常微分方程的初等解法本科论文.doc

常微分方程的初等解法
1．常微分方程的基本概况
1.1.定义：
自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。　　
1.4.应用：
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法
一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
2.1、变量分离方程法
形如，（2.1）的方程，称为变量分离方程，这里的，分别是x，y的连续函数。如果，我们可将（2.1）改写成，这样变量就“分离”开来了。两边积分得到，（2.2）。
例1：方程就可以用变量分离法求解方程
解： 变量分离，得到 ，
两边积分，即得 ，
因而，通解为 ，（c为任意常数）
2.2、可化为变量分离方程的类型
(1) 形如，（2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里是u的连续函数。作变量变换，（2.4）即，于是，（2.5）.将（2.4），（2.5）代入（2.3），则原方程变为，整理后，得到,(2.6).方程（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。
例2方程 就是一个可以化为变量分离的方程。
解 这是齐次微分方程，以 及代入，则原方程变为。即。
将上式分离变量，既有 ，
两边积分，得到 ，（为任意常数）
整理，得到 ，
令，得到
将代入上式，得到方程的通解为
(2)形如,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，，，，，，均为常数。
我们分三种情况来讨论：
①(常数)情形。这时方程化为，有通解，其中c 为任意常数。
②情形。令，这时有是变量分离方程。
③情形。如果方程(2.7)中，不全为零，方程右端分子﹑分母都是x，y的一次多项式，因此（2.8）.代表Oxy平面上两条相交的直线，设交点为。若令（2.9）。则（2.8）化为从而（2.7）变为，（2.10）。因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.7）的解。如果方程（2.7）中，可不必求解（2.8），直接取变换即可。
上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型。
例3 方程就可以用上述方法来求解。
解 解方程组
得x=1，y=2.令
代入原方程，则有,
再令,即,则上式化为，
两边积分，得 ，
因此 ，
记，并代回原变量，得，
把代入上式 得
整理，得 (c为任意常数)
2.3、线性微分方程与常数变易法
一阶线性微分方程，（2.9）。其中P（x），Q（x）在考虑的区间上是x的连续函数。若Q（x）=0，（2.9）变为，（2.10），(2.10)称为一阶其次线性微分方程。若，（2.9）称为一阶非其次线性微分方程。（2.10）是变量分离方程它的解为，（2.11）这里的c为任意常数。
现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。
不难看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数c变易为x的待定函数c(x).令，（2.12）微分之，得到，（2.13）.将（2.12）,(2.13)代入（2.9），得到。
即，积分后得到，这里的是任意常数。将上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解，（2.14）。
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。
若方程不能化为（2.9）形式，可将x看作y的函数，再看是否为（2.9）形式。
例4 方程（n为常数）就可以用常数变易法求解。
解 将方程改写为 ，①
首先，求齐次线性微分方程 的通解
从 ，得到齐次线性微分方程的通解
其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。为此，在上式中把c看成为x的待定函数c（x）,即，②
微分之，得到 ，③
把②，③代入①，得到 ，
积分之，求得
因此，以所求的c（x）代入②，即得原方程的通解
， （为任意常数）
2.4、恰当微分方程与积分因子
2.4.1恰当微分方程
如果方程，的左端恰好是某个二元函数的全微分，即+=则称原式为恰当微分方程。容易验证恰当微分方程的通解就是,这里的c为任意常数。
如果方程是恰当微分方程时，函数应该具有以下性质。和分别对y，x求偏导，得到，，由得连续性，可得，故,这就是恰当微分方程的必要条件。
如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。利用公式（2.15）
例5 方程就可以用“分项组合” 方法来求解。
解 把方程重新“分项组合”得到
即
或者写成
于是，方程的通解为 ，（c为任意）
2.4.2、积分因子
如果存在连续可微的函数，使得x+=0为一恰当微分方程，即存在函数，使，则称为方程的积分因子，而积分因子不是唯一的。这时是方程的通解，因而也就是的通解。
由（2.15）看到，同一方程可以有不同的积分因子，，，。可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。
根据上述可知，函数为方程的积分因子的充要条件是，即。
对于方程，如果存在只与x有关的积分因子，则，这时方程变成，即，由此可知，方程有只与x有关的积分因子的充要条件是，这里仅为x的函数。假如条件成立，则根据方程，可知求得方程的一个积分因子是。同样，有只与y有关的积分因子的充要条件是，这里的仅为y的函数。从而求得方程的一个积分因子。
例6 求解方程
解： ，，，，方程不是恰当的
因为只与y有关故方程有只与y有关的积分因子
以乘方程两边，得到
或者写成
因而，通解为 (c为任意常数)
例7 求方程的通解。
解： 经判断 ，所以该方程不是恰当方程。
分组得

显然前两项具有积分因子，相应的全微分为
，
要使得

成立。只需取，即可，这样就找到了一个积分因子。
原方程两边同乘，可得
，
所以通解为 。
例8 解方程 。
解： 方程各项重新组合为
，
，
，
此时，可令，上方程化为
，
解之得
，
3.常微分方程的多种解法
在常微分方程中，每一道题都有多种解法，不同的解法答案是相同的，在社会中的应用大致也是相同的，下面就让我们看看一道常微分方程到底有多少种解法。
例1 求的通解。
解: 解法1 不定积分法。
令,，
则 ，所以该方程为恰当方程。
，
关于积分，得
，
，
，，
所以通解为。
解法2 公式法
利用恰当方程求解方法3中公式得方程通积分为

解法3 分组法
去括号重新分组可得

积分，得原方程的通解为 。
例2 求方程的通解。
解: 由于，所以原方程不是恰当方程。
解法1 可将原方程改写为
，
左端有积分因子或，但考虑到右端只与变量有 关，故取

为方程的积分因子，因此有
，
两边积分可得通解
，易见也是原方程的解。
解法2 也可将原方程改写为
　　　，
这是齐次方程。
令，即可进行求解。
解法3 将看作未知函数，原方程可化为线性方程
　　，
从而可就进行求解。
解法4
由于，只与有关，所以存在关于的积分因子
，
以乘以方程两端，得到
，
为恰当方程，即
，
因而通解为 ，另外，易见也是原方程的解。
4.二阶线性方程的幂级数解法
　　二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解。由于方程的系数是自变量的函数，我们不能象常系数线性方程的解法那样利用代数方法去求解。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，我们自然会想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？所以我们接下来就来讨论这一问题。
例1  求方程的满足初始条件的解。
　 解:  设    (1) 是方程的解，这里 是待定常数，由此我们有
将的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到：
　　 ，，，
由，得，，，利用数学归纳法可以 推得，一般地，代入(1)得

这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解为，而由条件可以确定常数，即得方程的解为  。
　　例2  求解方程，　。
　　 解:  同例1一样，以   (1)形式上代入方程并比较的同次幂的系数，这时将有，，，
因为不可能找到有限的，故方程没有形如(1)的解，事实上，直接解方程，可得通解为  。
　　 但若令，那么就将上述的初值问题化为，
这时仿照例1的做法，就可求得，
于是，这就是所求原方程的特解，相当于通解中取。
5、高阶常微分方程的初等解法
高阶常微分方程的初等解法主要包括齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程与常数变易法、常系数线性微分方程的解法。这三种解法是主要的也是简单的初等解法。
5.1﹑齐次线性微分方程
方程，（5.1）其中及f（t）都是区间上的连续函数。如果则方程（5.1）变为，
（5.2）。我们称它为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程。

例1 求方程的通解
解：设 
代入原方程可得：分离变量
则有  

即：
得：y=C1ln|x|+C2 为原方程之通解(C1,C2为任意实数)
例2 求方程  满足初始条件
的特解
解：设 则
所以原方程可写成：分离变量
则有：两边积分

即：
由初始条件：y|x=0=3得C1＝3
有y＝3（x2+1）
积分得y=x3+3x+c2
再由初始条件y|x=0=1得C2＝1
故所求特解为y=x3+3x+1
5.2、非齐次线性微分方程与常数变易法
考虑n阶非齐次线性微分方程，（5.1）易见方程（5.2）是它的特殊情形，我们指出两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系。首先容易直接验证如下两个简单性质：
性质1：如果是方程（5.1）的解，而x(t)是方程（5.2）的解，则也是方程（4.1）的解。即非+齐=非。
性质2：方程（5.1）的任意两个解之差必为方程（5.2）的解。
例3 方程的通解（cos t，sin t是方程对应齐次线性微分方程的基本解组）
解 应用常数变易法，令
将它代入方程，则可得决定和的两个方程及
解得 ，
由此 ，
原方程的解
5.3、常系数线性微分方程的解法
5.3.1﹑特征根是单根的情形
设，，…，是特征方程的n个彼此不相等的根，则相应的方程有如下解：，，…，。我们指出这n个解在区间上线性无关，从而组成方程的基本解组。
例4 方程就是单根的情况
解 特征方程的根为，。有两个实根 和两个复根，均是单根，故方程的通解为（，，，为任意常数）。
5.3.2﹑特征根有重根的情行
当特征根为重根实方程有如下解法。
例5 方程的通解。
解 特征方程有根，
因此，方程的通解为 ，其中 ，，为任意常数。以上这些就是我所了解的常微分方程的初等解法。
6常微分在社会中的应用及模型
常微分方程在社会中的应用很广，例如RLC电路和数学摆等等都利用了常微分方程的解法。
6.1﹑RLC电路
包含电阻R﹑电感L﹑电容C及电源电路称为RLC电路，RLC电路是电子电路多的基础。根据电学知识，电流I经过R,L,C的电压降分别为RI, 和，其中Q为电量，它与电流的关系为,根据基尔霍夫（kirchhoff）第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压代数和等于零。
设R,L及电源电压E为常数，当开关S和上后，存在关系式，即,(1.1)这便是RL电路的常微分方程。其中电流I是自变量t的函数，在方程（1）中是未知函数。当开关S刚合上即时有,即,(1.2)称此条件为方程（1.1）的初值条件。
如果当时有，而电源突然短路，即E=0且保持不变，此时方程（1.1）变为,(1.3)初值条件为（1.4）。
假设R,L,C为常数，电源电压是时间t的已知函数。当开关S合上时有关系式,微分上式，代入，便得到以时间t为自变量﹑电流I为未知函数的常微分方程，（1.5）当电源电压是常数时，上述微分方程变为,(1.6)如还有R=0，微分方程进一步化简为.
6.2﹑数学摆
数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M，在重力作用下，他在垂直的地面的平面上沿圆周运动，我们来确定摆的运动方程。
设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角Φ的正方向。质（1.7）。这样，就得到微小振动时摆的方程，（1.8）如果我们假设摆在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就存在一个与速度v成比例的阻力。如果阻力系数是μ，则摆的运动方程变为，（1.9）。如果沿着摆的运动方向恒有一个外力F（t）作用于它，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为，（1.10）。当要确定摆的某一个特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：当t=0时，，，（1.11）。这里的代表摆的初始位置，代表摆的初始角速度的大小。

参考文献

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致谢
三年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。三年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”。 感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意！ 同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。 最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助
过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。

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