福建省泉州市高三数学上学期期末考试试题-理-新人教A版.doc

泉州一中2013届高三上学期期末数学理试题
时间120分钟 满分150分
一、选择题(本大题共有10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本大题每小题5分，满分50分.请将答案填写在Ⅱ卷上)
1．命题“对任意的，”的否定是（ ）
A．不存在， B．存在，
C．存在， D．对任意的，
2、右图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的
茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位
数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从
图中可以得到这10位同学身高的中位数和众数分别是（ ）
A．161、155 B．163、155
C．162、163 D．162、155和163
3. 已知、表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ ）
（1）
（2）
（3）则∥
（4）
A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4）
4、条件，条件在内是增函数，则是的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20090414
5．已知直线与圆相交于两点，是优弧上任意一点，则=（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若是的导函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．设随机变量服从正态分布，若（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，当时，值域为，则的
值域为（ ）
A． B． C． D．
9．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们
在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”。定义如下：对于任意两个平面向量，（），“”当且仅当“”或“且”．下面命题为假命题的是（ ）
A．
B．若，，则
C．若，则对于任意，
D．对于平面向量，若，则
二、填空题(本大题共有5小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上，每题填对得4分，否则一律是零分．本大题满分20分.)
11. 已知非零向量满足：，且，则向量与向量的夹角= .

12．把边长为1的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥
的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为

13. 点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于、两点，过、分别作抛物线的准线的垂线段，垂
足分别为、，若，，则 .
14．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为
15．已知函数，且关于的方程有个不同的实数解，若最小实数解为，则的值为

三、解答题（本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并请将答案写在Ⅱ卷上）
16．（本小题满分13分）
已知函数，（其中），其部分图像如图1所示．

（1）求函数的解析式；
（2）已知横坐标分别为、、的三点
、、都在函数的图像上，
求的值．

17．（本小题满分13分）
某长方体截去一个三棱锥后，形成的几何体的平面展开图如图（1—1）所示。
（1）请在图（1—2）上补画出该几何体的直观图，并求出被截去的三棱锥的体积；
（2）在该几何体的直观图中连结，求证：⊥；
（3）在该几何体中求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。

18．（本小题满分13分）
给定函数（为实常数），是展开式的中间项，
（1）若函数在上的最大值为，求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若在区间上恒成立时实数的取值集合为，全集为，求

19．（本小题满分13分）
已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求的标准方程；
（2）过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，与轴交于点，
若,,求证：为定值。

20．（本小题满分14分）
某校高一年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：[0，30)，[30，60)，[60，90)，[90,120)，[120，l50)，[150，180),[180，210)，[210,240)，得到频率分布直方图如下图．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人．

（1）求n的值并求有效学习时间在[90，120)内的频率；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是
否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，请
补完整下列2×2列联表并判断是否有95％的把握
认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?

利用时间充分
利用时间不充分
合计
走读生
50
a=

住宿生
b=
15

合计

40
n=
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3
人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学
习时间少于60分钟”的学生人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式：K2=
参考列表：
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

21．（本小题满分14分）
已知函数，,其中为常数，，且函数和的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．
（1）求常数的值；
（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围；
（3）对于函数和公共定义域内的任意实数，我们把 的值称为两函数在处的偏差．求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于.

则 . ………………………11分
由得. ……………13分