三垂线定理逆定理证明和应用求二面角.ppt
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1、三垂线定理逆定理证明和应用求二面角三垂线定理解题的关键:三垂线定理解题的关键:找三垂!找三垂!怎么找?怎么找?一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意:注意:由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOaPAOa三垂线定理包含几种垂直关系?三垂线定理包含几种垂直关系?线射垂直线射垂直线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直直直 线线 AP 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线a和平面一条斜线和平面一条斜线的的射
2、射影影AO垂直垂直平面内的直平面内的直线线a和平面的一和平面的一条条斜斜线线OP垂直垂直PAOaPAOa线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理?PAOaPAOa 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直,则它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理PAOaAO 平面PAOaAOPAa PAa
3、POaa平面PAO例例1.PA正方形正方形ABCD所在平面,所在平面,O为对角线为对角线BD的中点,的中点,求证:求证:POBDPOABCD证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBDPOBDAOAO是是POPO在在平面平面ABCD上的射影上的射影PA平面平面ABCD由三垂线定理:由三垂线定理:二、三垂线定理的应用二、三垂线定理的应用应用应用1.证明线线垂直证明线线垂直 例例例例3 3 3 3、如图,已知正方体、如图,已知正方体、如图,已知正方体、如图,已知正方体ABCD-AABCD-AABCD-AABCD-A1 1 1 1B B B B1 1 1 1C C C C1
4、1 1 1D D D D1 1 1 1中,连结中,连结中,连结中,连结BDBDBDBD1 1 1 1,ACACACAC,CBCBCBCB1 1 1 1,B B B B1 1 1 1A A A A,求证:,求证:,求证:,求证:BDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C BDBDBDBD1 1 1 1AC AC AC AC A1D1C1B1ADCBBDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C证明:证明:证明:证明:连结连结连结连结BDBDBDBD,连结连结连结连结A A A A1 1 1 1B B B
5、B三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理ABCDABCDABCDABCD是正方形,是正方形,是正方形,是正方形,ACBDACBDACBDACBD又又又又DDDDDDDD1 1 1 1平面平面平面平面ABCDABCDABCDABCDBDBDBDBD是斜线是斜线是斜线是斜线BDBDBDBD1 1 1 1在平面在平面在平面在平面ABCDABCDABCDABCD上的上的上的上的射影射影射影射影 而而而而A A A A1 1 1 1B B B B是是是是BDBDBDBD1 1 1 1在平面在平面在平面在平面 ABBABBABBABB1 1 1 1A A A A1 1 1 1内的射影内的射影内的射影内的
6、射影 BDBDBDBD1 1 1 1AAAAB B B B1 1 1 1 例例2.已知:已知:在正方体在正方体AC1中,中,求证:求证:A1CB1D1,A1CBC1B A D C A1D1B1C1ExEx:(1)(1)P P是是ABCABC所在平面外一点,若所在平面外一点,若P P点到点到ABCABC各顶点各顶点的距离都相等,则的距离都相等,则P P点在平面点在平面ABCABC内的射影是内的射影是ABCABC的的()()(A)(A)外心外心 (B)(B)内心内心 (C)(C)重心重心 (D)(D)垂心垂心(2)P(2)P是是ABCABC所在平面外一点,若所在平面外一点,若P P点到点到ABCA
7、BC各边的距离各边的距离都相等,且都相等,且P P点在平面点在平面ABCABC内的射影在内的射影在ABCABC的内部,则射的内部,则射影是影是ABCABC的的()()(A)(A)外心外心 (B)(B)内心内心 (C)(C)重心重心 (D)(D)垂心垂心(3)P(3)P是是ABCABC所在平面外一点,连结所在平面外一点,连结PAPA、PBPB、PCPC,若,若PAPA BC BC,PBPB ACAC,则,则P P点在平面点在平面ABCABC内的射影是内的射影是ABCABC的的()(A)(A)外心外心 (B)(B)内心内心 (C)(C)重心重心 (D)(D)垂心垂心射影定位(三棱锥定位)射影定位(
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