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拉格朗日插值及中值定理的应用论文.doc
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1、 毕业论文毕业论文 题题 目:目:拉格朗日插值及中值定理的应用拉格朗日插值及中值定理的应用 学学 院:院:数学与计算科学学院数学与计算科学学院 专专 业:业:信息与计算科学信息与计算科学 完成日期:完成日期:20152015 年年 5 5 月月 2020 日日 毕业论文(设计)任务书毕业论文(设计)任务书 论文(设计)题目:拉格朗日插值及中值定理的应用 指导教师:系主任:一、主要内容及基本要求 主要内容:充分了解拉格朗日公式起源以及背景,研究拉格朗日插值在函数逼近中问题的适定性,数值的近似计算算法,以及拉格朗日插值在实际生活中的应用.利用拉格朗日中值定理证明不等式;求函数极限,以及研究函数在区
2、间上性质的应用,基本要求:1、理解拉格朗日插值公式和中值定理的证明 2、熟练运用线性插值公式和抛物线插值公式 3、熟练运用拉格朗日中值定理解决函数极限与不等式证明问题 4、用拉格朗日中值定理研究函数在区间上的性质 二、重点研究的问题 1、拉格朗日插值在实际生活中的应用 2、拉格朗日的数值计算算法编程 三、进度安排 序号 各阶段完成的内容 完成时间 1 选题 12 月 25 日 2 收集并阅读资料、文献 1 月 15 号3 月 6 号 3 分析讨论题目,拟好提纲 3 月 7 号3 月 25 号 4 编写算法,写出初稿 3 月 26 号4 月 15 号 5 修改初稿,写出修改稿 4 月 15 号4
3、 月 30 号 6 写出定稿 5 月 4 号5 月 7 号 7 准备答辩 5 月 18 日5 月 23 日 8 答辩 5 月 24 号 四、应收集的资料及主要参考文献 1黄云清,舒适,陈燕萍,金继承,文立平编著的数值计算方法 2由高等教育出版社发行,由陈纪修,於崇华,金路编著的数学分析第二版上册 3由 李庆扬,王能超,易大义编写的 数值分析 第四版版.武汉:华中科技大学出版社,2006 年 4 由李培明编写的.拉格朗日插值公式的一个应用高等函授报(自然科学版).1999 年第 3期.5 由潘铁编写的中等数学报.2010 年第 10 期.6 由张可村,赵英良编写的数值计算算法与分析M科学出版社
4、2003 年 湘湘 潭潭 大大 学学 毕业论文(设计)评阅表毕业论文(设计)评阅表 毕业论文(设计)题目:拉格朗日插值及中值定理的应用 评价项目 评 价 内 容 选题 1.是否符合培养目标,体现学科、专业特点和教学计划的基本要求,达到综合训练的目的;2.难度、份量是否适当;3.是否与生产、科研、社会等实际相结合。能力 1.是否有查阅文献、综合归纳资料的能力;2.是否有综合运用知识的能力;3.是否具备研究方案的设计能力、研究方法和手段的运用能力;4.是否具备一定的外文与计算机应用能力;5.工科是否有经济分析能力。论文(设计)质量 1.立论是否正确,论述是否充分,结构是否严谨合理;实验是否正确,设
5、计、计算、分析处理是否科学;技术用语是否准确,符号是否统一,图表图纸是否完备、整洁、正确,引文是否规范;2.文字是否通顺,有无观点提炼,综合概括能力如何;3.有无理论价值或实际应用价值,有无创新之处。综 合 评 价 文章篇幅完全符合学院规定,内容完整,层次结构安排科学,主要观点突出,逻辑关系清楚,有一定的个人见解。文题完全相符,论点突出,论述紧扣主题。语言表达流畅,格式完全符合规范要求;参考了丰富的文献资料,其时效性较强;没有抄袭现象。在研究拉格朗日插值问题和中值定理问题时,给出的具体例证比较完全,相应算法比较简洁明了。评阅人:年 月 日 毕业论文(设计)鉴定意见毕业论文(设计)鉴定意见 学号
6、:2011750224 姓名:周 维 专业:信息与计算科学 毕业论文(设计说明书)19 页 图 表 14 张 论文(设计)题目:拉格朗日插值及中值定理的应用 内容提要:论文引言简单介绍了拉格朗日插值与中值定理的起源以及背景。在论文的第一部分简单的介绍了拉格朗日插值公式的适定性,并详细的介绍了两 种简单的插值公式:线性插值和抛物线插值。通过数值的近似计算算法去实现简单的插 值运算,以及拉格朗日插值在资产评估中的实际应用。分析了插值公式在运算中的优缺 点,以及如何改进。在论文的第二个部分,讲述了拉格朗日中值定理在数学领域中的一些运算应用,如何证明不等式,求函数的极限问题,需要证明其是否满足中值定理
7、的条件,提出假 设的函数,证明原不等式的问题。在最后部分通过拉格朗日中值定理研究函数区间上性 质的问题。例如一阶导数与函数单调性关系,二阶导数与函数凸性的关系。最后在附录部分结合具体算法和流程图比较全面的展示了拉格朗日插值公式的运 算过程。指导教师评语 该生毕业论文主要针对拉格朗日插值公式和拉格朗日中值定理展开研究,具体分析了插值公式的适定性以及中值定理在数学领域中的应用,能够熟练的运用数值算法进行简单的插值逼近的运算,用 C 语言实现了该插值逼近的算法,程序简单明了,理论与实际结合紧密。程序算法流程清晰,文章组织基本合理,图表齐全。在毕业设计及论文撰写过程中,该同学态度端正,学习新知识能力较
8、强,能按时完成预定的各项任务。同意该生参加毕业论文答辩。建议成绩为 指导教师:2015 年 5 月 22 日 答辩简要情况及评语 根据答辩情况,答辩小组同意其成绩评定为根据答辩情况,答辩小组同意其成绩评定为 答辩小组组长:2015 年 5 月 24 日 答辩委员会意见 经答辩委员会讨论,同意该毕业论文经答辩委员会讨论,同意该毕业论文成绩评定为成绩评定为 答辩委员会主任:2015 年 5 月 27 日 1 目录目录 摘要.2 Abstract.2 第一章:引 言.3 1.1 插值逼近Lagrange 插值.3 1.2 中值定理Lagrange 中值定理.3 第二章:Lagrange 插值.5 2
9、.1 Lagrange 插值的适定性.5 2.2 线性插值和抛物线插值.6 2.2.1 线性插值多项式的定义.6 2.2.2 抛物线插值多项式的定义.6 2.3 拉格朗日的数值算法计算(见附录 1).7 2.4 拉格朗日插值在实际生活中的应用.8 2.4.1 资产的评估公式:.8 2.4.2 理论与实际生活中的联系.8 2.4.3 计算机运行方法分析.9 2.4.4 结论.9 2.4.5 评价与总结.9 第三章:Lagrange 中值定理.11 3.1 Lagrange 中值定理证明不等式.11 3.2 Lagrange 中值定理求极限.12 3.3 Lagrange 中值定理研究函数在区间上
10、的性质.13 3.3.1 一阶导数与单调性的关系.13 3.3.2 二阶导数和函数凸性的关系.14 结束语.16 参考文献.17 附录.18 2 拉格朗日插值及中值定理的应用拉格朗日插值及中值定理的应用 摘要摘要:本文在引言部分介绍了拉格朗日插值公式和中值定理的起源与背景,并给出其证明过程。在正文的第一部分介绍了拉格朗日插值在函数逼近中问题的适定性,以及几种简单插值的定义,通过拉格朗日插值数值计算的相关算法研究其在函数逼近中的应用;第二部分则关键研究拉格朗日中值定理在数学计算过程中的相关应用,例如如何用拉格朗日中值定理去求函数极限,证明不等式,以及研究函数在区间上的性质等。关键词关键词:拉格朗
11、日插值公式 拉格朗日中值定理 函数逼近 数值算法 区间性质 Lagrange interpolation and the application of the mean value theorem Abstract:This article in the introduction part introduces the Lagrange interpolation formula and the origin of the mean value theorem and the background,and gave the proof process.In the first part of
12、the text introduces the Lagrange interpolation of problem in the approximation of function,and the definition of several simple interpolation,numerical calculation by Lagrange interpolation algorithms research its application in the approximation of function;Lagrange mean value theorem in the second
13、 part is the key research in the process of mathematical calculations related applications,such as how to use Lagrange theorem to function limit,proving inequalities,and study the properties of the function on the interval.Keyword:Lagrange interpolation formula Lagrange mean value theorem Function A
14、pproximation Numerical Algorithm Interval Properties 3 第一章第一章:引引 言言 1.11.1 插值逼近插值逼近LagrangeLagrange 插值插值 函数的逼近在数学领域中是最基本的问题之一,生活中一些复杂的函数()f x,我们很难去求得它的计算公式,我们即必须得用简单的函数()x去近似替代()f x,这种类似的替换方法叫做:函数的逼近。而函数逼近又分为局部逼近和整体逼近,接下来我们研究的便是函数逼近中最常用的Lagrange插值逼近。插值方法的目的是为了寻找一个简单连续函数()x,使得它在n+1个点0 1nx xx处取得定值()()
15、(0,1)iiixyf xin。除开上述点以外,简单连续函数()x可以近似地 表示出函数()f x。用数学的语言表述则是:设()yf x是实变量x的单数值函数,并且已知()f x在给出的n+1个互异点0 1nx xx处对应的数值为01ny yy,即(),0,1,iiyf xin。函数插值的基本性质是找到一个多项式()x,使得(),0,1iixy in。设它是一个m次的多项式,2012()mmxaa xa xa x,其中(ma0)。利用范德蒙行列式可求解上述问题,然后得到满足符合条件的多项式函数就是Lagrange插值多项式。它的表述形式为:0()()()()nniiiiiw xL xyw xx
16、xxxx (1.1.11.1.1)00()()niw xxx (1.1.21.1.2)011()()()()()iiiiiiniw xxxxxxxxxxxxx (1.1.31.1.3)1.21.2 中值定理中值定理LagrangeLagrange 中值定理中值定理 微分中值定理是一系列中值定理的一个通用术语,是微分学中最基本的定理,也是应用数学中研究函数在区间上整体性的强有力的工具,而这里向大家介绍的Lagrange中值定理则是微分中值定理的核心部分。可以说,其他中值定理则是Lagrange中值定理由一般到特殊的推广,而Lagrange中值定理本身在理论和实践上都具有很高的研究价值,4 本文主
17、要探讨了拉格朗日定理的应用,并通过具体实例来证明不等式和研究函数在区间上的性质。(Lagrange中值定理)设函数()f x在闭区间,a b上连续,在开区间,a b上可导,那么至少有一点(,)a b,使得()()()f bf afba 首先我们来简单证明一下Lagrange中值定理:作一个辅助函数:()()()()()(),(,)f bf axf xf axa xa bba (1.2.11.2.1)由于函数()f x在闭区间,a b上连续,在开区间,a b上可导,所以函数()x也在闭区间,a b上连续,在开区间,a b上可导,并且有:()0()ab 于是运用Rolle定理,则知道至少存在一个点
18、(,)a b,使得()0。对()x的表达式求导,并使()0 对(1.2.11.2.1)求导可得:()()()()f bf axfxba 当x,()0 时可得出 ()()()f bf afba。证明完毕 Lagrange中值定理的条件的任何一个都不满足时,这个定理是不成立的,见例题例题1 1 例例1 1:令()12xf x ,(0,1)0,1xx()f x在0,1上不连续,在0,1上可导 12 但不存在(0,1)使得(1)(0)()01 0fff 即 0 1 Lagrange中值定理的结论不成立。在第三章中,将会陆续的介绍Lagrange中值定理在证明不等式,求函数极限,以及研究函数在区间上性质
19、中的应用。5 第二章第二章:Lagrange:Lagrange 插值插值 2.12.1 LagranLagrangege 插值的适定性插值的适定性 在引言部分,我们已经给出了Lagrange公式的具体表达式,接下来将证明Lagrange插值问题的解存在且唯一。首先来证明Lagrange插值解的存在性存在性。:为此我们需要构造一个特殊的插值多项式inlP,满足条件:0(),1iki kl x,ikik (2.1.12.1.1)其中,,0,1,i ki kn我们称为kerKronec(克罗内克)符号。由(2.1.12.1.1)可知()kx ki是n次代数多项式()il x的n个零点。所以()il
20、x也可以表达成:011()()()()()iiinl xc xxxxxxxx 其中c为待定常数。(2.1.22.1.2)我们先令()iil x=1,容易求出:1011()()()()iiiiiincxxxxxxxx (2.1.32.1.3)于是将(2.1.32.1.3)代入到(2.1.22.1.2)中可得到 011011()()()()()()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xxxxxxxxx (2.1.42.1.4)利用上述函数()il x,容易验证出:0()()nni jjL xyl x (2.1.52.1.5)从而满足插值条件:()niiL xy ,0,1,in 存
21、在性得证存在性得证 其次证明唯一性唯一性:设n次多项式()nL x和()nQ xLagrange插值问题的解,则有表达式:()()()niniiL xQ xf x 0,1,in 由该等式,可记()()()nnG xL xQ x,则有()nG xP,并且()0iG x,0,1,in 即()G x有1n个零点,由高等代数上的基本知识点可知,如果一个n次代数多项式至少存在有1n个根,则它的表达式一定恒为零,因此()0G x,即()()nnQ xL x 唯一性得证唯一性得证 6 2.22.2 线性插值和抛物线插值线性插值和抛物线插值 2.2.1 2.2.1 线性插值线性插值多项式多项式的定义的定义 假
22、定已知区间01,x x的端点处的函数值为00()yf x,11()yf x,并要求线性插值多项式1()L x使它满足以下两个条件:100()L xy,111()L xy 1()yL x的几何意义是:通过两个点00(,)xy和11(,)x y的直线,如图1所示 1()L x的表达式可由几何意义直接给出:1010010()()yyL xyxxxx (点斜式)1y 011010110()xxxxL xyyxxxx(两点式)0y 由两点式方程可以看出:0 x 1x 1()L x由两个线性函数1001()xxl xxx,0110()xxl xxx的线性组合得到,(图1)其中系数分别为01,yy,1()L
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