2018高二数学上学期期中试卷理科附答案山西大学附中.docx

山西大学附中 2018-2019学年高二第一学期期中考试 数学试题（理科） 考查时间：90分钟 满分：100分 一. 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1.直线 的倾斜角大小（　　） A. B. C. D. 2.已知正 的边长为 ，那么用斜二测画法得到的 的直观图 的面积为（　　） A. B. C. D. 3．设 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命题是真命题的是（　　） A. 若 则 B. 若 则 C. 若 则 D. 若 则 4. 方程 所表示的直线（　　） A. 恒过定点 B. 恒过定点 C. 恒过点 和 D. 都是平行直线 5．在空间直角坐标系中,已知点 , ,点 在 轴上,若 ,则点 的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位 ),可得这个几何体的体积是(　 　)
A. B. C. D. 7.如图,在正三棱柱 中, , 、 分别是 和 的中点,则直线 与 所成角的余弦值等于（　　） A. B. C. D. 8.如图,在正方体 中,棱长为 , 、 分别为 与 的中点, 到平面 的距离为（　　）
A. B. C. D. 9.过正方形 的顶点 ,引 平面 .若 ,则平面 和平面 所成的二面角的大小是（　　）
A. B. C. D.
10.在三棱锥 中, 平面 , , , 分别是 , 的中点, ,且 .设 与 所成角为 , 与平面 所成角为 ,二面角 为 ,则（　　）
A. B. C. D.
11.如图1,直线 将矩形纸 分为两个直角梯形 和 ,将梯形 沿边 翻折,如图2,在翻折的过程中（平面 和平面 不重合）,下面说法正确的是（　　） 图1 图2 A. 存在某一位置,使得 平面 B. 存在某一位置,使得 平面 C. 在翻折的过程中, 平面 恒成立 D. 在翻折的过程中, 平面 恒成立 12.在三棱锥 中, 平面 , , , , 是边 上的一动点,且直线 与平面 所成角的最大值为 ,则三棱锥 的外接球的表面积为（　　） A. B. C. D. 二． 填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.） 13.已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则它的体积是________． 14.已知直线 经过点 且与以 , 为端点的线段 有公共点,则直线 的倾斜角的取值范围为________. 15.在棱长为 的正方体 中， 的中点是 ，过 作与截面 平行的截面，则该截面的面积为________. 16.已知四棱锥 的底面 是矩形, 底面 ,点 、 分别是棱 、 的中点,则 ①棱 与 所在直线垂直; ②平面 与平面 垂直; ③ 的面积大于 的面积; ④直线 与平面 是异面直线. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 三.解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.直线 过点 和第一、二、四象限,若直线 的横截距与纵截距之和为 ,求直线 的方程.

18. 如图,三棱锥 中, 两两垂直, 分别是 的中点. （1）证明：平面 面 ; （2）求直线 与平面 所成角的正弦值.

19.如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, ,侧面 是正三角形,平面 平面 , , 为 的中点. (1)求证 平面 . (2)求二面角 的余弦值.

20.如图,由直三棱柱 和四棱锥 构成的几何体中, ,平面 平面 . （1）求证: ; （2）若 为 中点,求证: 平面 ; （3）在线段 上（含端点）是否存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 ?若存在,求 得值,若不存在,说明理由.

山西大学附中 2018-2019学年高二第一学期期中考试 数学参考答案（理科） 考查时间：90分钟 满分：100分 二. 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） BDCAA CDDBA CB 三． 填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.） 13． 14. 15. 16. ①③ 三.解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分） 解：设直线 的横截距为 ，由题意可得纵截距为 . ∴直线 的方程为 ． ∵点 在直线 上，∴ ， ，解得 或 ． 当 时，直线的方程为 ，直线经过第一、二、四象限． 当 时，直线的方程为 ，直线经过第一、二、四象限． 综上所述，所求直线方程为 和 ． ------10分 18.（本小题12分） （1）证明：∵ 分别是 的中点, ∴ ,又 平面 , 平面 ∴ 平面 , 同理可得： 平面 , 又 平面 , 平面 , , ∴平面 平面 . ------5分 （2）以 为坐标原点,以 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则 , ∴ , 设平面 的法向量 ,则 , ∴ ,令 可得 . ∴ . 设 与面 所成角为 ,则 . ∴ 与面 所成角的正弦值为 . ------12分 19.（本小题12分） 解：(1)取 中点 ,连接 ,∵侧面 是正三角形,平面 平面 , ∴ 底面 ,因为底面 为菱形,且 , , ∴ , ,以 为原点, 分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系, 则 , ∴ , ∴ , ∴ ,又 , ∴ 平面 . ------5分
(2) ,设平面 的一个法向量 , 则 , 取 ,得 , 由(1)知平面 的法向量为 , ∴ , 由图象得二面角 是钝角,所以二面角 的余弦值为 . ------12分 20.（本小题14分） （1）证明：在直三棱柱 中, ∵ 平面 ∴ ∵平面 平面 ,且平面 平面 ∴ 平面 ∴ ------4分
（2）在直三棱柱 中, ∵ 平面 ,∴ , 又 , 建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得 , , 设平面 的法向量 ∵ ∴ , 令 则 , ∵ 为 的中点,∴ , ∵ ∴ 又 平面 ,∴ 平面 ------8分 （3）由（2）可知平面 的法向量 , 设 , 则 , 若直线 与平面 所成的角为 , 则 解得 , 故不存在这样的点 ,使得直线 与平面 所成的角为 . ------14分

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