应用 【例5】 如图,已知RtABC中,CD是斜边AB上的高,O、O1、O2分别是ABC;ACD、BCD的角平分线的交点,求证:(1) O1OC O2;(2)OC= O1O2 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 在直角三角形中,斜边上的高将它分成 的两个直角三角形和原三角形相似,得对应角相等,所以通过证交角为90的方法得两线垂直,又利用全等三角形证明两线段相 等学力训练 1如图,已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于= cm 2如图,在直角,坐标系中A、B的坐标分别
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