2023年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答从创新构造入手.doc

第三十讲 从创新构造入手
有些数学问题直接求解比较困难，可通过发明性构造转化问题而使问题获解．
所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工解决．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思绪的方法．构造法是一种发明性思维，是建立在对问题结构特点的深刻结识基础上的．
构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：
1．构造方程；
2．构造函数；
3．构造图形；
4．对于存在性问题，构造实例；
5．对于错误的命题，构造反例；
6．构造等价命题等．
【例题求解】
【例1】 设、、、都为实数，，满足，求证：．

思绪点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观测已知等式特点，、可看作方程的两根，则，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思绪新奇而深刻．

注：一般说来，构造法包含下述两层意思：运用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；运用品体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．
【例2】 求代数式的最小值．
思绪点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．
，于是问题转化为：在 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，运用对称性可求出C点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．

【例3】 已知、为整数，方程的两根都大于且小于0，求和的值．

思绪点拨 运用求根公式，解不等式组求出、的范围，这是解本例的基本思绪，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令，从讨论抛物线与轴交点在与0之间所满足的约束条件入手．

【例4】 如图，在矩形ABCD中，AD=，AB=，问：能否在Ab边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形提成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E点有几个?若不能找到，请说明理由．
思绪点拨 假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE=，则，即，于是将问题转化为关于的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．

【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此结识或者彼此不结识．
思绪点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此结识就把连接2个人的相应点的线段染成红色；2个人彼此不结识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此结识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：
已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．

注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，重要体现在：
(1)几何问题代数化；
(2)运用图形图表解代数问题；
(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．
运用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表达相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．
特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，运用一元二次方程必然有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的也许性．
有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清楚且易于把握．
对于存在性问题，可根据问题规定构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．
学历训练
1．若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是 ．
2．已知、、、是四个不同的有理数，且，，那么的值是 ．
3．代数式的最小值为 ．
4．A、B、C、D、E、F六个足球队单循环赛，已知A、B、C、D、E五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则尚未与B队比赛的球队是 ．
5．若实数、满足，且，则的取值范围是 ．
6．设实数分别、分别满足，，并且，求的值．
7．已知实数、、满足，求证：．

8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．
9．求所有的实数，使得 ．

10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证：．

11．已知关于的方程有四个不同的实根，求的取值范围．
12．设0，求证．
13．从自然数l，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177．
14．已知、、、、是满足，的实数，试拟定的最大值．

15．如图，已知一等腰梯形，其底为和，高为．
(1)在梯形的对称轴上求作点P，使从点P看两腰的视角为直角；
(2)求点P到两底边的距离；
(3)在什么条件下可作出P点?

参考答案