初中数学直角三角形边角关系讲义初稿.doc

直角三角形边角关系讲义(初稿)
一、 概念部分
1、基本概念
正弦：在RtABC（如图），锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记为，。
余弦：在RtABC（如图），锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记为，。
正切：在RtABC（如图），锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记为，。
余切：在RtABC（如图），锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记为，。
2、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。
3、根据正弦、余弦、正切、余切的定义，在RtABC中，，有sinA=cosB，sinB=cosA ，tanA=cotB，tanB=cotA。
4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：
sinA的值越大，梯子越陡；
cosA的值越小，梯子越陡；
tanA的值越大，梯子越陡。
5、在RtABC中，，a、b、c分别是、、的对边，那么， ， ， 可以变形为，，或，等等，在解题中可以根据条件正确选用。
6、注意：
①、在初中，正弦、余弦、正切、余切的定义都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用定义。
②、sinA、cosA、tanA、cotA分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin与A、cos与A、tan与A、cot与A的乘积。
③sinA、cosA、tanA、cotA是一个完整的符号，它表示的正弦、余弦、正切、余切，记号里习惯省去角的符号“”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“”不能省略。例如：tanA，tanABC，tan1 都是正确的。
④、正弦、余弦、正切、余切在直角三角形中它们分别表示对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，所以它是没有单位的，当锐角A确定后，这些比值都是固定值。
⑤、求某个角的正弦、余弦、正切、余切函数值时，需把该角放入适当的直角三角形中，在某些非直角三角形的问题，通过作垂线转化为直角三角形来解决。
⑥、已知直角三角形一锐角的某三角函数值就知道了某两边的比值，设未知数可把3条边都可用一个未知数表示出来，这样就可以求出任何两条边的比值。
例1：在ABC中，，AC=12，BC=5，
（1）求AB的长；（2）求sinA、cosA、tanA、cotA的值；（3）求的值；（4）比较sinA与cosB的大小，tanA与cotB的大小。

变式练习：
1、在RtABC中，，a=,b=2,则sinA= 。
2、在RtABC中，，如果BC=10，sinB=0.6，那么AC= 。
例2、如图，在ABC中，，AC=CB，AB=BD，求tanD的值。

变式练习：
1、已知ABC中，，，BD为AC边上中线，求的值。
例3、 如图，在中，AD是BC边上的高，。
（1）求证：AC＝BD
（2）若，求AD的长。
分析：由于AD是BC边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。
解：（1）在中，有
中，有

（2）由
可设 由勾股定理求得
即
例4、如图，已知中，，求的面积（用的三角函数及m表示）
分析：要求的面积，由图只需求出BC。
解：由

练习题：
一、填空题：
1、在ABC中，，a=4,b=3,则：sinA= cosA=
tanA= cotA= sinB= cosB= tanB= cotB= 。
2、在RtABC中，，已知a=4,c=5则sinB= sinA= tanA= 　
3、在ABC中，，若tanB=2，a=1,则b= 。
4、ABC中，，cosA=0.8746，则sinB= 。
5、RtABC中，，tanA=，则sinB= 。
6、在ABC中，，AC边上中线BD=5，AB+BC=14，则ABC的面积为            .
7、 RtABC中，， tanA=，AB=，则AC=      ，BC=      。
8、ABC中，AB=AC，AB∶BC=2∶1，则sin、=       sinB=       。
9、等腰三角形的腰长为10cm，底边为16cm，则它底角的正弦值是        .
10、已知，如图，在ABC中，，tanB=
BC=，则AB的长为 。
二、选择题
1、在ABC中，，c=3,b=2，则cosA的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、在ABC中，，AB=13，sinA=，则BC=（ ）
A、1 B、12 C、5 D、以上都不对
3、在ABC中，，a、b、c分别是、、的对边，则（ ）
A、 B、 C、 D、
4、在ABC中，，且cosA=，则sinB=（ ）
A、 B、 C、 D、
5、在ABC中，，若c=3b ，则cosA等于（　　　　　　　　）
A、 B、 C、 D、
6、在RtABC中，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角函数值（ ）。
A、没有变化 B、都缩小2倍 C、都扩大2倍 D、不能确定如何变化
三、解答题：
1、已知： ，为锐角，求的其它三角函数。
2、已知一个三角形的三边的比为7：24：25，求最小角的正弦、正切值。
3、已知：如图43—1，在矩形ABCD中，BE⊥AC于E，AB=3，BC=4，∠CBE=∠α，求∠α的四个三角函数值.

4、已知：如图43—2，在RtABC中，，D是BC中点，DE⊥AB于E，tanB=，AE=7，求DE、BC的长.

二、特殊角的三角函数值
1、 初中阶段说的特殊角指的是五个特殊角度。
2、 规定，，，。，
，没有意义（或说不存在）。
3、
三角函数

0

1

1

0

0

1

不存在

不存在

1

0
4、从上表中明确sin、cos、tan、cot随角的变化而变化的规律：当角
逐渐增大时，sin、tan逐渐增大， cos、cot逐渐减小。

练习题：
一、 选择题
1、的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、
2、ABC中，若，则∠C的度数是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、ABC中，设，则此三角形为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形
4、ABC中，设，则ABC为（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形
5、等腰ABC中，AB=AC，，高AD=3，则AB+BC+AC等于（ ）
A、18 B、 C、 D、
6、已知，则锐角A为（ ）
A、 B、 C、或 D、或
二、填空：
1、已知，且为锐角，则（ ）。
2、若，则锐角的补角是（ ）。
3、在ABC中，，若，则=（ ）。
4、在ABC中，，若，则面积=（ ）。
5、在ABC中，，若，则=（ ）。
三、计算：
1、(2cos600-)×
2、∣– 2∣+ 2sin60° –
3、
4、
5、
6、
7、已知，求锐角。
8、求适合等式的锐角。
9、在ABC中，设均为锐角，且，试判断ABC的形状。

三、规律与公式：
1、 三角函数定义：
正弦：， 余弦：， 正切：，余切：。
2、 由锐角的三角函数定义可知：
①、 0 1 ， 0 1 。
②、；
③、， ，。
④、，。
利用上面的结论计算：
（1）、（ ），（ ）。
（2）、若，求的值。
（3）、若，求的值。
（4）、已知：，则的值。
（5）、= 。
（6）、已知，且为锐角，则=（ ）。
⑤、诱导公式：
；；
例、 已知为锐角，下列结论：
；<2>如果，那么； <3>如果，那么；<4>正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分析：利用三角函数的增减性和有界性即可求解。
解：由于为锐角知<1>不成立；当时，有，即<2>正确
当时，，即<3>成立； 又，即正确。即<4>成立，故应选C。

练习题：
1、如果tanα=, 那么cosα—sinα的值是（　　　　）
    (A)   (B)      (C)   (D)
2、已知sinα＋cosα=m, 则sinα•cosα=(    )
    (A) m2－1  (B)   (C)      (D)
3、设，则（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知为锐角，且，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知，则 。
6、已知∠+∠=，若，则 。
7、若，则∠= 。
8、已知是锐角，，则=___________ 度。
9、不查表，比较大小，若，则, 若，，则。
10、 在中，∠＞∠，且和的值是方程的两个根，则∠＝_______
11、 在中， ，= .
12、 中，，，则 。
13、 已知=___________.
14、已知：sinα＋cosα=，求下列各三角函数式的值：
①、；
②、；
③、；

四、三角函数的应用
概念：四角一度
1、 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。
2、 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。
3、 方向角：目标方向线与指南或指北的方向所成的锐角城为方向角。
4、 坡角：坡面与水平方向所成的锐角，称为坡角。
5、 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）。即为坡角的正切。
三角函数应用题解题主要步骤：
1、 审题标角
2、 酌情擦图
3、 小心分角
4、 仔细标注
5、 巧列方程
6、 破解方程
7、 检验作答
例1、 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B，取米，。要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
分析：在中可用三角函数求得DE长。
解：A、C、E成一直线
在中， 米，
米，故应选B。
例2、 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到）（如图）
参考数据：

分析：（1）由图可知是直角三角形，于是由勾股定理可求。（2）利用三角函数的概念即求。
解：设需要t小时才能追上，则
（1）在中，，，则（负值舍去）故需要1小时才能追上。
（2）在中
即巡逻艇沿北偏东方向追赶。
例3、 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：<1>测量数据尽可能少；<2>在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用等表示，测倾器高度不计）。
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）。
分析：本题实际是一道图形设计和数据的测量计算，依题意可有几种方案。如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例。
解：如图所标（1）测三个数据。
（2）设 在中，
在中，，即
课堂练习：
1、（2004贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.
（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
（结果保留整数，参考数据：sin32º≈，cos32º≈，tan32º≈）
2、（2004海口）雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C处 C与塔底B在同一水平线上），用高1.4米的测角仪CD测得塔顶A的仰角α=43°（如图），求这座“千年塔”的高度AB（结果精确到0.1米）.（参考数据：tan43°≈0.9325，cot43°≈1.0724）

3、（2004重庆）如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.

30
°
练习题：
1．（2004深圳）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30º夹角，这棵大树在折断前的高度为
α
A
B
C
D
E
(图1)
A．10米 B．15米
C．25米 D．30米
2．（2005徐州）(A类)如图1，在与旗杆AB相距20米的C处，用高1.20米的测角仪测得旗杆顶端B的仰角α=30°.求旗杆AB的高(精确到0.1米).
(B类)如图2，在C处用高1.20米的测角仪测得塔AB顶端B的仰角α=30º，向塔的方向前进20米到E处，又测得塔顶端B的仰角β=45°.求塔AB的高(精确到0.1米).
α
β
A
B
C
D
E
F
G
(图2)
我选做______________类题，解答如下：

图1
3、（2007浙江杭州）如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（ ）A
A.82米
B.163米
C.52米
D.70米

A
B
C
D
跨度
中柱
4、（2004大连）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，
D是AB的中点，中柱CD=1米，∠A=27°，
求跨度AB的长(精确到0.01米)。

D
A
C
B
5、（2005深圳）大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60º，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30º，求塔BC的高度。

0.5m

3m
6、（2005连云港）如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：≈0.8,≈0.6)

7、（2007山东青岛）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈， sin63.5°≈，tan63.5°≈2）

36
A
B
D
45°
30°
C
(第20题图)

8、(2007年昆明市)如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高(结果保留根号)．

9、（2007年云南省）已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．
求BC的长(结果保留根号).

10、（2005盐城）我边防战士在海拔高度（即CD的长）为50米的小岛顶部D处执行任务，上午8时发现在海面上的A处有一艘船，此时测得该船的俯角为30º，该船沿着AC方向航行一段时间后到达B处，又测得该船的俯角为45º，求该船在这一段时间内的航程（计算结果保留根号）

11、（2005海淀区）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为（ ）
A. a B.
C. D.

12、（2004青岛）如图，青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为 30°30′.因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为_____米，才能保证不挡光？（结果保留四个有效数字） （提示：sin30°30′=0.5075,tan30°30′=0.5890）

13、（2005福州）同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园（六•一）前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m。
（1）求滑梯AB的长（精确到0.1m）；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围。请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？

14、（2005南京）21．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点。已知∠BAC=60º，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=3m。求点B到地面的垂直距离BC。

15、在生活中需要测量一些球（如足球、篮球……）的直径，某校研究学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图所示，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径，若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=370，请你计算出球的直径（精确到1cm）。