高中数学第二次作业——黄夏秋.doc

高中数学第二次作业 ——黄夏秋

1．梳理高中数学课程中“函数”的结构脉络，并进行"函数"概念教学片段设计。
答：“函数”的结构脉络：
导数
数学建模
函
数
概念
背景
用函数图形看待函数
对应的关系看待函数
变量和变量的关系
具体的函数模型
数列
三角函数
对数函数
指数函数
实际函数模型
分段函数
简单的幂函数及拓展
函数的应用
实际中的应用
刻画
模型的套用
数学内部的应用
方程
不等式
简单线性规划
算法
随机现象
研究函数的思想工具
运算

函数是数学的一个中心概念，是数学里不可缺少的一部分，体会变量的依赖关系，会用映射来刻画函数，能结合函数图形来解决问题。中学阶段强化对函数图形的认识，函数图形是一个整体认识，给定一个函数图形就等于给了一个函数，相同函数以为着函数图形应该是重合的。有很多知识是和函数密切联系的，比如在考虑不等式的时候，在讨论方程的时候，在讨论计算的时候，算法里的赋值变量，在概率随机变量，线性规划这个多元函数等等，中学里涉及到的几乎都离不开函数，都和函数紧密相关。所以要特别强调对函数性质的研究，对函数应用的研究，讨论函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等。微积分里我们开始用导数方法再来研究函数本身的变化和性质和应用。用函数来研究数学内部的问题，比如处理一些函数极值问题，二分法解方程问题，解不等式问题等。在数学建模里，函数的应用被放在一个非常突出的地位，函数作为一个模型，一种思想被凸显出来了。一批模型被放到了学生的脑子里，这批模型包括一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，分段函数等等。研究函数的基本方法有两种，一种是代数法，通过运算来探索函数的性质和应用，这运算包括数的运算、多项式的运算、指数运算、对数运算、三角运算，它在我们研究函数中都会发挥作用，这是一种基本的方法，也是学生必须认真掌握的方法。另外一种方法就是我们通常所说的微积分的方法，利用变化率来认识函数的变化，这是一个新的角度，也是牛顿微积分一个核心的内容。用函数解决其他学科和日常生活中的问题，把实际问题转变成数学函数模型，然后应用函数知识来解决问题，所以要求学生具备用函数的语言去描述实际问题的能力。

"函数"概念教学片段设计一
教学目标：
1．通过丰富实例，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，使学生正确理解函数概念，能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三要素，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
2．通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。
教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
教学难点：函数概念及符号的理解。
3．教学方法：启发探究式
4．教学过程：
一、创设情境，观察发现
情景一：拍皮球游戏
拍球时间（）秒
5秒
12秒
20秒
25秒
30秒
拍球个数（）个

游戏规则：一个同学拍皮球并大声数数，另一个同学按表格中的时间报时，其余同学记下报球时的个数。游戏结束后填写上图中的表格。
思考1：表格中有哪几个变量？
思考2：当给定其中一个变量的值时，能确定另一个变量的值吗？
点评：在这个变化过程中有两个变量和，当给定其中一个变量的值就相应的确定了另一个变量的值。通过拍皮球游戏，让学生先参与活动，再利用表格让学生体会用表格刻画两个变量之间的对应关系。
情景二：图1的兰色曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．股票指数是时间的函数吗？

       　　　　　　　　　　　　　　　　　图1
思考：你能从图中看出哪一个时刻股票指数最大吗？哪一个时刻股票指数最小吗？其中时间的取值范围是多少？
点评：老师引导学生看图，并启发：在的变化范围内，任给一个，按照给定的图象，都有唯一的一个股票指数与之相对应。让学生体会用图象刻画变量之间的对应关系，关注时间和股票指数的范围。
情景三：某种型号的汽车紧急刹车后仍将滑行米，一般有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）
思考：
（１）在公式中有哪几个变量
（２）计算当分别为50，60，100时，相应的滑行距离是多少？
（３）给定一个值，你能求出相应的值吗？
点评：在这个变化过程中，有两个变量和，如果给定一个的值，相应的也就确定了的值。本例主要通过关系式体会两个变量之间的关系。
为了帮助学生形成积极的学习态度，促进学生发展，在函数概念的教学设计中主要突出了以几点：
（１）通过生生互动，师生互动，调动了学生的求知欲望和学习兴趣。体会在解决问题时与他人合作的重要性。
（２）分别以图像、表格、代数表达式三种形式呈现了三个生活化的场景，引导学生自主探索，满足了学生多样化的学习需求。
（３）从生活中的函数原型出发，让学生明白了数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。加强了数学与现实的联系，让学生体会数学的广泛应用性。
二.概念形成：
思考1：分析、归纳以上三个实例，想想变量之间的关系有什么共同点？
生：三个实例中变量之间的关系都可以描述为：对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都有唯一确定的和它对应，记作：
思考2：前面我们学习了“集合”，你能用“集合”以及对应的语言刻画函数概念吗？
设计意图：引导学生把初中学习过的函数概念与高一刚学习的过的集合知识联系起来，用集合的观点解释过去的概念，获得对函数概念的新认识．
获得新的函数定义方式：
设A，B是两个非空数集．如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A}叫做函数的值域．值域是集合的子集。若C＝{f（x）| x∈A}，则CB．
师生共同就每一个例子，找出集合A，B分别是什么，对应关系f指什么？突出“三要素”．
思考3：在这个定义中，你认为哪些是关键词？怎样理解这个概念呢？
设计意图：促使学生抓住概念中的关键词，多方面理解概念，抓住本质．同时，指出函数的三要素为定义域、对应关系、值域．由于对于一个函数，当定义域确定、对应关系确定后，值域也随之确定，因此，两个函数相等的条件是定义域以及对应关系相同．
三、概念辨析：
下列图象中不能作为函数的图象的是（ ）

（A） （B） （C） （D）
设计意图：通过这到题可以了解学生对函数概念的掌握情况．突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与x对应。

2. 梳理高中数学课程中“几何”的结构脉络，并设计一道立体几何或解析几何的应用题以评价学生建模及综合应用知识解决问题的能力。（注意：题目必须是自编或改编）
答：“几何”的结构脉络

几何课程的设计由两部分组成，第一部分是知识部分；第二部分是能力部分，这个能力体现在空间的想象力，或者叫几何直观能力，或者叫数形结合能力。这两部分都是贯穿在我们整个高中课程中的基本的东西。
知识部分分三大块，一块是立体几何，一块是解析几何，一块是向量，这是支撑几何课程的三个基点，对向量要有一个完整的认识，向量有两个称号，一个叫向量代数，就是我们在代数里讲的；一个叫向量几何，所以向量是一个独特的数学研究对象。
首先， 立体几何部分，整个课程分成两块，一块叫立体几何初步，一块叫空间向量与立体几何，支撑空间向量几何的内容除了立体几何初步之外，还有平面向量 。立体几何初步的定位是什么？ ---它是要培养学生的空间想象力为主的一个课程载体。通过这样一些内容，来支撑这样的一个载体，第一部分就是要对空间图形有一个了解，尽而我们要会画空间图形的直观图，在此基础上我们要建立三视图的概念，这个是在义务教育基础上的一个深化，在三视图中我们要关注什么问题，我想将来我们再细化，那么紧接着，我们需要帮助学习建立的是点、线、面的位置关系，这是必修课程的基本的东西，当然还有一些，体积面积的计算，这个不是重点。
关于点、线、面的位置关系，在立体几何初步中，帮助学生形成两个角度，一个是从局部到整体，一个是从整体到局部，如长方体这个模型，就能成为贯穿对于点、线、面位置关系认识的一个基本图形，这个图形不仅在高中阶段是基本图形，在大学学习其他的几何的时候，它仍然是很重要的，仍然是最基本的，特别是正交系这都是非常基本的图形。立体几何初步对于逻辑推理的要求，做了一定的控制，大概有 4个判定定理和 4个性质定理，只要求证明性质定理，不要求证明判定定理，在性质定理的证明中，要增加更多的空间、图形来支撑它。
要培养逻辑思维能力，不是几何学单独来培养的，它是所有的数学课程共同培养的，对几何课来说，它的定位就是掌握空间想象能力，或者把握图形的能力，这是它的本职工作和核心工作，当然它也和其他的数学一样，培养学生的逻辑思维能力，不可本末倒置，好像几何就培养人的思维能力，所以一定要把这个定位认识清楚，一些证明，比如说判定定理证明，在后面空间向量、立体几何还可以处理，要把握图形，培养学生空间想象能力，这是一个最核心的问题。
对于空间向量与立体几何。首先，要清楚在立体几何初步里主要是位置关系，定性的认识位置关系，实际上在高中阶段，要帮助学生研究的主要对象有两个，一个是位置关系，一个是度量关系。
最主要的位置关系是两个，一个是平行，一个是垂直，判定垂直就是看这两个平面（要平面就说法向量，要直线就说方向向量），它们的点乘是不是等于零，另外一个是平行问题，平行问题是共线问题。
再说度量问题，度量问题一个是长度，一个是角度，距离是属于长度的范畴，对于面积和体积不是中学的重点，到大学会专门去讲，如何利用空间向量来求面积、来确定体积，也就是差乘和混合积的问题，那么用什么样的向量语言来刻画长度呢？一个是向量自己和自己的点乘，是自己这个向量长度的平方，另一个就是投影，要特别注意投影是个数，距离是个正数，因此我们在求投影完了以后要取绝对值，所以在上的投影，是指与的单位向量的点乘，然后取绝对值， 这就是求长度的中心的部分。
向量是连接代数和几何的一座天然的桥梁，是数形结合重要的载体，它的三个不共面的向量构成了基本的框架，特别是正交的框架，有助于我们对几何空间图形的把握，这样一个框架对培养空间想象能力是非常重要的。
解析几何分为两个阶段，一个是解析几何初步，解析几何初步是以圆和直线作为载体来建立解析集合初步思想，到了选修1和选修2，我们是以圆锥曲线作为载体，来进一步深化我们解析几何的思想。另一个是几何直观的培养，就是空间想象力的培养。空间想象力和几何直观的培养绝不仅仅是几何的任务，是我们数学的任务，要帮助学生学会用图形来描述问题，要帮助学生学会用图形去发现解决问题，要帮助学生学会用图形来记忆和理解我们所得到的结果。所以图形能揭示数学的本质。

解析几何应用题
舰A在舰B的正东6千米，舰C在舰B的北偏西且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹，设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？
命题意图：考察圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力。
考察知识：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程。
错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置（既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上），还应对方位角的概念掌握清楚。
技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解，对空间物体的定位，一般可利用声音传播时间差来建立方程。
解：
取AB所在直线为轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系。由题意可知，A、B、C舰的坐标为（3，0）、（-3，0）、（-5，），由于B、C同时发现动物信号，记动物所在的位置为P，则，于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为，又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知，故知P在双曲线的右支上。直线与双曲线的交点为，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得。据已知两点的斜率公式，得，所以直线PA的倾斜角为，于是舰A发射炮弹的方位角是北偏东，设发射炮弹的仰角是，初速度，则，，仰角

3.   请您设计一道有关“统计与概率”部分的应用题：通过设计层层递进的“问题串”，评价学生建模及综合应用知识解决问题的能力。（注意：题目必须是自编或改编）
如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有个障碍物，第二行有2个障碍物，，依次类推，一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是，记小球遇到第n行第m个障碍物（从左到右）上顶点的概率为。
（1） 求，，，，，，，，的值，并猜想的表达式（不必证明）；
（2） 已知，设小球遇到第6行第m个障碍物（从左到右）上顶点时，得到的分数为，试求的分布列及数学期望。

解：（1）
第1行 1
第2行 1 1
第3行 1 2 1
第4行 1 3 3 1
第5行 1 4 6 4 1
第6行 1 5 10 10 5 1
第7行 1 6 15 20 15 6 1
第8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
概率三角形

，，
，，
，，，
猜想：
（2），，，
，，

1
2
3