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第十二章 光衍射

1． 波长为平行光垂直照射在宽度为单缝上，以焦距为会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观测，求（1）衍射图样中央亮纹半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹距离；（3）第一亮纹和第二亮纹强度。
解：（1）零强度点有
∴中央亮纹角半宽度为
∴亮纹半宽度
（2）第一亮纹，有

同理
（3）衍射光强，其中
当时为暗纹，为亮纹
∴相应 级数
0 0 1
1 4.493 0.04718
2 7.725 0.01694
. . .
. . .
. . .

2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为 式中，是中央亮纹中心强度；是缝宽；是衍射角，是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹角半宽度为

i
θ
图12-50 习题3图

证明：(1)与垂直入射相比,只需将方向余弦变为即可
(2)令
∴对于中央亮斑

3． 在不透明细丝夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹间距为，所用透镜焦距为，光波波长为。问细丝直径是多少？
解：设直径为，则有

4.运用第三节成果导出外径和内径分别为和圆环（见图12-51）夫琅和费衍射强度公式，并求出当时，（1）圆环衍射与半径为圆孔衍射图样中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一种暗环角半径。

b
a
图12-51 习题6图

解：已知半径为圆孔衍射场振幅为

同样，圆屏使P点振幅减小

因而圆环在P点产生振幅为

∴P点强度为

对于衍射场中心，有

当时，
（1）
∴
（2）第一暗纹有

查表可有

4． （1）一束直径为氦氖激光（）自地面射向月球，已知地面和月球相距，问在月球上得到光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为光束，该用多大倍数望远镜？将扩束后光束再射向月球，在月球上光斑为多大？
解：（1）圆孔衍射角半宽度为
∴传到月球上时光斑直径为

（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为倍。直径

5． 若望远镜能辨别角距离为两颗星，它物镜最小直径是多少？同步为了充分运用望远镜辨别率，望远镜应有多大放大率？
解：
人眼辨别率为
∴放大率
6． 若要使照相机感光胶片能辨别线距，（1）感光胶片辨别率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头相对孔径D/f至少有多大？（光波波长为）
解： （1）胶片辨别率为线/毫米
（2）
7． 一台显微镜数值孔径为，问（1）它用于波长时最小辨别距离是多少？（2）若运用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，辨别率提高了多少倍？（3）显微镜放大率应设计成多大？（设人眼最小辨别率为）。
解：（1）
（2）提高
（3）人眼在明视距离处可以辨别长度为

∴放大率至少为

8． 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长，透镜焦距，观测到两相邻亮条纹之间距离，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹相对强度。
解：（1）双缝衍射亮纹条件为
取微分有
令，且，则
又

（2）衍射极小位置为

取

（3）对于第一级亮纹有
即
又

∴第一级亮纹相对强度
同理

9． 在双缝一种缝前贴一块厚，折射率为1.5玻璃片。设双缝间距为，缝宽为，用波长平行光垂直入射。试分析该双缝夫琅和费衍射图样。
解：衍射图样不变，干涉位置变为

10． 一块光栅宽度为，每毫米内有500条缝，光栅背面放置透镜焦距为。问（1）它产生波长单色光1级和2级谱线半宽度是多少？（2）若入射光是波长为和波长之相差两种单色光，它们1级和2级谱线之间距离是多少？
解：（1）
对于一级主极大有

同理
（2）
∴线色散
∴1，2级衍射线色散为

而
∴谱线间距

11． 设计一块光栅，规定（1）使波长第2级谱线衍射角，（2）色散尽量大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长2级谱线处能辨别波长差。在选定光栅参数后，问在透镜焦面上只也许看到波长几条谱线？
解：为使二级谱线衍射角，则光栅常数应满足

∵色散 ∴越小色散越大
∴
若第三级缺级，应有
由条件（4）
∴光栅总长度
可看到最高档条纹为
∴可看到级，级缺级，共5条条纹。
12． 为在一块每毫米1200条刻线光栅1级光谱中辨别波长为一束氦氖激光模构造（两个模之间频率差为），光栅需要有多宽？
解：相应频率为

∴光栅总条纹数为
∴长度为
13． 证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为式中， 为衍射角；为入射角，见图12-53，N为光栅缝数。（2）若光栅常数，光栅形成主级大条件可以写为
i
θ
图12-53 习题18图

证明：（1）与垂直入射相比，有

同理
（2）光栅形成主极大有

∴有

14． 有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为，缝宽为，缝间不透明某些宽度依次为和。试求正入射状况下，这一衍射屏夫琅和费衍射强度分布公式。
3a
a
a
图12-54 习题19图

解：相邻两个缝产生相位差为，隔一缝相位差
或
单缝产生复振幅为， 其中
∴多光束产生干涉有

设复数
则
∴透射光强
令

15． 一块闪耀光栅宽，每毫米有个刻槽，闪耀角为。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长光辨别本领；（2）光栅自由光谱范畴有多大？（3）试问空气间隔为，精细度为25法布里-珀罗原则具辨别本领和自由光谱范畴作一比较。
解：（1）光栅刻痕数为
闪耀级数为
∴辨别本领为
（2）自由光谱范畴为
（3）F-P原则具辨别为
自由光谱范畴为 比光栅小得多

16． 一透射式阶梯光栅由20块折射率相似、厚度相等玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板，玻璃折射率，阶梯高度。以波长单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大级次；（2）光栅角色散和辨别本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。
解：（1）由于阶梯高度与相比极大，因此衍射角极小，此时相邻两阶梯光程差为
相应处，
（2）

设与相比变化很小，即

辨别本领
17． 设光栅振幅透射系数为，这块光栅夫琅和费衍射场中将浮现几种衍射斑？各斑中心强度与零级比值是多少？
18． 在宽度为狭缝上放一折射率为、折射角为小光楔，由平面单色波垂直照射（见图12-55），求夫琅和费衍射图样光强分布以及中央零级极大和极小方向。

b
a
n
图12-55 习题23图

19． 图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为，闪耀角为，由平面波垂直入射（1）求夫琅和费衍射图样光强分布。（2）求光栅对级光谱闪耀时应满足条件。（3）试分析对级闪耀时，光谱强度分布特点。

n
a
d
图12-56 习题24图

20． 如图12-58所示，单色点光源（波长）安放在离光阑远地方，光阑上有一种内外半径分别为和通光圆环。考察点P离光阑（SP连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在P点光强和没有光阑时光强之比是多少？
S
图12-58 习题28图

P

解：半径为圆孔包括波带数为

半径为圆屏挡住
∴圆环通过波带数为3，由于相邻波带相消，因此只有一种波带光在P点产生振幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅，因此放置光阑先后光强变化4倍。

21． 波长平行光正入射直径圆孔，与孔相距处放一屏幕。问（1）屏幕上正对圆孔中心P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反状况，至少要把屏幕向前（同步求出向后）移动多少距离？
解：在P点包括波带数为

∴中心为亮点
令

22. 试写出图中双狭缝衍射屏复振幅透射系数表达式(设缝宽为a，缝距为b，且b=4a)。
(2)．用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜L后焦面内沿x轴复振幅分布。
(3)．求在透镜L后焦面内沿x轴光强度分布。
(4)．指明光强度分布特性(单缝衍射中央亮区半角宽度；干涉主亮纹间距)。

[解] （1）双狭缝衍射屏复振幅透射系数为：

或

（2）复振幅分布为：

（3）光强度分布为：

23.简要分析如图2所示夫琅和费衍射装置如有如下变动时，衍射图样会发生如何变化？
1）增大透镜L2焦距；
2）减小透镜L2口径；
3）衍射屏作垂直于光轴移动（不超过入射光束照明范畴）。

q

L1

L2

P

接受屏

衍射屏

光源

图2 夫琅和费衍射系统俯视图

答：1）增大透镜L2焦距，将使接受屏上衍射图样间隔增大。因有公式，此时衍射角不变，条纹间隔增大；
2）增大透镜L2口径，不会变化衍射图样分布，但进入系统光束宽度增长，可使光强增长；
3）衍射屏垂直于系统光轴方向移动时，衍射图样不会变化，由于衍射屏移动先后光入射角不变，缝宽不变，由衍射公式知其接受屏上光强分布不变；