初中数学竞赛辅导资料例题含答案②初二竞赛资料1728.doc

初中数学竞赛辅导资料（17）
奇数　偶数
内容提要
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
　　　整数　　　　　　　或 整数集合
　这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
　奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数
　奇数×奇数＝奇数　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
　奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，
　两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
例题
例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数
证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数，
（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)
∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数　∴4k(k－1)是8的倍数
即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例2 已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0　
求证：n是4的倍数
证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得
如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；
当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
所以n是4的倍数。
例3己知：a,b,c都是奇数
求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。
既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法)
例4求方程x2－y2＝60的正整数解
　　解：(x+y)(x－y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10
左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数
因此x, y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组

解得　　　　
∴方程x2－y2＝60的正整数解是　　

练习17
1． 选择题
①设n是正整数，那么n2+n-1的值是（　　）
（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x－324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（　　）
　（A）（B）（C）（D）
2． 填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿

③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿
④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿
⑤能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答＿＿
3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？
4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由
5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除
6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数
7． 求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整数解
8． 方程19x+78y=8637的解是( )
(A) (B) (C) (D)
9. 十进制中，六位数能被33整除，求a,b的值

初中数学竞赛辅导资料（18）
整式的整除
内容提要
1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，
那么　式的整除的意义可以表示为：
　若f(x)＝p(x)×q(x)，　则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除
　例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,
∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。
显然当　x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，
3． 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0
反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。
4． 在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab　　　则p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。
例题
例1己知　x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。 x－3
解法一：列竖式做除法　　（如右）　　　　　　　x－2　x2－5x+m
　　由　余式m－6＝0　得m=6 　　　　　　　　　　 x2－2x　　
解法二：∵ x2－5x+m 含有x－2 的因式 －3x+m
∴ 以x=2代入 x2－5x+m 得 －3x+6
22－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6
解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a　(a为待定系数)
那么　x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝　x2+(a-2)x－2a　
根据左右两边同类项的系数相等，得
　　　解得　（本题解法叫待定系数法）
例2 己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除
求：m、n 的值及商式　
　解：∵被除式＝除式×商式　（整除时余式为0）
∴商式可设为x2+ax+b　
得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）
＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b　
根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得　
　　　　　　解得　　　
∴m=－11,　n=4,　商式是x2－3x+4　　
例3 m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除?　　　
　解：当　x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式
　令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0
　即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0　　
把左边因式分解，得　－yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0, 　∴当y+z=0或m+3=0时等式成立　　
∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值　，
当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
例4　分解因式x3－x+6
分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）
　解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）

练习18
1． 若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 则m=___, n=___
2． x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，
x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿
3． 己知x3+mx+4能被x+1整除，求m
4． 己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x –2,求a和b的值
5． 己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式
6． 己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.
7． 分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3　
8.选择题
①　x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（　　）
(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)
(c) (x-y)(y-z)(x+z)　　(D) (x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（　　）
（A） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.

初中数学竞赛辅导资料（19）
因式分解
内容提要和例题
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法
1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式
例1因式分解：①x4+x2+1　②a3+b3+c3－3abc
①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式
解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)
②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2
解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2
　　 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)
例2因式分解：①x3－11x+20　　②　a5+a+1
① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）
② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)
③ 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式
解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1
=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)
2． 运用因式定理和待定系数法
定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a　
⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x3－5x2+9x－6　②2x3－13x2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2，
∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数
±1，±3得商±1，±2，±，±，再分别以这些商代入原式求值，
可知只有当x=时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，　　　
设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3），　（a是待定系数）
比较右边和左边x2的系数得　2a－1＝－13，　a=－6
∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。
例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y),　　用待定系数法，可设
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数，
比较右边和左边的x和y两项 的系数，得
　　解得
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)　这是关于x的二次三项式
　常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设
2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)

练习19
1． 分解因式：①x4+x2y2+y4 　　②x4+4 　　 ③x4－23x2y2+y4
2. 分解因式： ①x3+4x2－9 　 ②x3－41x+30
③x3+5x2－18 　④x3－39x－70
3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 　　　　　②x3－3x2+3x+7　
　　　　　　③x3－9ax2+27a2x－26a3 　　　④x3+6x2+11x+6　
　　　　　　⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x3－7x+10　 ②x3－11x2+31x－21
③x4－4x+3 ④2x3－5x2+1
5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48　④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91
6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy 　②x2－y2+2x－4y－3
③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4
⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）
7. 己知：n是大于1的自然数　　求证：4n2+1是合数
8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5
　　　且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：当x=1时，f(x)的值

初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
例题
例1求证：3 n+2－2　n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2　－2 n）
＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
　　　　　＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边
　又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
　　　　 ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 　求证：a3+b3+c3=3abc
证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0　
∴a3+b3+c3－3abc＝0　　即a3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0　　∴a=－（b+c）
两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移项　 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知　a=－b－c 代入左边,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
例3 己知a+,a≠b≠c　求证：a2b2c2=1
证明：由己知a-b= ∴bc=
b-c= ∴ca= 同理ab=
∴ab　bc　ca＝＝1　　即a2b2c2=1
例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0
证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常数
那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
根据恒等式的性质　得　∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
练习20
1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)
2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b
3.己知：a+b+c=0
求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知：a2=a+1 　　求证：a5=5a+3
5.己知：x＋y－z=0 　　　求证： x3+8y3=z3－6xyz
6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a∶b=b∶c　　　　　 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 　 求证：
9．己知：　 求证：x+y+z=0
10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式
11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc

初中数学竞赛辅导资料（21）
比较大小
内容提要
1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：
当a－b＞0时，a＞b；　当a－b＝0时，a=b；　当a－b＜0时a＜b。
2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。
3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如
(a－b)2≥0，　　　a2+1＞0，　　　　a2+a+1=(a+)2+＞0
－a2≤0，　　　－（a2+a+2）＜0　　当a≠b时，－（a－b）2＜0

例题
例1 试比较a3与a的大小
解：a3－a=a(a+1)(a－1)
a3－a=0,即a3=a　　
以－1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：
当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3个负因数）∴a3－a＜0　　即a3＜a
当－1＜a＜0时　a＜0,a－1＜0（2个负因数）　 ∴a3－a＞0　　即a3＞a
当0＜a＜1时，　a－1＜0（1个负因数）　　 ∴a3－a＜0　　即a3＜a
当a＞1时，没有负因数， 　 ∴a3－a＞0　　即a3＞a
综上所述当a=0,－1，1时， a3=a
当a＜－1或0＜a＜1时，a3＜a
当－1＜a＜0或a＞1时，a3＞a。　（试总结符号规律）
例2 什么数比它的倒数大？
解：设这个数为x，则当并且只当x －＞0时，x 比它的倒数大，
　x －＝ 　　 －1　　　0　　　1
以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知
当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。
例3　己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？
解：设从A到B有x千米，步行速度每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲＝，　　t乙＝
t甲－t乙＝　　∵x＞0，y＞0　∴t甲－t乙＞0
答：乙先到达B地
例4己知a≠b≠c，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca
证明：a2+b2+c2－ab+bc+ca＝×2（a2+b2+c2－ab+bc+ca）＝（2a2+2b2+2c2－2ab+2bc+2ca）
＝［（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2］
∵a≠b≠c，（a-b）2＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0
∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca
又证：∵a≠b，∴（a-b）2＞0　 a2+b2＞2ab(1)
　　　　同理b2+c2＞2bc(2) c2+a2>2ca(3)
(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca　即a2+b2+c2＞ab+bc+ca
例5　比较 3（1＋a2+a4）与(1+a+a2)2的大小
解：3（1＋a2+a4）－(1+a+a2)2＝3［（1＋a+a2）2-2a-2a2-2a3］－(1+a+a2)2
　　　　　　　　　＝2(1+a+a2)2－6a(1＋a+a2) =2(1＋a+a2)( 1＋a+a2-3a)=2(1＋a+a2)(1-a)2
∵1＋a+a2＝（＞0，　(1-a)2≥0
∴当a=1时，3（1＋a2+a4）＝(1+a+a2)2 当a≠1时，3（1＋a2+a4）＞(1+a+a2)2
例6 解方程　　　　
解：以－0.5,和2两个零点分为3个区间
当x<-0.5时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得x=－1
　当－0.5≤x<2时，（2x+1）－（x-2）=4, 解得x=1
当x≥2时，（2x+1）+(x－2)＝4　解得x=, ∴在x≥2范围无解
综上所述原方程有两个解x=－1, x=1
练习21
1． 己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。并用“＜”号把它们连接。
2． 比较下列各组中的两个数值的大小：
①a4与a2 ②与
3． 什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？
4． 甲乙两人同时从A去B，甲一半路程用时速a千米，另一半路程用时速b千米；乙占总时间的一半用时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人誰先到达？
5． 己知　a>b>c>d>0且a∶b=c∶d， 试比较a+c与b+d的大小
6． 己知a<b,x<y. 求证：ax+by>ay+bx
7． 己知a<b<c, x<y<z 求证：①ax+by+cz>az+bx+cy ②ax+by+cz>az+bx+cy
(提示：可应用第6题的结论)
8． 己知a<b<0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，请举个反例。
①　　②ab<1 ③ ④a－2b<0
9.若a,b,c都是大于－1的负数，（即－1＜a,b,c<0下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例。
　①a+b－c>0 ②(abc)2>1 ③a2-b2-c2<0 ④abc>-1
10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下
开放的水管号
①②
②③
③④
④⑤
⑤①
时间（小时）
2
15
6
3
10
问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：＿＿＿　（1989年全国初中数学联赛题）
初中数学竞赛辅导资料（22）
分式
内容提要
1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。
(1)分式中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。
(2)若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。
(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。
2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。
例题
例1．x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？
3
0
-1
-2
解： ＝

以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）
当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；
当x<－2, －1<x<0, x>3时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数）
当－2<x<－1, 0<x<3时，分式的值是负数（∵负因数的个数是奇数）
例2．m取什么值时，分式的值是正整数？
解：＝＝2＋
当例3．计算＋－－
＞－2且m－1是9的约数时，分式的值是正整数
即m－1＝1，3，9，－9　　解得m=2,4,10,－8。　　答：（略）
解：用带余除法得，原式＝1＋＋1＋－1－－1－
＝＋
＝＋＝
4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5　　求①a∶b∶c ②
解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加
得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式
得a=2k, b=k, c=3k
∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②＝＝
例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？
解：设这个两位数为10x+y，那么0＜x≤9,　　0≤y≤9
　＝1＋
当x取最小值1，y取最大值9时，分式的值最小；当x取最大值9，y取最小值0时，分式的值最大。
答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。
练习22
1． a=___时，分式的值是0
2． 已知则分式＝＿＿＿＿
3． 若x和分式都是整数，那么x=_______________
4． 直接写出结果:
① x=(x+)-______ ②(x2++2)÷（x+=____
③ （x2-）÷（x+）=__＿＿　④（1＋（1－＝＿＿＿＿
5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。

6．x取什么值时分式的值是零？是正数？是负数？
7．计算：①＋　②
　③
8．解方程：

⑶（其中
9．已知xy∶yz∶zx=3∶2∶1, 求①x∶y∶z　　②　　∶
10．已知a≠b≠c且　　　求证：ax+by+cz=0
11.已知：　　求：（x+y）∶z的值
12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？
13．在保证分母不等于0的前提下，分式中的x不论取什么值分式的值都不变，问a和b之间的关糸应满足什么条件？
14.　已知　求证：（a2+b2+c2）(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2

初中数学竞赛辅导资料(23)
递推公式
内容提要
1． 先看一例：a1=b,a2=,a3=……　an+1=这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。
例如: 若　a1=10, 则a2==,a3=10,a4=,a5=10……　　
2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示
∵a2=a1+5,　∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5， a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5
……　　　　∴an=a1+(n-1)5
如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105
3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。
例题
例1.已知：a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2)　　 求：a100的值
解：a100=a99+2×99
=a98+2×98+2×99
=……
=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99
=2+2×=9902
又解：a2=a1+2×1
a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2
a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3
……
a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99 =2+2(1+2+3+……+99)=9902
例2.已知：x1=97, 对于自然数n>1, xn=　 求：x1x2x3·……·x8的值
解：由递推公式xn=可知 x1x2=x1=2 x3x4=x3=4
x5x6=x5=6 x7x8=x7=8　　∴x1x2x3·……·x8=2×4×6 ×8=384
例3.已知：100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式
(n-2)an－（n－1）an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199
求：a1＋a2＋a3＋……＋a100
分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1=
可由a100求a99,a98……
解：a99===197
a98===195
用同样方法求得a97=193, a96=191,……a1=1
∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199
　　　　　　　　　　　＝＝104
练习23
1. 已知　a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an 那么　a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____
2. 若a1=2m, an=　则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___
3. n为正整数，有递推公式an+1=an－3，试用a1,n表示第n项an
4. 已知　a1=10, an+1=2an 求a10
5. 已知　f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)
6. 设x+y=a1, x2+y2=a2, ……　xn+yn=an, xy=6, 则a2=a12－2b,
有递推公式an+1=a1an－ban-1, 试按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6
根据下列数据的特点，写出递推公式：
① a1=1, a2=4, a3=7, a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿　　
② a1=1, a2=3, a3=6, a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿
7. n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。
8. 平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。

初中数学竞赛辅导资料（24）
连续正整数的性质
内容提要
一.两个连续正整数
1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40，　111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数
　例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是　99999－10000＋1＝90000（个）
1. n位数的个数一般可表示为　9×10n-1(n为正整数，100＝1)
例如一位正整数从1到9共9个（9×100），
二位数从10到99共90个　（9×101）
三位数从100到999共900个（9×102）……
2.连续正整数从n 到m的个 数是　m－n+1
　把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：
3.　从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19
从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18
4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12
从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13
你能从中找到计算规律吗？
三.计算连续正整数的和
1. 1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）　（n是正整数）
　连续正整数从a到b的和　记作(a+b)
把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：
2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759　（∵从11到55有奇数＋1＝23个）
3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480　（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共＋1＝15）
四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和
1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝45
2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），
（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1
∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901
五. 连续正整数的积
从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘
1. n个连续正整数的积能被n！整除，
如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；
a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
2. n！含某因质数的个数。举例如下：
① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2，4，6，8，10都含质因数2　　暂各计1个，共5个
其中4＝22　　　　含两个质因数2　　增加了1个
其中8＝23　　　　含三个质因数2　　再增加2个
② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5，10，15，…125，130　均含质因数5　暂各计1个，共26个
其中25，50，75，100均含52有两个5　各加1个，　　共4个
其中125＝53　　　　　　含三个5　　　　　　　　　　　再增加2个
∴积中含质因数5的个数是32
例题
例1. 写出和等于100的连续正整数
解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10
　其中2个50和10个10都不能写成连续正整数
而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16
　得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。
5个20可由20，19＋21，18＋22
得第二组连续正整数18，19，20，21，22。
例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？
解：页数编码中，一位数1到9共9个
　两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个
三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个
四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个
∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853
例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：
　1234……99100。问：
①它是一个几位数？