全国初中数学联合竞赛试题含详细解析.doc

2009年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设，则 （ ）
A.24. B. 25. C. . D. .
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ）
A.. B. . C. . D. .
3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）
A.. B. . C. . D. .
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝ （ ）
A.. B. . C. . D. .
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.
3．如果实数满足条件，，则______.
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.
第一试答案：　ACCBDB；－3，，－1，－7
第一试详细答案
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设，则 （ ）
A.24. B. 25. C. . D. .
【答】A.
由，得，故.所以
.
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ）
A.. B. . C. . D. .
【答】C.
延长CA至D，使AD＝AB，则，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因为，所以.
3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
【答】C.
由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值.
当时，，解得；
当时，，没有符合条件的解；
当时，，没有符合条件的解；
当时，，解得；
当时，，解得.
因此，原方程共有3个解.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）
A.. B. . C. . D. .
【答】B.
不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：
（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；
（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为.
所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.
要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.
因此，所求的概率为.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝ （ ）
A.. B. . C. . D. .
【答】 D.
设BC的中点为O，连接OE、CE.
因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.
又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.
又CE⊥BE，所以，故CBE＝.
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
【答】B.
设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则.
验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.
因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.
【答】.
因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以
解得.
，
当时，取得最小值.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.
【答】 .
设△ABC的面积为,则因为△ADE∽△ABC，所以.
又因为△BDF∽△BAC，所以.
两式相加得，即，解得.
所以四边形DECF的面积为.
3．如果实数满足条件，，则______.
【答】 .
因为，所以.由可得
，从而，解得.
从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.
把代入计算可得，所以.
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对.
【答】 7.
设（为正整数），则，故为有理数.
令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.
同理可得（其中为正整数），则.
又，所以，所以.
（1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.
（2）时，同理可求得.
（3）时，同理可求得或（1,2）.
（4）时，同理可求得.
因此，这样的有序数对共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.

第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.
解 （1）易求得点的坐标为，设，，则，.
设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.
因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). …………………………………10分
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，
即. …………………………………15分
又，所以
，
解得. …………………………………20分

二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.
解 作E⊥AB于E，F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.
又CD⊥AB，由射影定理可得，故，
. …………………………………5分
因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.……10分
连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，
. ……………15分
同理，可求得，. ………………20分
所以＝. ………………25分
三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以为三边长可构成一个直角三角形.
证法1 将①②两式相乘，得，
即， ………………………………10分
即，
即， ………………………………15分
即，
即，
即，即，
即， …………………………………20分
所以或或，即或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分
证法2 结合①式，由②式可得，
变形，得 ③ ………………………10分
又由①式得，即，
代入③式，得，
即. …………………………………15分

， …………………………20分
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分

第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.
解 因为BN是∠ABC的平分线，所以.
又因为CH⊥AB，所以
，
因此. …………………………………10分
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆. ……………15分
又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. ………………20分
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH，所以EF∥AB. ……………25分

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘，得，
即， ………………………………10分
即，
即， ………………………………15分
即，
即，
即，即，
即， …………………………………20分
所以或或，即或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
……………………………25分
解法2 结合①式，由②式可得，
变形，得 ③ ………………………10分
又由①式得，即，
代入③式，得，
即. …………………………………15分

， …………………………20分
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.…25分