嘉定区高三数学文科二模试卷.doc

2014学年上海市嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文）

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合，，则________．
2．抛物线的焦点到准线的距离是______________．
3．若，其中、，是虚数单位，则_________．
4．已知函数，且有，若且，则的最大值是_______．
5．设等差数列满足，，的前项和的最大值为，则=__________．
6．若（），且，则
_______________．
7. 方程在上的解为_____________．
主视图
左视图
俯视图
8. 设变量满足约束条件则的最大值为_____________．

9. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为__________．

10．已知定义在上的单调函数的图像经过点、，若函数的
反函数为，则不等式的解集为 ．
11. 现有张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张,要求这
张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________．
12．已知函数，若，关于的方程有三个不相等的实
数解，则的取值范围是__________．
13．在平面直角坐标系中，点列，，…，，…，满
足若，则_______．
14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
，若，则____________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在△中，“”是“”的……………………………………（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向
量都可以唯一的表示成为实数），则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．设双曲线（，）的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐
近线方程为……………………………………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
18．在四棱锥中，，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为……………………………………………（ ）
A． B． C． D．

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在△中，已知，外接圆半径．
（1）求角的大小；
（2）若角，求△面积的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，，、分别为、的中点．
E
P
A
C
D
B
F
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．
（1）令，，求的取值范围；
（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆（）的焦距为，且椭圆的短轴的一个端点与左、右焦点、构成等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上上任意一点，求的最大值与最小值；
（3）试问在轴上是否存在一点，使得对于椭圆上任意一点，到的距离与到直线的距离之比为定值．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知函数，其中．定义数列如下：，,．
（1）当时，求，，的值；
（2）是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：当时，总能找到，使得．

2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文）参考答案与评分标准

一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）
1．或 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11．
12． 13． 14．

二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
15．B 16．D 17．C 18．C

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
（1）由题意，，
因为，所以，故，……（2分）
解得（舍），或． ………………（5分）
所以，． ………………（6分）
（2）由正弦定理，，得，所以． ………（2分）
因为，由，得， …………（4分）
又，所以△的面积． …………（6分）

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
E
P
A
C
D
B
F
（1）连结，由已知得△与△都是正三角形，
所以，，， ………………（1分）
因为∥，所以，……………（2分）
又平面，所以，……（4分）
因为，所以平面．…（6分）
（2）因为，……（2分）
且， …………………………（4分）
所以，． ………………（8分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
（1）当时，； ………………（2分）
当时，因为，所以， ……………………（4分）
即的取值范围是． ……………………………………（5分）
（2）当时，由（1），令，则， …………（1分）
所以 ………………（3分）
于是，在时是关于的减函数，在时是增函数，
因为，，由，
所以，当时，；
当时，，
即 ………………………………（6分）
由，解得． ………………………………（8分）
所以，当时，综合污染指数不超标． …………………………（9分）

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）已知，，， ……………………（2分）
所以， ……………………………………（3分）
所以椭圆的标准方程为． ……………………（4分）
（2），，设，则，，（）， ……………………（2分）
因为，所以，，…（4分）
由，得的最大值为，最小值为． …………………………（6分）

（3）假设存在点，设，到的距离与到直线的距离之比为定值，则有， ………………………………………………（1分）
整理得， ……………………………………（2分）
由，得对任意的都成立． ………………………………………………………………（3分）
令，
则由得 ①
由得 ②
由，得 ③
由①②③解得得，． …………………………（5分）
所以，存在满足条件的点，的坐标为． ………………………（6分）

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（1）因为，故， ………………………………（1分）
因为，所以，…………（2分）
， …………（3分）
． …………（4分）
（2）解法一：假设存在实数，使得，，构成公差不为的等差数列．
则得到，，．…（2分）
因为，，成等差数列，所以， …………3分
所以，，化简得，
解得（舍）,． …………………………………（5分）
经检验，此时的公差不为0，
所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列． …………（6分）
方法二：因为，，成等差数列，所以，
即， …………………………………………（2分）
所以，即．
因为公差，故，所以解得． ………（5分）
经检验，此时，，的公差不为0．
所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列． …………（6分）

（3）因为, …………（2分）
又 , 所以令 …………………………（3分）
由，，……，，
将上述不等式全部相加得，即， …………………（5分）
因此要使成立，只需，
所以，只要取正整数，就有．
综上，当时，总能找到，使得．