高中数学选修44坐标系与参数方程复习提纲.doc

选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求
1．坐标系：　
① 理解坐标系的作用.　
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
2． 参数方程：　　
① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
③ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
④ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
二、基础知识梳理
1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏx叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为.有序数对叫做点M的极坐标，记为M. 极坐标与表示同一个点.极点O的坐标为.
4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点.
如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的.
5．极坐标与直角坐标的互化：
6.圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以 (a>0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是；
在极坐标系中，以 (a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；
7.直线的极坐标方程：
在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.
8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标中x,y都是某个变数t的函数 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
9．常见曲线的参数方程
（1）圆的参数方程可表示为.
（2）椭圆(a>b>0)的参数方程可表示为.
（3）抛物线的参数方程可表示为.
（4）经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为参数）.
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.
三、典型例题分析
考点1、极坐标与直角坐标互化
例题1.1、在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.

例1.2、已知圆C：，则圆心C的极坐标为_______
答案：（ ）
考点2、极坐标与直角坐标方程互化
例题2.1、已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线直角坐标方程.
解：曲线的极坐标方程可化为,其直角坐标方程为，即.
例2.2、设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点.
(1) 求圆C的极坐标方程；
(2) 求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解：（1）圆的极坐标方程为，（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，∵点为线段的中点， ∴，，将，代入圆的极坐标方程，得∴点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆.
例2.3、在极坐标系中，求圆与直线的位置关系.

考点3、参数方程与直角坐标方程互化
例题3.1、已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
解：（1）由得∴曲线的普通方程为，
∵，∴，∵
∴，即，∴曲线的直角坐标方程为 ．
（2） ∵圆的圆心为，圆的圆心为，∴∴两圆相交，设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段，∴∴．
例3.2、在椭圆上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线的距离的最小值．
解：设椭圆的参数方程为，
，当时，，此时所求点为.．
例题3.3、已知直线经过点,倾斜角，
①写出直线的参数方程;
②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.
解 ：（1）直线的参数方程为，即．
（2）把直线代入，得，，则点到两点的距离之积为．
例题3.4、求直线（）被曲线所截的弦长.
解：将方程，分别化为普通方程：，

考点4：利用参数方程求值域
例题4.1、已知点是圆上的动点，求的取值范围.

例题4.2、在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.
解：直线C2化成普通方程是x+y+2-1=0，设所求的点为P（1+cos,sin),则C到直线C2的距离d= =|sin(+)+2|，当时，即=时，d取最小值1此时，点P的坐标是（1-，-）
四、基础练习
1．曲线C:(为参数)的普通方程为 ( )
A、(x-1)2+(y+1)2=1 B 、(x+1)2+(y+1)2=1
C 、(x+1)2+(y-1)2=1 D 、(x-1)2+(y-1)2=1
2.在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
3.极坐标方程所表示的曲线是（ ）
A．两条相交直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
4．在极坐标系中，直线l的方程为，则点(2，)到直线l的距离为 ．
5.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .
6．已知曲线的极坐标方程分别为（），则曲线与交点的极坐标为__ ___.
7.在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是 ．
8.在极坐标系中，直线（）与圆交于、两点，则　　 　．
9.在极坐标系中，圆与直线的位置关系是 ．
10.在极坐标系中，圆上的点到直线 的距离的最小值是 __．
11.在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 ．
12．在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，则直线的极坐标方程为_____________________.
13.已知圆的参数方程为(为参数), 则点与圆上的点的最远距离是 .
14.在平面直角坐标系xOy中，点的直角坐标为.若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是 ．
15.在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
16.已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为 .
17.在极坐标系（）中，过点作极轴的垂线，垂足为，则点的极坐标为 ．
18.已知曲线C的参数方程为（为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为 ．
19.已知曲线C的参数方程为（为参数），则曲线C上的点到直线的距离的最大值为 ．
20.若直线（t为参数）与直线垂直，则常数k=__ __.
五、2009年-2013年高考题
1.2009年

2.2010年

3.2011年

4.2012年

5.2013年