基于传递函数的串联控制器设计方法实现串联校正器的设计--毕业设计论文.doc

摘 要

随着科学技术的进步和工程实践的需要，自动控制理论也迅速发展起来，而对系统的校正也是不可缺少的。为了满足设计的要求，我们一般有三种校正器：设计超前、滞后、超前-滞后。然后再利用相关的MATLAB 实现对系统的仿真。
控制系统校正设计是与系统分析相反的问题：给定系统性能指标和给定的对象，设计能够完成特定任务的控制器。初步构建的控制系统，如果不能满足设计要求性能指标时，再增加必要的元件，使重新组合起来的控制系统全面满足设计要求的性能指标。
关键词：超前、滞后、超前-滞后、MATLAB

Abstract
With the scientific and technological progress and the needs of engineering practice, automatic control theory has developed rapidly, and the correction of the system is also indispensable. In order to meet design requirements, we generally have three correction: Design ahead, lagged behind, ahead of - lagged behind. And then make use of relevant MATLAB to achieve the simulation of the system.
Correction control system design and analysis is the opposite problem: a given system performance indicators and to set targets, designed to accomplish a task controller. Construction of the initial control system, If we can not meet the design requirements for performance, to increase the necessary components so that the re-combination of a comprehensive control system designed to meet the requirements of performance indicators.
Key words: ahead lagged behind ahead-lagging behind MATLAB 

目 录
第一章 绪论 1
1.1设计目的 1
1.2 系统校正 1
1.3 性能指标 1
第二章 用频域响应法和根轨迹法对系统进行超前、滞后、超前-滞后校正 2
2.1 控制系统校正设计的几个概念 2
2.2 控制系统校正的基本方法 2
2.3 校正方案 3
2.4 校正装置 3
2.5串联校正 3
2.6 频率响应超前校正 3
2.7 频率响应滞后校正 4
2.8 频率响应法滞后-超前校正 5
2.9 根轨迹法校正 6
2.10 基于根轨迹法的超前校正 6
2.11 基于根轨迹法的滞后校正 7
2.12 基于根轨迹法的滞后—超前校正 9
第三章 基于传递函数模型的控制系统设计 11
3.1 概 述 11
3.2 根轨迹法 12
3.3 串联超前校正 13
3.4 串联滞后校正 15
3.5 Bode图法 16
3.6 串联超前校正 17
3.7 串联滞后校正 18
3.8 串联滞后—超前校正 19
3.9 反馈校正 20
第四章 串联校正的MATLAB 仿真 23
4.1 求解原系统的相应曲线，对照性能指标作出分析 23
4.2 超前校正 25
4.3 滞后校正 27
4.4 滞后超前校正 29
总 结 32
参考文献 33
致 谢 34

-1-

第一章 绪论
1.1设计目的
基于传递函数控制系统的串联控制器实现串联校正器的设计为自动控制理论的一部分，使用MATLAB语言编程实现了反馈控制系统串联校正器计算机辅助设计，设计的目的体现在将控制器和被控对象适当的结合起来，使之能完成控制系统提出的给定任务。
1.2 系统校正
校正的目的就是给系统附加一些具有某种模型环节特性的电网络、模拟运算部件及测量装置等，靠这些环节的配置来有效地改善整个系统的性能，借以达到要求的指标，来改善系统性能，有两条途径：一条调整参数，另一条就是增加校正环节，串联校正根据其提供的相角分为超前校正、滞后校正、超前-滞后校正。
1.3 性能指标
在通常的设计问题中，性能指标与精确度、相对稳定性和响应速度有关。系统校正所依据的性能指标分为稳态性能指标与动态性能指标。
时域指标：稳态误差，系统的无差度，静态位置误差系数，静态速度误差常数，静态加速度误差常数，超调量，上升时间，调节时间。
频域指标：开环剪切频率，中频带宽度，相位裕度，幅值裕度，谐振频率，频带频率，谐振峰值
长春理工大学毕业设计
第二章 用频域响应法和根轨迹法对系统进行超前、滞后、超前-滞后校正
2.1 控制系统校正设计的几个概念
1． 超前校正设计
超前校正设计是指利用校正器对数幅频曲线有正斜率（即幅频曲线的渐近线与横坐标交角的正切值大于零）的区段及其相频曲线具有正相移（即相频曲线的相角值大于零）区段的系统设计。
2．滞后校正设计
滞后校正设计是指利用校正器对数幅频特性曲线具有负斜率（即幅频曲线的渐近线与横坐标夹角的正切值小于零）的区段及其相频特性曲线具有负相移（即相频曲线的相角值小于零）区段的系统校正设计。
3．滞后-超前校正设计
滞后-超前校正设计是指既有滞后校正作用又有超前校正作用的校正器设计。
2.2 控制系统校正的基本方法
控制系统校正的基本方法有：根轨迹法和频域分析法。
根轨迹是在已知反馈系统的开环极点与零点分布基础上，通过系统参数变化图解特征方法，即根据参数变化研究系统闭环极点分布的一种图解法。这种方法清楚地表明了参数变化的影响。
基于根轨迹的校正，是通过采用校正装置改变系统的跟轨迹，从而将一对主导闭环极点配置在需要的位置上。通常，一对主导闭环极点的阻尼比和无阻尼自然频率是根据性能指标确定的。
频域分析法中，以高阶系统的开环频率响应与时域指标间的关系，定性地可看出系统的平稳性、响应速度和稳态精度。
基于频域分析的校正，是通过采用校正装置改变系统的伯德图，设计的主要问题是如何恰当地选择校正装置的极点和零点，以得到代表期望特性的伯德图形状，使性能指标得到满足。
2.3 校正方案
为了使系统获得满意的性能，对系统再设计，改进系统结构，在系统中增加新的装置和元件，以使系统的性能得到满足要求。
如何进行这种再设计，即为校正方案。系统的结构怎么变化，即为系统校正。系统中所增加的新装置，称为校正装置。
2.4 校正装置
校正装置就是为了弥补控制系统性能的不足而引入的附加装置或电路。
通常采用的校正装置或控制器是超前、滞后、滞后—超前校正装置和PID控制器。
如果在网络的输入端施加一个正弦输入信号，网络的稳态输入信号（也为正弦信号）具有相位超前，则称该网络为超前网络。如果网络的稳态输入信号具有相位滞后，则称该网络为滞后网络。相位的超前或滞后角度是输入信号频率的函数。滞后—超前网络中，在输出信号中既有相位滞后，也有相位超前。但它们发生在不同的范围。相位滞后发生在低频范围，相位超前发生在高频范围。
如果校正装置具有超前网络、滞后网络、滞后—超前网络的特性，那么分别称为它们为超前校正装置、滞后校正装置、滞后—超前校正装置
2.5串联校正
串联校正，就是在系统的前后通路中串入有源或无源校正装置或网络，来改善系统的性能。
频率响应法校正：基于频域响应法的校正一般采用伯德图方法。
2.6 频率响应超前校正
超前校正装置的传递函数为 (2-1)
频率响应法设计超前校正装置的步骤如下
(1)在中，令，校正后系统的开环传递函数为根据给定静态误差常数的要求,确定增益。
(2)令,画出确定了的未校正系统的伯德图。求相位裕量和剪切频率。
(3)确定需要对系统增加的超前角。因为增加超前校正装置后,使剪切频率向右方移动，并且减小了相位裕量，所以要求额外增加相位超前角。
(4)利用方程确定衰减因子。确定未校正系统的幅值等于时的频率，选择此频率作为新的剪切频率。该频率相应于,最大相位移就发生在这个频率上.。
(5)超前校正装置的转角频率确定如下：
超前校正装置的零点：
超前校正装置的极点：
(6)利用载第一确定的值和第四步确定的值，计算常数，。
(7)检查增益裕量，确定其是否满足要求。如果不满足，通过改变校正装置的极-零点位置，重复上述设计过程，直到获得满意的结果为止。
2.7 频率响应滞后校正
滞后校正装置的传递函数为： (2-2)
频率响应法设计滞后校正装置步骤如下：
(1)在中，令，校正后系统的开环传递函数。根据给定静态误差常数的要求，确定增益。
(2) 令，画出确定了的未校正系统的伯特图。求校正前系统的相位裕量和剪切频率。
(3)确定期望的剪切频率。在这个期望的剪切频率上，开环传递函数的相角等于加要求的相位裕量。要求的相位裕量等于指定的相位裕量再加。
(4)为了防止由滞后校正装置造成的相角滞后的有害影响，滞后校正装置的极点和零点必须配置得明显低于期望剪切频率。因此，选择转角频率在低于期望剪切频率的一倍频程到十倍频程处。把滞后校正装置的零点和极点选得足够小，则其相位滞后对系统相位裕量影响不大。
(5)确定使幅值曲线在期望剪切频率处下降到所必需的衰减量。这个衰减量等于,从而可以确定值。另一个转角频率可以由确定。
(6)利用在第一步确定的值和第五步确定的值，计算常数，。
(7)校验系统是否满足要求。如果不满足，通过改变校正装置的极点、零点位置，重复上述设计过程，直到获得满意的结果为止。
2.8 频率响应法滞后-超前校正
滞后-超前校正的传递函数为： (2-3)
频率响应法设计滞后-超前校正装置步骤如下：
(1)根据对静态误差常数的要求，确定增益。
(2)选择新的剪切频率。令，求出此时的值。选择此值为新的剪切频率比较方便。
(3)确定滞后-超前校正装置中的滞后部分的转角频率。选择转角频率在新的剪切频率以下十倍频程处。
(4)确定滞后-超前校正装置中超前部分的最大相位超前角；用公式，确定。
(5)如果可令即选择好了。即在此校正装置中，滞后部分的两个参数已经选择完毕，超前校正部分中也已经选择好了一个参数。
(6)确定滞后-超前校正装置中的另一个参数：求得，画一条直线，斜率为/十倍频程，过（）点。这条直线与线的交点和线的交点，确定了所要求的超前部分的两个转角频率。
(7)将校正装置滞后和超前部分的传递函数组合在一起，可得到滞后-超前装置的传递函数。
(8)校验已校正系统的瞬态响应特性，如不满足要求，可采用适当的修正方案，重复上述设计过程。
2.9 根轨迹法校正
用根轨迹进行设计的基础，是通过在系统开环传递函数中增加极点和零点，改变系统根轨迹形状，从而使系统根轨迹在平面上通过希望的闭环极点。根轨迹设计的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点。设计的重要问题是如何恰当地选择校正装置的极点和零点，以改变根轨迹，使性能指标得到满足。
2.10 基于根轨迹法的超前校正
当原系统对于所有的开环增益值均不稳定，或虽稳定但顺态响应特性不理想时，采用串联超前校正装置解决。
用根轨迹法设计超前校正装置一般遵循以下步骤：
（1）根据系统的性能指标要求（可以得到ξ和），得出预期闭环主导极点的位置。
（2）绘制未校正系统的根轨迹，验证未校正系统能否具有预期闭环主导极点。
（3）如果系统的跟轨迹没有通过预期主导极点，首先采用调整增益的方法，若不行，计算出幅角缺额。为—闭环主导极点希望位置的幅角与原系统开环极点和零点幅角之和。该角度必须由超前校正装置产生。
（4）超前校正装置，其中和T由幅角缺额确定。由开环增益要求确定。
（5）如果没有指定静态误差常数，没有其他要求，可以试探地将值选取得尽可能大。大的值通常导致比较大的值，这是我们所需要的。（如果指定静态稳态误差常数，采用频率响应法比较简单。）
（6）由幅值条件确定系统的总增益，计算系统的稳态误差系数。
（7）检验所有的性能指标要求是否得到满足。若不能，再设计。
2.11 基于根轨迹法的滞后校正
当系统具有满意的瞬态响应特性，其稳态性能不能令人满意时，校正作用基本上是通过增大开环增益实现，不使瞬态响应特性明显变化。即在闭环主导极点附近，根轨迹不发生明显移动（校正后的闭环主导极点与原系统的闭环主导极点只略有不同），但开环增益显著被增大。这样的问题可以通过在前向通道中串联一个适当的滞后校正装置来解决。
由未校正系统的开环传递函数为，画出未校正系统的根轨迹图。根据瞬态响应指标，确定期望主导闭环极点在根轨迹上的位置。
（1）由未校正系统的开环传递函数为，画出未校正系统的根轨迹图。根据瞬态响应指标，确定期望主导闭环极点在根轨迹上的位置。
（2）假设滞后校正装置的传递函数为：
于是校正后系统的开环传递函数为。
（3）计算指定的具体静态误差常数。
（4）确定为了满足性能指标而需要增加的静态误差常数值，从而初步确定。
（5）确定滞后校正装置的极点和零点。（该滞后校正装置能够使特定的静态误差常数产生必要的增量，同时又不会使原来的根轨迹产生明显的变化。）
·性能指标要求的增益值与未校正系统中求出的增益值之比，就是零点与极点的比值，即=
·校正网络的零、极点应该在原点附近选定，使他们幅值很小。
考虑一个滞后校正装置，其中

如果将滞后校正装置的零点和极点配置得相距很近，则当为一个闭环主导极点时，的幅值几乎相等。因此在这一点，存在下列关系：为使滞后校正装置产生的幅角较小，要求
这表明，如果假设滞后校正装置的根轨迹增益为1，瞬态响应特性基本保持不变（开环增益可以增加到倍，其中〉1）。如果极点和零点配置得距原点很近，则的值可以做得很大（如果滞后校正装置的物理实现市可能的，则可以采用较大的值）。的值必须很大，但是它的精确性并不重要。不过它的值也不能太小，以免在用物理元件实现相位滞后校正装置时造成困难。
（6）画出校正后系统的根轨迹图。在根轨迹上确定希望闭环主导极点（如果滞后网络产生的幅角很小，只有几度，原根轨迹和新根轨迹将几乎不同。换句话说，它们之间将存在微小的差别。根据瞬态响应指标，在新的根轨迹上确定希望的主导闭环极点）。
（7）根据幅角条件，调整校正装置的增益，使主导闭环极点落在希望的位置上（约为1）。
增大增益意味着增大静态误差常数。如果未校正系统的开环传递函数为，则静态误差常数为：。如果选择了滞后校正装置，对于开环传递函数为的被校正系统，其静态速度误差常数为

（8）校验。
因此，如果前向通道中串联了滞后校正装置，静态误差常数将增大到倍，其中约为1。
滞后校正的主要负作用，是位于原点附近的校正装置的零点，将会形成原点附近的闭环极点。这个闭环极点和校正装置零点，将会在阶跃响应中产生一种长时间小振幅拖尾，因此增大了调整时间。
2.12 基于根轨迹法的滞后—超前校正
超前校正的作用是使响应加快，使系统的稳态性增加。滞后校正的作用则是改善系统的稳态精确度，但将减慢响应速度。
滞后—超前校正综合了滞后和超前校正两者的优点。不足之处时会使系统的阶此增大两阶（滞后—超前校正装置具有两个极点和两个零点，如果在校正系统中没有发生零极点相消）。
用根轨迹法设计滞后—超前校正装置一般遵循以下步骤：
（1）根据给定的性能指标，确定希望的主导闭环极点位置。
（2）如果规定了静态速度误差常数，则可以由下列方程确定常数的值： (2-4)
（3）为了能使主导闭环极点位于希望的位置，需要计算由滞后—超前校正装置的超前部分必须产生的幅角。，是第一步确定的希望主导闭环极点。
（4）根据 ，，选择和的值。
（5）利用确定的值选择，使得，，滞后-超前校正装置的极点理论上应该取的尽量小，但不能太小，否则物理上将难以实现。
（6）校验。

第三章 基于传递函数模型的控制系统设计
3.1 概 述
本章主要介绍基于传递函数模型的单输入－单输出、线性、定常、连续、单位负反馈控制系统的设计问题。设计的目的体现在将控制器和被控对象适当地组合起来，使之能完成控制系统提出的给定任务，这种给定任务是通过性能指标（如控制精度、阻尼程度和响应速度）来描述的。一般来说，单位负反馈控制系统具有良好的性能是指：
1. 在输出端按要求能准确复现给定信号；
2. 具有良好的相对稳定性；
3. 对扰动信号具有充分的抑制能力。
为使系统的控制满足预定的性能指标而有目的地增添的元件或装置，称为控制系统的校正装置。在控制系统中，我们经常采用两种校正方案：串联校正和反馈校正，其结构如图3.1、图3.2所示。而校正方案的选择主要取决于系统的结构、系统各点功率的大小、可供选择的元件、设计者的经验及经济条件等因素。

图3.1 串联校正结构图

图3.2 反馈校正结构图
在控制工程实践中，解决系统的校正问题，采用的设计方法一般依性能指标而定。单位反馈控制系统的性能指标以时域量的形式给出时，例如期望的闭环主导极点的阻尼比ζ和无阻尼自振频率、超调量、上升时间和调整时间等，这时采用根轨迹法进行设计是比较方便的。而性能指标以频域量的形式给出时，例如所期望的相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、剪切频率、谐振频率、带宽（0～）及反映稳态指标的开环增益K、稳态误差或误差系数等，此时虽然时域响应和频域响应之间有间接的关系，但是采用Bode图法进行设计比较方便。采用Bode法设计时，如果给定的是时域指标 ，则必须先将其换算成频域指标和方可进行相应的运算和设计。
3.2 根轨迹法
根轨迹法是一种图解法，它是当系统的某一参数（通常为增益）从零到无穷大变化时，根据开环极点和开环零点的位置信息确定全部闭环极点位置的方法。在应用根轨迹法进行设计时，实质上是通过采用校正装置改变系统的根轨迹，从而将一对闭环主导极点配置到需要的位置上。
若在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统响应的调整时间。而在开环传递函数中增加零点，可以导致根轨迹向左移动，从而增加系统的稳定性，减少系统响应的调整时间。因此，掌握了在系统中增加极点和（或）零点对根轨迹的影响，就能容易地确定校正装置的零、极点位置，从而将根轨迹改变成所需要的形状。下面分别讨论基于根轨迹法的串联超前、滞后、滞后—超前校正以及反馈校正的方法及其MATLAB实现。
设原系统的开环传递函数为： (3-1)
而校正装置的传递函数记为，未校正系统的开环传递函数为：其中，为所给定的开环增益要求值或由给定的稳态误差所求出的值，是为了使原系统具有给定开环增益值而需要把原来的增益提高的倍数，的关系为：则校正后系统的开环传递函数为：。用根轨迹法设计系统控制器时，一般给定的时域指标是。
3.3 串联超前校正
原系统可能对于所有的增益值都不稳定，也可能虽属稳定，但不具有理想的瞬态响应特性。为了校正这些问题，可以在前向通道中串联一个或几个适当的超前校正装置，使闭环主导极点位于复平面内希望的位置上，这样即保证了闭环系统具有较好的稳定程度，又能使整个闭环系统达到预期的瞬态响应特性。
一、根轨迹的几何设计方法
采用这种方法设计串联超前校正装置的步骤为：
1.根据动态性能指标要求确定闭环主导极点的希望位置。
由给定的
（或0.05），可求出基于二阶系统的和，而是两个闭环主导极点之一。
2.计算出需要校正装置提供的补偿相角,
其中。若，则说明根轨迹的幅角条件已经满足，只需调整系统增益就可使闭环主导极点满足幅值条件，从而达到设计的目的，否则未校正系统就需要超前校正装置来补偿相角。
注意：若未给出的具体值，则默认为1。若，那么可以考虑采用两个PD控制器串联的多级串联校正方案。
3.确定校正装置的参数
第一种情形：采用PD控制器，即。其中，由可以求出实数，进而确定微分时间常数。
第二种情形：采用带惯性的PD控制器，即。其中
在选择的位置方面存在多种方案，这里介绍的是求的最大可能值的方案：
首先画一条连接坐标原点O至P（对应于）的直线OP，再过点P画一条水平线PA。作PA与PO间夹角等分线PB，然后作PC和PD两条直线，它们与等分线PB构成夹角PC和PD与负实轴的交点就是所必需的位置。这样的设计过程使得位置间的距离最小。

图3.3 确定超前校正的极点和零点
由图3.3可知则由求得极点位置；由求得零点位置。
4.验算性能指标
按的开环增益要求值K找出全部闭环极点和闭环零点。若确实是校正系统的闭环主导极点且满足动态指标的要求，则设计过程完毕。否则调整的位置重复上述的设计过程，直至所有的性能指标得到满足为止。
我们编写了MATLAB函数实现上述两种方案，其调用格式为：
[ngc,dgc]= lead1(ng0,dg0,s1)
[ngc,dgc]=lead2(ng0,dg0,s1)
其中，ng0,dg0分别为原系统的开环传递函数的分子、分母系数向量，s1是满足性能指标的闭环主导极点的位置，ngc,dgc为超前校正装置传递函数的分子、分母系数向量。
下面介绍几个常用的设计函数。
① s=bpts2s(bp,ts,delta)
根据超调量bp、响应时间ts、响应时间误差宽度delta，求解闭环主导极点s。
② s=kw2s(kosi,wn)
根据阻尼比kosi、无阻尼自振频率wn，求解闭环主导极点s。
③ [kosi,wn]=s2kw(s)
根据闭环极点s，求解阻尼比kosi和无阻尼自振频率wn。
④[pos,tr,ts,tp]=stepchar(g,delta)
求解系统单位阶跃响应的特征量，即系统的时域性能指标。其中，g为系统的闭环传递函数,delta为调整时间误差范围，pos为超调量，tr为上升时间，ts为过渡过程时间，tp为峰值时间。
二、根轨迹的解析设计方法
采用这种方法既可以设计超前校正装置，也可以设计滞后校正装置。设串联超前校正装置的传递函数为 其设计步骤为：
1、根据稳态性能和动态特性要求，确定和希望的在s平面上的位置；
2、确定所求的需满足的方程：由于校正系统的根轨迹为：

如果
3、利用上述方程可分为实部、虚部，通过方程组求解来确定未知数：

注意：要经常选择几个值进行设计，从能使性能指标满足设计要求。
3.4 串联滞后校正
如果原系统具有满意的动态响应特性，但是其稳态特性不能令人满意，我们可以通过在前向通道中串联一个适当的滞后校正装置来解决，并采用增大开环增益，同时又使动态响应特性不发生明显变化的方法来实现。
为了避免根轨迹的显著变化，滞后校正产生的相角应当限制在的范围内，为此我们将滞后校正装置的零极点配置的相距很近，并靠近s平面上的原点。这样，校正后系统的闭环极点将稍稍偏离原来的位置（准确地说，稍偏右下侧）。因此动态响应特性将变化很小。
下面讨论采用根轨迹法设计近似PI控制器的问题，校正装置的传递函数为：。 (3-2)
一、根轨迹的几何设计方法：
这种方法设计滞后校正装置的步骤为：
1．根据动态指标要求，确定闭环主导极点的希望位置。
2．求取未校正系统根轨迹上的对应于闭环主导极点的开环增益。
(3-3)
3．根据给定的稳态要求计算校正系统应具有的开环增益K，并求取。
4．确定滞后校正装置的。
首先，令取小于1的正数。并验证，否则重新选择。其次，求取的值：，，，
则，。
5．验算性能指标 。
验算系统的相对稳定性、动态性能和稳态性能。
二、根轨迹的解析设计方法
采用根轨迹的解析设计方法设计滞后校正装置与超前校正装置的方法相同，设滞后校正装置的传递函数为： (3-4)
3.5 Bode图法
在Bode图中的对数频率特性的低频区表征了闭环系统的稳态特性，中频区表征了系统的相对稳定性，而高频区表征了系统的抗干扰特性。在大多数实际情况中，校正问题实质上是一个在稳态精度和相对稳定性之间取折衷的问题。
为了获得比较高的开环增益及满意的相对稳定性，必须改变开环频率特性响应曲线的形状，这主要体现为：在低频区和中频区增益应该足够大，且中频区的对数幅频特性的斜率应为-20dB/dec，并有足够的带宽，以保证适当的相角裕度；而在高频区，要使增益尽可能地衰减下来，以便使高频噪声的影响达到最小。下面分别讨论基于Bode图法的串联超前、滞后、滞后—超前校正及反馈校正的方法及MATLAB实现。
系统的环节定义与描述方法与根轨迹法相同，只是Bode图设计方法的频域指标为。
3.6 串联超前校正
超前校正装置的主要作用是改变Bode图中曲线的形状来产生足够大的超前相角，以补偿原系统中的元件造成的过大的相角滞后。
一、Bode图的几何设计方法
用这种方法设计超前校正装置的步骤为：
1．根据稳态指标要求确定未校正系统的型别和开环增益K，并绘制其Bode图；
2．根据动态指标要求确定超前校正装置的参数，分两种情形加以讨论：
第一种情形：给出了的要求值
（1）确定超前校正所应提供的最大超前相角；
（2）根据求出的值，再根据确定的值；假如，则说明可以确保相角裕度的指标要求，否则二者相差很大时，采用如下的方法设计：
根据求出的值:，并求出其所提供的最大超前相角，再判断是否成立，若成立，则求出的值满足相角裕度的要求，否则需重新调整a值。
（3）由求出的值。
第二种情形：未给出的要求值
（1）确定串联超前校正所应提供的最大超前相角，其中为未校正系统的剪切频率；
（2） 根据求出的值；
（3） 根据求出；
（4） 根据求出的值。
3．验算性能指标
（1）对于三阶及其以上的高阶系统应该验证，以评价系统抑制干扰的能力。即：当时，或及在此频段内对数幅频特性的斜率均小于等于。
（2）以上所讨论的校正装置的传递函数都采用形式，其中。
假如采用形式 ，那么设计将简单得多，可直接求解。
我们编写了MATLAB函数来实现上述超前校正方法，其调用格式为：
[ngc,dgc]=lead4(ng0,dg0,KK,Pm,w)
[ngc,dgc]=lead5(ng0,dg0,KK,Pm,wc,w)
[ngc,dgc]=lead6(ng0,dg0,KK,wc)
其中Pm,wc为校正后的相角裕度和剪切频率，w为指定的Bode图频率范围。
3.7 串联滞后校正
串联滞后校正的主要作用在不改变系统动态特性的前提下，提高系统的开环放大倍数，使系统的稳态误差减小，并保证一定的相对稳定性。设滞后校正装置的传递函数为 (3-5)
一、Bode图的几何设计方法
用这种方法设计滞后校正装置的步骤为：
1．根据稳态指标确定未校正系统的型别和开环增益，并绘制其Bode图；
2．根据动态指标要求确定滞后校正装置的参数，分两种情形加以讨论：
第一种情形：给出了的要求值
（1）根据求出的值：；
（2）为了减少滞后校正对系统的影响，通常取。并求出。
第二种情形：未给出的要求值
若相角裕度不足，找出满足（可加的裕量）的频率点作为校正系统的剪切频率，然后按第一种情形的步骤处理。
3．验算性能指标
我们编写了相应函数来实现上述滞后校正方法，其调用格式为：
[ngc,dgc]=lag2(ng0,dg0,w,KK,Pm)
[ngc,dgc]=lag3(ng0,dg0,w,KK,Pm,wc)
二、Bode图的解析设计方法
采用这种方法设计校正装置。
3.8 串联滞后—超前校正
设串联滞后—超前校正装置的传递函数为：
其中 (3-6)
采用Bode图法设计串联滞后—超前校正装置的基本步骤如下：
1. 根据给定的动态指标，确定串联超前校正部分的参数。为了保证相角裕度，确定超前校正提供的超前角时，应为滞后校正留出的裕量。通常滞后校正会使原系统的剪切频率减小，因此确定超前校正的剪切频率时应比预定的指标大一些。
，其中：
2. 根据给定的稳态指标，确定串联滞后校正部分的参数。
3. 验算性能指标。如果不满足预期指标，视具体情况适当调整校正环节的参数。
3.9 反馈校正
在位置随动系统中，常常采用速度反馈这种形式来提高系统的控制性能。而反馈校正的功能主要有：比例负反馈可以减弱为其包围环节的惯性，从而将扩展该环节的带宽；负反馈可以减弱参数变化对系统性能的影响；负反馈可以消除系统不可变部分中的不希望具有的特性；负反馈可以削弱非线性影响；正反馈可以提高反馈环路的增益。
设控制系统的方块图如图3.4所示，其中为反馈校正环节，则内反馈闭环传递函数为：
G (s)

H(s)
-
-

图3.4 带反馈校正的随动系统方框图
当时，。即在的频段内，内环系统的闭环幅频特性近似为反馈控制器幅频特性的倒数。我们希望，内环闭环后的系统开环幅频特性与期望特性尽可能一致，此时系统开环幅频特性在频段内近似为，因此设计的基本出发点是使上式的中频段幅频特性与期望特性一致。
设，其中：为反馈增益，为微分的阶次。
同时假定系统开环对数幅频期望特性为：

-40dB/dec

h
dB

-40dB/dec
-20dB/dec

图3.5 开环期望对数幅频特性
图中，为转折频率，h为中频带宽度，为剪切频率。
在随动系统中，为放大环节，为积分环节，其开环传递函数可构造为：
因此，我们得到反馈校正装置的设计步骤如下：
1、根据给定期望闭环的时域指标：，由经验公式及近似公式：

（需留有裕量），

可方便地将时域指标转换成频域指标，并求出、。
2、根据开环期望频率特性的中频带的宽度h、剪切频率，可由
，
求出，的值。
3、由于的对数幅频特性的中频区在穿越线，所以由 求得的值。
4、由，，已知，就可求出反馈结构的传递函数。

第四章 串联校正的MATLAB 仿真
串联校正的主要内容是PID校正，即比例微分积分校正。
为了体现串联校正在这里我们对某控制系统固有部分传递函数如下，试分别设计串联校正装置，满足下列要求：
⑴ 要求开环本例系数≥100，相角裕量≥，截止角频率≥；
⑵ 要求开环本例系数≥100，相角裕量≥，截止角频率=；
⑶ 要求开环本例系数≥100，相角裕量≥，截止角频率≥；
结果：求得的校正装置分别为：
⑴ 超前校正：
⑵ 滞后校正：
⑶ 滞后-超前校正：
4.1 求解原系统的相应曲线，对照性能指标作出分析
在MATLAB Editor/Debuggger下编辑以下编码：
%清除内存变量
clear,
num=1;
den1=[1 0];
den2=[0.1,1];
den3=[0.01,1];
den=conv(den1,conv(den2,den3));
%系统闭环传递函数
[numc,denc]=cloop(num,den,-1);
t=0:0.01:1.5;
wt=0:0.5:60;
%系统频率响应数据
g=freqs(numc,denc,wt);
mag=abs(g);
%绘制图形
subplot(121),
bode(num,den);
subplot(222),
step(numc,denc,t);
subplot(224),
plot(wt,mag);
title(′Frequency Response-Amplityde′);
xlabel(′Frequency-red′);
ylabel(′Amplitude′);
grid;
得到校正前系统的响应曲线如图：

图4.1 校正前系统的响应曲线
从图中可以看出，最明显的是系统的变化阶跃响应曲线振荡幅度非常剧烈，并且衰减频率很慢。系统频临部稳定。对应系统的频率响应曲线上在处有一个非常高的谐振峰，约为32左右。谐振峰说明系统对该拼命率的输入容易引起共振，形成衰减很小的振荡曲线。而阶跃函数是包含一切频率分量的，因此对照阶跃响应曲线可以看出系统的振荡频率约为左右。这样的系统的无法投入使用的，因此必须进行串联校正。
4.2 超前校正
根据校正的目标，对照系统的Bode图可以发现：对于目标1，时系统的相角已经接近，并且增益的值为负。因此应该在处补充的相角超前量，使其此处增益的值接近于零。所以应该采用超前校正。当然，考虑到系统开环增益的要求，还因该将系统的增益值乘以100。紧接MATLAB上一步，输入以下代码：
%相角裕量
gama=55;
%截止角频率
wc=50;
%超前校正装置
a=(1+sin(gama*pi/180))/(1-sin(gama*pi/180))
T=1/(wc*sqrt(a))
num=[0 0 0 100];
numa=[a*T 1]
dena=[T 1]
numao=conv(num,numa);
denao=conv(den,dena);
bode(numao,denao);
得到系统超前校正后的Bode图为：

图4.2 加入超前校正后系统的Bode图
对照图4.2和图4.1可以看到，系统地截止角频率从后移到了约为处，对应的相角约为，相角裕量，满足相角裕量≥的要求。从MATLAB Command Window下可以读出校正装置的参数：
a=10.0590
T=0.0063
%校正装置传递函数多项式
numa=0.0634 1.0000
dena=0.0063 1.0000
紧接还可以输入以下代码作时间域的验证：
[numac,denac]=cloop(numao,denao,-1);
step(numac,denac);
得到系统的阶跃响应曲线如下：

图4.3 加入超前校正后系统的阶跃响应曲线
对照此图4.3，可以读出系统的过渡过程时间约为左右，满足设计要求。但是可以看出系统的超调量仍然比较大。
4.3 滞后校正
中频段系统增益过高，对于这种系统，超前校正是无能为力，应该采用较低中频段增益的滞后校正。紧接上一步，输入以下代码：
wc=5;
g=25;
%滞后校正装置
beta=10^(g/20);
T=4/wc;
wt=logspace(-2,2);
numb=[T 1];
denb=[beta*T 1];
numbo=conv(num,numb);
denbo=conv(den,denb);
bode(numbo,denbo,wt);
得到系统经滞后校正后的Bode图如下图所示：

图4.4 加入滞后校正后系统的Bode图
可以看到系统的