全国高中数学联赛浙江赛区竞赛试卷.doc
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1、2012年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明:本试卷分为A卷和B卷:A卷由本试卷的2题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。一、选择题(每题5分,共50分)1已知数列an满足3an+1+an=4(n1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|(t2-4)x恒成立,则t的取值范围是_.15我们注意到6!=8910,试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为_.16对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f
2、(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=_.17已知a, b, cR+,且满足(a+b)2+(a+b+4c)2,则k的最小值为_.。三、解答题(每题17分,共51分)18已知半径为1的定圆P的圆心P到定直线的距离为2,Q是上一动点,Q与P相外切,Q交于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得MAN为定值。求MAN的度数。19已知a0,函数f(x)=ax-bx2,(1)当b0时,若对任意xR都有f(x)1,证明:a2;(2)当b1时,证明:对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件是:b-1a2;(3)当0b1时,讨论:对任意x0, 1, |f(x)|1的充要条件。20
3、.已知椭圆,过其左焦点作一条直线交椭圆于A,B两点,D为右侧一点,连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 ,求 a的值。 附加题 (每题25分,共50分)21. 如图,已知ABC的外角EAC的平分线与ABC的外接圆交于点D,以CD为直径的圆分别交BC,CA于点P、Q,求证:线段PQ平分ABC的周长。EADCPQB22.(50分)求所有实多项式f和g,使得对所有xR,有:(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。参考答案一、选择题1由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则an-1是以8为首项,公比为-的等比数列,Sn-n=(a1-1
4、)+(a2-1)+(an-1)=6-6(-)n,|Sn-n-6|=6()n250,满足条件的最小整数n=7,故选C。2设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为,PC与面PAB所成角为,则vS-PQR=SPQRh=PQPRsin)PSsin。另一方面,记O到各面的距离为d,则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS,SPQRd=PRSd+SPRSd+PQSd=PQPRsin+PSPRsin+PQPSsin,故有:PQPRPSsin=d(PQPR+PRPS+PQPS),即=常数。故选D。3xn+1=,令xn=tann,xn+1=tan(n+), xn+6=xn, x1=1,x2=2+
5、, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1,有。故选A。4设向量=(x, y),则,即,即. 或,SAOB=1。5设P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为x=3,所以H点的坐标为(3, y)。又HQ=PH,所以,所以由定比分点公式,可得:,代入椭圆方程,得Q点轨迹为,所以离心率e=。故选C。6由logx=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=2sinA,因A+B+C=180,所以3A+B=180,因此sinB=sin3A,3sinA-4sin3A=2sinA,sinA(1-4sin2A)=0,又sinA
6、0,所以sin2A=,而sinA0,sinA=。因此A=30,B=90,C=60。故选B。7. 经计算。正确答案为 B8. 平面区域的四个边界点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)满足,即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A9.问题等价于函数与直线在上有两个交点,所以m的取值范围为。正确答案为C10.不等式的左端看成的一次函数,由或。正确答案为C。.二、填空题11。由对称性只考虑y0,因为x0,只须求x-y的最小值,令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于y的二次方程显然有实根,故=16(u2-3)0。1246个。abcd中恰
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