2023年高中数学必修知识点总结及题型.doc

高中数学讲义必修一第一章复习

知识点一　集合的概念
1．集合：一般地，把一些可以________________对象当作一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表达．
2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表达．
3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
知识点二　集合与元素的关系
1．属于：假如a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.
2．不属于：假如a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.
知识点三　集合的特性及分类
1．集合元素的特性 _______、________、________.
2．集合的分类：(1)有限集：具有_______元素的集合；(2)无限集：具有_______元素的集合．
3．常用数集及符号表达
名称
非负整数集(自然数集)

整数集

实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
知识点四　集合的表达方法
1．列举法：把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表达集合的方法
2．描述法：用集合所含元素的________表达集合的方法称为描述法．
知识点五　集合与集合的关系
1．子集与真子集

定义
符号语言
图形语言
(Venn图)
子集
假如集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
________(或________)

真子集
假如集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集
________(或________)

2.子集的性质
(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它自身的子集，即________．(3)假如A⊆B，B⊆C，则________．(4)假如AB，BC，则________．
3．集合相等

定义
符号语言
图形图言
(Venn图)
集合相等
假如集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是同样的，因此，集合A与集合B相等
A＝B

知识点六　集合的运算
1．交集
自然语言
符号语言
图形语言
由___________________
_____________________
组成的集合，称为A与B的交集
A∩B＝_________

2．并集
自然语言
符号语言
图形语言
由_________________
_________________组成的集合，称为A与B的并集
A∪B＝_______________

3.交集与并集的性质
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝________
A∪B＝________
A∩A＝________
A∪A＝________
A∩∅＝________
A∪∅＝________
A⊆B⇔A∩B＝________
A⊆B⇔A∪B＝________
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时，假如一个集合具有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．
5．补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________
符号语言
∁UA＝________________
图形语言

典例精讲
题型一 * 判断能否构成集合
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，可以构成集合的是 。
题型二 * 验证元素是否是集合的元素
1、 已知集合，判断3是不是集合A的元素。
2、集合A是由形如的数构成的，判断是不是集合A中的元素.
题型三 ** 求集合
1．方程组的解集是(　 　)
A. B．{x，y|x＝3且y＝－7} C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
2．下列六种表达法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
能表达方程组的解集的是(　　)
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤ C．②⑤ D．②⑤⑥
题型四 ** 运用集合中元素的性质求参数
1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
3.已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________.
4.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　　)
A．2 B．3 C．0或3 D．0或2或3
题型五 ** 判断集合间的关系
1、设,，则M与N的关系对的的是（ ）
A. M=N B. C. D.以上都不对
2．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
题型六 ** 求子集个数
1．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
2.已知集合A＝{1，2，3}，写出集合A的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集

题型七 ** 运用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.
2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不也许是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
题型八 *** 集合间的基本运算
1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中对的的个数为(　　)
A．1　　　　B．2 C．3 D．4
2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5} C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}
3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(2023·全国卷Ⅲ理，1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　　)
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
5．下列关系式中，对的的个数为(　　)
①(M∩N)⊆N；②(M∩N)⊆(M∪N)；③(M∪N)⊆N；④若M⊆N，则M∩N＝M.
A．4 B．3 C．2 D．1
6． (2023·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB).

题型九 ** 根据集合运算的结果求参数
1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.

2．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.假如A∩B＝B，求实数a的取值范围.

3．U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁UA＝{1}，则p＋q＝________.
题型十 ** 集合中的新定义问题
1．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为(　　)
A．7 B．12 C．32 D．64
2．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝(　　)
A．{0,1,3,4} B．{1,4} C．{1,3} D．{0,3}

知识点一　函数的有关概念

知识点二　两个函数相等的条件
1．定义域________．2．________完全一致．
知识点三　区间的概念及表达
1．一般区间的表达
设a，b∈R，且a<b，规定如下：
定义
名称
符号
数轴表达
{x|a≤x≤b}
闭区间

{x|a<x<b}
开区间

{x|a≤x<b}
半开半闭区间

{x|a<x≤b}
半开半闭区间

2.特殊区间的表达

定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x<a}
符号
(－∞，＋∞)
a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)

知识点四　函数的表达方法
函数的三种表达法：解析法、图象法、列表法．
知识点五　分段函数
假如函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域是各段值域的________．
知识点六　映射的概念
设A，B是两个________________，假如按某一个拟定的相应关系f，使对于集合A中的________________，在集合B中都有________拟定的元素y与之相应，那么就称相应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
知识点七　函数的单调性
1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则为减(增)函数．
知识点八　函数的最大值、最小值
最值
类别
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有__________
(2)存在x0∈I，使得______________
(1)对于任意的x∈I，都有________
(2)存在x0∈I，使得________
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值

性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．
知识点九　函数的奇偶性
1．函数奇偶性的概念

偶函数
奇函数
条件
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
函数f(x)是偶函数
函数f(x)是奇函数

2.性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在原点有定义，则f(x)=0
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．
(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．
知识点十　函数的周期性
若存在非零常数T，对定义域内任意x，都有，称这样的函数为周期函数，T叫函数的一个周期。

典例精讲
题型一 *** 函数的定义域
1　函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为(　　)
A．{x|x>－3} B．{x|x>0} C．{x|x>3} D．{x|x≥3}
2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
3.函数的定义域为 （ ）
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
4.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是（ ）
A.0<m≤4 B.0≤m≤1 C.m≥4 D.0≤m≤4
5、若函数＝的定义域是[1，4]，则＝的定义域是 ．

6、若函数＝的定义域是[1，2]，则＝的定义域是
题型二 *** 函数概念的考察
1　下列图象中，不也许成为函数y＝f(x)图象的是(　　)

2 下列各组函数中表达同一函数的是（ ）
A.y=和 B.y=ln和
C. D.
3 下列四组函数中，表达同一函数的是（ ）
A. B．
C． D．
4 已知函数y=定义域为，则其值域为
题型三 *** 分段函数的考察
1、已知函数，则
A.4 B. C.-4 D-
2、已知函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a＝________.
3、设函数则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
4、已知函数若则实数的取值范围是（ ）A B C D
题型四 *** 函数图像的考察
1、设,二次函数的图像也许是

2、函数y=2x -的图像大体是

3、函数的图像大体为 ( )
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O

4、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定对的的是 （ ）
A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面

题型五 *** 求函数的解析式
1、求下列函数的解析式
① 已知
②

③ 已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).

④ 已知f(x)满足求f(x).

2、 已知f(x)为奇函数，x>0, f(x)=x2+x,求f(x)解析式

3、 设是奇函数，是偶函数，并且，求。

题型六 ** 函数的值域与最值
1、函数 ，的值域为 ．
2、求函数 的最大值和最小值。

3、求函数 的最大值和最小值。

题型七 *** 函数性质的考察
1、 写出函数的单调递减区间
2、设二次函数f(x)=x2-(2a+1)x+3
(1)若函数f(x)的单调增区间为，则实数a的值__________；
(2)若函数f(x)在区间内是增函数，则实数a的范围__________。
3、定义在上的奇函数，则常数____,_____
4、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．
5、函数的图像 （ ）
A.关于原点对称 B.关于主线对称 C .关于轴对称 D.关于直线对称
6、函数的图象（ ）
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
7、定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 （）
A. B.
C. D.
8、已知偶函数在区间单调增长，则满足＜的x 取值范围( )
（A）（，） B.［，） C.（，） D.［，）
9、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ( )
(A) B.
C. D.
10、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( )
A.0 B. C.1 D.
11、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
12、已知函数f(x)＝的图象通过点(1,3)，并且g(x)＝xf(x)是偶函数．
(1)求函数中a、b的值；
(2)判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．

基本初等函数、方程的根与函数的零点

知识点一　指数函数
（1） 根式的概念：
假如，且，那么叫做的次方根．
（2） 分数指数幂的概念：
①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没故意义．
（3） 运算性质：
① ②
③
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对图象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
知识点二　对数函数
（1） 对数的定义：
①若，则叫做认为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化： ．
（2）几个重要的对数恒等式：，，．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
（4）对数的运算性质 假如，那么
①加法： ②减法：
③数乘： ④
⑤ ⑥换底公式：
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
知识点三　幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
（2）幂函数的图象

过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
知识点四　 函数与方程
1、函数零点的定义
（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。
（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。
②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。
③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充足不必要条件。
2、函数零点的鉴定
（1）零点存在性定理：假如函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）拟定方法
① 代数法：函数的零点的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并运用函数的性质找出零点。
（3）零点个数拟定
有2个零点有两个不等实根；
有1个零点有两个相等实根；
无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行拟定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的环节:
① 拟定区间,验证,给定精确度;
②求区间的中点;
③计算;
(ⅰ)若,则就是函数的零点;
(ⅱ) 若,则令(此时零点);
(ⅲ) 若,则令(此时零点);
④判断是否达成精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则反复②至④步.
典例精讲
题型一 ** 有关幂函数定义及性质
1、函数是一个反比例函数，则m= .

2、在函数①y=x3 ②y=x2 ③y=x-1 ④y=中，定义域和值域相同的是 .

3、 将，，按从小到大进行排列为________

题型二 *** 指数函数及其性质
1、函数且的图像必通过点
2、 比较下列各组数值的大小：
（1） ； （2） ；
3、函数的递减区间为 ；值域是
4、设，求函数的最大值和最小值。
5、设都是不等于的正数，
在同一坐标系中的图像如图所示，则的大小顺序是
A B
C D
题型三 ** 指数函数的运算
1、计算的结果是（）
A、B、C、— D、—
2、等于（）
A、 B、C、 D、
3、若，则= 。

题型四 ** 对数运算
1、求值 ；
2、已知，那么用表达是（）
A、 B、 C、 D、
3、已知，那么等于（）
A、B、C、D、

题型五 *** 对数函数及其性质
1、指数函数 且的反函数为 ；它的值域是
2、已知，则 ( )

3、 ，，，的大小关系是
4、已知＜0 ，（＞0，≠1），则的取值范围是 .
5、函数 （＞0，且≠1）的图像必通过点
6、已知y=loga(2－ax)在[0，1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是 （ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．

题型六 *** 零点区间的判断
1、函数　f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（ ）
A、(－2，－1)　　　 B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2)
2、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）
A、 B、 C、 D、(1,2)
3、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（ ）
A、[0,1] B、[1,2]
4、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、若是方程的解，则属于区间 （ ）
A、 B、 C、 D、

题型七 *** 零点个数的判断
1、方程的实数解的个数为 .
2、函数的零点个数为 .
3、函数在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
4、函数在内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点
C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
5、函数， 零点个数为 （ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
6、若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .
7、若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、

题型八 ** 二分法求函数零点
1、下列函数中能用二分法求零点的是 （ ）

2、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 （ ）

3、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区（ ）
A、 B、 C、 D、不能拟定
4、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 （ ）
A、（0，0.5）， B、（0，1），
C、（0.5，1）， D、（0，0.5），
5、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f (1) = －2
f (1.5) = 0.625
f (1.25) = －0.984
f (1.375) = －0.260
f (1.4375) = 0.162
f (1.40625) = －0.054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5