2023年初中数学培优竞赛讲座第讲线段.doc

第二十讲 线段
平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，重要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．
构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简朴、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．
几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．
解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．
例题
【例1】 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个． ( “希望杯”邀请赛)
思绪点拨 画图探求，从简朴情形考虑，从特殊情形考虑．
注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千数年前的土地测量、面积计算、器皿制
造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》．
当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一．
求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：
(1) 线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?
(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?
(3)n条直线最多能把平面提成几个区域?
【例2】 如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )． (“五羊杯”邀请赛)
A．1 B．2 C．3 D．4
思绪点拨 运用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表达．
【例3】 如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．
思绪点拨 引人未知数，通过列方程求解．
【例4】 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的一半就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米?
(“华杯赛”试题)
思绪点拨 条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名
段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．
【例5】 (1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
(2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
(3)如图c，有一正方体的盒子ABCD—A1B1ClDl，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么途径爬行，才干在最短的时间内捕获到苍蝇?(假设苍蝇在Cl处不动)
思绪点拨 联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．

注： 恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法．
数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决．
“谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．
分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的．
【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km到C市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km，傍晚才停下来休息，司机说，再走C市到这里路程的一半就到达目的地．问A、B市相距多少千米?
思绪点拨 画出线段图进行分析．
如图13—1所示，设小镇为D点，傍晚在正点休息．
∵GE=2EB，∴GE=BC
∵AD=AC，∴DC=AC．
∵DC+CE=（BC+AC）=AB
∴DE=AB，又DE=400km；
∴ AB=600 km．
注： 线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．同学们想一想，“计划上午比下午多走100km”这个条件是必需的吗?假如把司机的话改成“再走C市到这里路程的就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完毕解答．
【例7】 如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才干使从A到B的距离最短?

思绪点拨 虽然A、B两点在河两侧，但连结AB的线段不垂直于河岸．
如图13-8，关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办使P与D重合起来，运用平行四边形的特性可以实现这一目的。
如图13-9，建立在PD处符合题意．
注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简朴，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往运用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．

学力训练
1．如图，已知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a，BC=b，则线段AD= ．

2．从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，假如任意两站间的票价都不相同，那么有
种不同的票价． (黑龙江省中考题)
3．如图，AB＝a，BC＝，CD=c，DE=d，EF=e，以A、B、C、D、E、F为端点的所有线段长度的和为 ．
(“数学新蕾”邀请赛试题)

4．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )．
A ．1条 B．4条 C 6条 D．1条或4条或6条
5．如图，若C是线段AB的中点，D是线段AC上的任一点(端点除外)，则( )．
A．AD．DB<AC．BC B．AD．DB=AC．BC
C． AD．DB>AC．BC D．它们的大小关系不能拟定 (广州节中考题)
6．线段AB＝1996厘米，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP＝1050厘米，则线段PQ＝( )厘米．
A．254 B．150 C．127 D．871
7．如图，线段AB=2BC，DA= AB，M是AD中点，N是AC中点，试比较MN和AB十NB的大小．

8．已知A、B、C三点在同一直线上，若线段AD＝60，其中点为M；线段BC＝20，其中点为N，求MN的长．

9．线段AB上有P、Q两点，AB=26，1P=14，PQ=11，那么BQ= ．
10．将长为20cm的一条线段围成一个六边形，则围成的六边形中最长边的取值范围是 ．
11．如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点．已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为 ．
（“希望杯”邀请赛试题)
12．五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：
a握了4次，b握了1次，e握了3次，d握了2次．到目前为止，e握了( )次．
A．1 B．2 C． 3 D．4 (重庆市竞赛题)
13．平面内有n条直线(n≥2)，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是( )．
A．n(n一1) B．n2一n+1 C． D．
14．如图，小圆圈表达网络的结点，结点之间的连线表达它们之间有网线相联，连线标注的数字表达该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为( )． (全国高考数学试题)
A．19 B．20 C ．24 D．26
15．某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，BN有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在( )． (江苏省竞赛题)
A．A区 B．B区 C．C区 D．A、B两区之间

16．(1)一条直线可以把平面提成两个部分(或区域)，如图，两条直线可以把平面提成几个部分?三条直线可以把平面提成几个部分?试画图说明．
(2)四条直线最多可以把平面提成几个部分?试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
(3)平面上有n条直线。每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处在这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与n之间的关系． (山东省聊城市中考题)

17．如图，设A、B、C、D为4个居民社区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才干使4个居民社区到购物中心的距离之和最小?说明理由．

18．一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线如何走，桥应架在什么地方，才干使从A到B所走的路线最短?

19．在线段AB上，先在A点标注0，在B点标注2023，这称为第一次操作，然后在AB的中点C处标注，称为第二次操作；又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注相应线段两端所标注的数字和的一半，即与，称为第三次操作，照此下去，那么通过11次操作之后，在线段AB上所有标注的数字的和是多少? (第13届“希望杯”邀请赛试题)
A
B

参考答案