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初中数学教师培训材料问题模型与试题设计.doc
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1、初中数学教师培训材料:问题模型与试题设计 见山是山,见山不是山,见山是山一、问题模型一概述1.问题模式:结果f(情景,对象,方式,条件,要求,任务)。CDABl12mm例1 小鹏学完解直角三角形知识后,给同桌小艳出了一道题:“如图所示,把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知=36,求长方形卡片的周长”请你帮小艳解答这道题(精确到1mm)(参考数据:sin360.60,cos360.80,tan360.75)【2009年吉林省中考试题】DCBAEP说明:生活情景(背景):平行线,或纸片放在一组等距的平行线上;对象:平行线,矩形;操作方式:摆放,测量;条件
2、:平行线是等距的,距离为12mm,=36,(辅助条件)sin360.60等;要求:精确到1mm;任务:求周长;结果:长度值;f:如图所示摆放,使各顶点处于特定的位置。例2 如图,在菱形ABCD中,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则_度【2009年山东省临沂市中考试题】说明:数学情景:基形为菱形。对象:(基本对象)菱形,(构建对象)垂直平分线,线段;方式:推理;条件:菱形,垂直平分,对角线,;无特殊要求;任务:求角度值;f:BD为菱形对角线,AD的垂直平分线与对角线相交。2.六因素说明1“情景”主要有两种:生活情景,如海面、灯光等;数学情景,如网格、运动等.2“对象”主要
3、有三种:实物对象,如树等;模型对象,如三角形、方程等;任务对象,如决策对象,阅读对象等. 3“方式”主要有四种:操作方式,如使用测角器的测量方式,图形分割、旋转等;说理方式,如合情推理等;应用方式,如决策、方案设计、最值等;学习方式,如阅读理解与运用等.4“条件”主要有四种:数值条件,如角度、长度等;关系条件,如图形之间的关系,代数式间的关系等;结构性条件,这里又有三种,(a)情景图所确定的结构,如测量中的”两角一边”型图形或它的变式图形,组合图形;b图形结构,如位置关系等;c代数结构,如式的结构等;辅助性条件,这里又有两种:a限制性条件,如点的运动方式的限制性条件,最值所满足的条件;b说明性
4、条件,如概率情景中球的外形、质感相同等. 5“要求”主要有三种:操作性要求,如折叠后使某点落在某位置等;任务性要求,如“判断”,“猜想”,“探究”等;结果性要求,主要是指对结果表现形式的要求,如“写出一个结论”,“不要求写画法”,“结果保留”等.6“任务”主要有四种:1操作性任务,如画图、求解等;2推理性任务,如归纳、证明等;3应用性任务,如决策等;4学习性任务,如阅读理解基础上的求解、探究等运用性任务.7“结果”主要有六种:数值性结果,如概率;方案性结果,结果为一个或若干个方案;图形性结果,结果为一个图形;关系性结果,结果为几何对象或代数对象之间的某种关系;结论性结果,如某人发挥水平较为稳定
5、等;问题实例性结果,如所提问题,所举实例等.3试题模型:试题g(问题,题型).例3 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,直线BC经过点,将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形,此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、QQCBAOxP图y(1)四边形OABC的形状是 ,当时,的值是 ;(2)如图,当四边形的顶点落在轴正半轴时,求的值;如图,当四边形的顶点落在直线上时,求的面积(3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由(Q)CBAOxP图yQCBAOxP图yCBAOyx(备用图) 【2009
6、年浙江省宁波市中考试题】说明:问题:直角坐标系下,特殊矩形摆放在特殊位置,绕某点原点旋转,根据旋转的不同时刻产生不同的问题;根据问题的特殊性、难易性、所考查的目标等因素考虑,选择不同的题型进行表征,便形成了鲜活的试题。二变式.操作型问题操作结果f(操作性情景,对象,操作方式,条件,要求,任务)。1测量型问题测量性结果f(测量性情景,对象,测量方式,条件,要求)。1数值性结果数值性结果f(测量性情景,对象,测量方式,条件),其中的条件主要有两种:由测量方式所确定的、有情景图所描述的结构性条件和由测量所得到的数值条件如仰角等.例4 某旅游区有一个景观奇异的望天洞,点是洞的入口,游人从入口进洞游览后
7、,可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区ACDEFB风景,最后坐缆车沿索道返回山脚下的处在同一平面内,若测得斜坡的长为100米,坡角,在处测得的仰角,在处测得的仰角,过点作地面的垂线,垂足为(1)求的度数;(2)求索道的长(结果保留根号)【2009年辽宁省铁岭市中考试题】模型:索道长f(斜坡,水平面,B、D两处的测量方式,测量值).问题:置身如此,你可怎样获得凉亭高度?2方案性结果方案性结果f(测量性情景,对象,测量方式,条件,方案设计要求).3推断性结果推断性结果f(测量性情景,对象,测量方式,条件)。2几何操作型问题操作结果f(操作性情景,几何对象,操作方式,条件,要求,任务). (1)按
8、要求画出图形画出图形f(画图情景,基本图形,操作方式,条件,画图要求)2先作几何操作后完成有关任务结果f(几何操作情景,基本图形,操作方式,条件,操作要求).例5 观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到(如图)小明认为是等腰三角形,你同意吗?请说明理由ACDB图ACDB图FE(2)实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点处,折痕为EG(如图);再展平纸片(如图)求图中的大小EDDC
9、FBA图EDCABFGADECBFG图图【2009年江苏省中考试题】模型:说理性结果或求解性结果f(三角形纸片或长方形纸片,折叠,图示结构,要求).启示:在玩中思考,在思考中玩,数学好玩。3求解型问题求解结果f(求解性情景,对象,条件,要求)。(1)生活情景求解结果f(实际情景,对象,条件,要求).例6 一天晚上,小伟帮妈妈清洗茶杯,三个茶杯只有花色不同,其中一个无盖(如图),突然停电了,小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起,则花色完全搭配正确的概率是 【2009年四川省绵阳市中考试题】模型:搭配正确的概率f(茶杯,杯盖,茶杯与杯盖的个数与花色特点,搭配要求).启示:生活中不是没有美妙的数学,
10、而是没有发现的眼光。2纯数学情景求解结果f(纯数学情景,对象,条件).推理型问题结果f(情景,对象,条件,推理方式)。 1合情推理型问题 推理结果 = f(合情推理性情景,对象,关系,推理方式)。(1)动态的方式归纳结果 = f(动态的情景,对象,关系,归纳推理)例7 下图是蜘蛛结网过程示意图,一只蜘蛛先以为起点结六条线后,再从线上某点开始按逆时针方向依次在上结网,若将各线上的结点依次记为1、2、3、4、5、6、7、8、,那么第200个结点在( )8932176121110451314CBAFED OA线上 B线上C线上 D线上【2009年湖南省永州市中考试题】模型:结果f(归纳性情景,对象,
11、对象所满足的关系,归纳).启示:两个翅膀平衡作用,才能展翅高飞。(2)静态的方式 结果 = f(静态的情景,对象,关系,合情推理)。 2说理型问题结论f(对象,条件,说理方式)。说理方式有非严格的说理,与严格的证明性说理,以及解释性说理,等等1结合运算的说理结论f(对象,条件,结合运算的说理方式).例8 如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯已知梯子由两个相同的矩形面组成,每个矩形面的长都被六条踏板七等分,使用时梯脚的固定跨度为1m,矩形面与地面所成的角为78李师傅的身高为1.78m,当他攀升到头顶距天花板0.050.20m时,安装起来比较方便他现在竖直站立在梯子的第三
12、级踏板上,请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据:,)【2009年河南省中考试题】模型:结果f(情景,对象,图示条件,结合运算的说理).启示:将你的发现表达为问题,由问题具体化为试题。2证明性的说理结果f(对象,条件,证明性的说理方式).3综合性的说理结果f(对象,条件,合理推理,逻辑推理).例9 问题探究(1)请在图的正方形内,画出使的一个点,并说明理由(2)请在图的正方形内(含边),画出使的所有的点,并说明理由问题解决(3)如图,现在一块矩形钢板工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板,且请你在图中画出符合要求的点和,并求出的面积(结果保留根号)DCBADCBADCBA 【2
13、009年陕西省中考试题】DCBAEGOPDCBAOPEF欣赏:DCBAP 模型:所画图形f(基本图形,条件,任务要求).应用型问题结果f(应用性情景,对象,条件,要求). 1决策型问题决策结果f非决策对象,决策对象,条件,要求1方案设计型问题方案f(对象,条件,设计要求).2判断型问题判断结果f(实际情景,对象,图表文字等信息,判断依据或要求).例10 某天,小明来到体育馆看球赛,进场时,发现门票还在家里,此时离比赛开始还有25分钟,于是立即步行回家取票.同时,他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票,两人在途中相S(米)t(分)BOO3 60015 A遇,相遇后小中,明立即坐父亲的自行
14、车赶回体育馆.下图中线段、分别表示父、子俩送票、取票过程离体育馆的路程(米)与所用时间(分钟)之间的函数关系,结合图象解答下列问题(假设骑自行车和步行的速度始终保持不变):(1)求点的坐标和所在直线的函数关系式;(2)小明能否在比赛开始前到达体育馆?【2009年江西省中考试题】模型:结果 f(骑车步行,时间,路程,图示信息,文字信息).回味:自然合理,图文并茂,数形结合。3方案决策型问题决策结果f(实际情景,对象,条件,决策要求).2实际中的最值型问题结果f(实际生活情景,对象,条件,最值性要求).例11 如图(1)的矩形包书纸示意图中,虚线是折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的正方形
15、,正方形的边长为折叠进去的宽度(1)如图(2),思维游戏这本书的长为21cm,宽为15cm,厚为1cm,现有一张面积为875cm的矩形纸包好了这本书,展开后如图(1)所示求折叠进去的宽度;(2)若有一张长为60cm,宽为50cm的矩形包书纸,包2本如图(2)中的书,书的边缘与包书纸的边缘平行,裁剪包好展开后均如图1所示问折叠进去的宽度最大是多少?12【2009年浙江省绍兴市中考试题】模型:结果f(包书情景,矩形纸,图示条件,陈述性条件,包书要求). 启示:数学从生活中来,回到生活中去。.学习型问题结果f阅读材料,对象,条件,运用。1对概念与规律的理解结果f(阅读材料中的概念或规律,理解运用的对
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