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高三数学测试题
一选择题:
1.已知集合( D )
(A) (B) (C) (D)
2.函数的定义域是 ( B )
(A) (B) (C) (D)
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )
(A) (B) (C) (D)
4.已知是周期为2的奇函数，当时，设
则( D )
(A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)
5. 已知函数，若,则的取值范围是( A )
(A) (B) 或 (C) (D) 或
6.若是的图象的一条对称轴,则可以是( C )
(A)4　　　(B) 8　　(C) 2　　　(D)1
7.已知是上的减函数，则的取值范围是( C )
(A) (B) (C) (D)
8.给定函数:①,②,③,④,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( C )
(A)①②　　　(B) ②③　　　(C) ③④　　　(D)①④
9.设若是与的等比中项,则的最小值为( A )
(A)8　　　(B) 4　　　(C) 1　　　(D)
10.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( C )
(A)34　　　(B) 48　　　(C) 96　　(D)144
11.已知命题:存在; 命题 , 则下列命题为真命题的是( D )
(A)　　　(B) 　　　(C) 　　　(D)
12.若:,是偶函数,则是的( A )
(A)充分必要条件　(B)充分不必要条件　(C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也必要条件　

二填空题
13.已知,若,则实数的取值范围是 ;
14. 已知是上的奇函数,则= ;
15.已知双曲线的右焦点F,与抛物线的焦点重合,过双曲线的右焦点F作其渐近线的垂线,垂足为M,则点M的纵坐标为 ;
16.已知在上是单调减函数;关于的方程的两根均大于3,若,都为真命题,则实数的取值范围是 ;
三.解答题
17. 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且4sin2－cos2A＝.
(1)求∠A的度数；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b、c的值.
解　(1)∵ B＋ C＝ π－ A，即＝ － ，
由4sin2－cos2A＝ ，得4cos2－ cos2A＝ ，
即2(1＋ cosA)－ (2cos2A－1)＝ ，整理得4cos2A－ 4cosA＋1＝ 0，
即(2cosA－1)2＝ 0.∴ cos A＝ ， 又0°<A<180°，∴ A＝ 60°.
(2)由A＝ 60°，根据余弦定理cosA＝ ，
即＝ ，∴b2＋ c2－bc＝ 3， ①
又b＋ c＝ 3， ②
∴ b2＋ c2＋ 2bc＝ 9. ③
① － ③ 整理得：bc＝ 2. ④
解②④联立方程组得或
18. 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，….
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；
(Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.

解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2 , ∴a1=1
∵Sn=2-an即an+Sn=2 , ∴an+1+Sn+1=2
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0
即an+1-an+an+1=0, 2an+1=an
∵an≠0 ∴(n∈N*)
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)
(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)
∴bn+1-bn=()n-1
得b2-b1=1
b3-b2=
b4-b3=()2
……
bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)
将这n-1个等式累加，得
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)
(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-1
∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1] ①
而 Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)] ②
①-②得：
Tn==8-(8+4n)(n=1，2，3，…)
19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.
平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.
解: (1) ∵为正方形,
,
又面⊥面,
又面∩面=
∴AA1⊥平面ABC.
(2)∵AC=4,AB=3,BC=5,
∴,∴∠CAB=,即AB⊥AC,
又由(1) ∴AA1⊥平面ABC.知,
所以建立空间直角坐标系A-xyz, 则(0,0,4), (4,0,4), (0,3,4),B(0,3,0)
设面C与面B的法向量分别为,,
由,得,令,则,
同理, ,
,
由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
(3)证明: 设, ,则,,,
因为三点共线,所以设 ,即,
所以, (1)
由得 (2)
由(1)(2)求得, 即,
故在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，且=.
20. 已知函数 过曲线上的点的切线方程为y=3x+1 。
（1）若函数处有极值，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；
（3）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
解：（1）由已知
①
②③
故
由①②③得 a=2，b=－4，c=5
∴
（2）
当

又在[－3，1]上最大值是13。
（3）因为y=f(x)在[－2，1]上单调递增，
所以在[－2，1]上恒成立,
由①知2a+b=0, 所以在[－2，1]上恒成立,
, 利用动轴定区间讨论法得
① 当；
②当；
③当
综上所述，参数b的取值范围是
21.已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

【解析】　(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程
为y＝ x.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由，得x＝ ±1.
所以|AB|＝ |x1－ x2|＝ 2.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以h＝ ，S△ABC＝ |AB|·h＝ 2.
(2)设AB所在直线的方程为y＝ x＋ m，
由，得4x2＋ 6mx＋ 3m2－ 4＝ 0.
因为A，B在椭圆上，所以Δ＝ －12m2＋ 64＞ 0.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋ x2＝ － ，x1x2＝ ，
所以|AB|＝ ＝ .
又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝ .
所以|AC|2＝ |AB|2＋ |BC|2＝ － m2－2m＋10＝ － (m＋1)2＋ 11.
所以当m＝ －1时，AC边最长(这时Δ＝ －12＋ 64＞ 0)，
此时AB所在直线的方程为y＝ x－1.
22.已知直线的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标系方程为.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)当时,求直线与曲线C的交点的极坐标.
解:(1)由,可得,
所以曲线C的直角坐标的方程为,标准方程为,
所以曲线C的参数方程为为参数)

(2)当时, 直线的参数方程为
化为普通方程为,
由得或
所以直线与曲线C的交点的极坐标为

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