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2023年初中数学培优竞赛讲座第讲线段.doc
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1、第二十讲 线段 平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科,重要是研究平面图形的形状、大小及位置关系 构成平面图形的基本元素是点和线,在线中,最简朴、最常见的就是线段、射线或直线,它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础 几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来,它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质,但却为现实问题的解决提供了有力的工具,使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究解决与线段相关的问题,常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法例题【例1】 平面内两两相交的
2、6条直线,其交点个数最少为 个,最多为 个 ( “希望杯”邀请赛)思绪点拨 画图探求,从简朴情形考虑,从特殊情形考虑 注:几何原意是“测地术”,相传起源于四千数年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要,公元前三百年左右,古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识,写成了巨著几何原本 当今,几何巳形成结构严密的科学体系,成为数学中的一个重要分支,是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一 求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数,常用到穷举、归纳、逆推等方法,读者思考以下典型问题:(1) 线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段? (2)
3、n条直线两两相交的直线最多有几个交点? (3)n条直线最多能把平面提成几个区域?【例2】 如图,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N是线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN:PQ等于( ) (“五羊杯”邀请赛) A1 B2 C3 D4 思绪点拨 运用中点,设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表达 【例3】 如图,C是线段AB的中点,D是线段AC的中点,已知图中所有线段的长度之和为23,求线段AC的长度思绪点拨 引人未知数,通过列方程求解【例4】 摄制组从A市到B市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭,由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三
4、分之一,过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息,司机说,再走从C市到这里路程的一半就到达目的地了,问A、B两市相距多少千米? (“华杯赛”试题) 思绪点拨 条件中只有路程,而没有给出时间与速度,所以应当集中注意于名段路程之间的关系,画线段图分析,借助图形思考【例5】 (1)如图a,已知A、B在直线l的两侧,在l上求一点P,使PA+PB最小; (2)如图b,已知A、B在直线l的同侧,在l上求一点P,使PA+PB最小; (3)如图c,有一正方体的盒子ABCDA1B1ClDl,在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛,而在对角的顶点C处有一只苍蝇蜘蛛应沿着什么途径爬行,才干在最短的时间内捕获到苍蝇?(假
5、设苍蝇在Cl处不动)思绪点拨 联想到“两点之间,线段最短”性质,通过对称、考察特殊点等方法,化曲为直注: 恰当设元,运用方程思想,将线段、角的计算问题代数化,是解与线段、角相关计算问题的重要方法 数学既研究数,也研究形,许多数学问题既可以从代数角度来思考,也可以从形的角度加以解决 “谋定而后动”,解题方法的选择建立在分析的基础上,切忌“慌不择路”,扎进“死胡同”分类思想是一种科学思想,在数学学习中的各阶段都要运用到,几何学运用分类思想时,总是与图形位置关系,数量关系相关的【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程,计划上午比下午多走100km到C市吃午饭由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计
6、划的三分之一,过了小镇,汽车赶了400km,傍晚才停下来休息,司机说,再走C市到这里路程的一半就到达目的地问A、B市相距多少千米? 思绪点拨 画出线段图进行分析如图131所示,设小镇为D点,傍晚在正点休息GE=2EB,GE=BCAD=AC,DC=ACDC+CE=(BC+AC)=ABDE=AB,又DE=400km; AB=600 km 注: 线段图形比较直观,在实际问题中有着广泛的应用同学们想一想,“计划上午比下午多走100km”这个条件是必需的吗?假如把司机的话改成“再走C市到这里路程的就到达目的地”,需要前面的条件吗?请同学们自己试完毕解答【例7】 如图13-7所示,在一条河的两岸有两个村庄
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