量子非谐振子和双势阱模型中的六次与八次混合非谐项的基态能隙.pdf
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1、Modern Physics 现代物理现代物理,2024,14(2),39-46 Published Online March 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/mp https:/doi.org/10.12677/mp.2024.142005 文章引用文章引用:张会鹏,樊炜.量子非谐振子和双势阱模型中的六次与八次混合非谐项的基态能隙J.现代物理,2024,14(2):39-46.DOI:10.12677/mp.2024.142005 量子非谐振子和双势阱模型中的六次与八次量子非谐振子和双势阱模型中的六次与八次 混合非谐项的基态能隙混合非谐
2、项的基态能隙 张张会鹏会鹏,樊樊 炜炜 江苏科技大学理学院,江苏 镇江 收稿日期:2024年2月8日;录用日期:2024年3月8日;发布日期:2024年3月19日 摘摘 要要 量子非谐振子和双势阱是重要的数学物理模型,其中,计算源自于非简谐项的基态能隙是一个重要的问量子非谐振子和双势阱是重要的数学物理模型,其中,计算源自于非简谐项的基态能隙是一个重要的问题。对于含有纯非谐项的情况,我们最近的研究发现可以用同一个公式来描述它们源自于纯非谐项的基题。对于含有纯非谐项的情况,我们最近的研究发现可以用同一个公式来描述它们源自于纯非谐项的基态能隙,意味着这两个模型中的非谐效应存在着某种联系。上述发现是关
3、于的纯非谐项的情况,在本文态能隙,意味着这两个模型中的非谐效应存在着某种联系。上述发现是关于的纯非谐项的情况,在本文中我们将继续关注含有混合非谐项的情况,我们计算了六次与八次混合非谐项所产生的基态能隙,发现中我们将继续关注含有混合非谐项的情况,我们计算了六次与八次混合非谐项所产生的基态能隙,发现它们仍然由同样的公式来描述,从而进一步确认了这种未知联系的存在性。它们仍然由同样的公式来描述,从而进一步确认了这种未知联系的存在性。关键词关键词 瞬子,瞬子,量子量子非谐振子,非谐振子,数值自举数值自举,半正定优化,半正定优化 The Ground-State Energy Gap of Sexic-O
4、ctic Mixed Anharmonicities in the Quantum Anharmonic Oscillator and the Double-Well Potential Huipeng Zhang,Wei Fan College of Science,Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang Jiangsu Received:Feb.8th,2024;accepted:Mar.8th,2024;published:Mar.19th,2024 Abstract The quantum anharmonic os
5、cillator and the double-well potential models are important mathe-matical physics models in which the ground-state energy gap coming from the anharmonic terms is 张会鹏,樊炜 DOI:10.12677/mp.2024.142005 40 现代物理 an important topic.For the case of pure anharmonic term,we find a qualitative formula that de-s
6、cribes the ground-state energy gap of both the anharmonic oscillator and the double-well poten-tial,which means that there is some connection between the anharmonic effects in the two mod-els.The above discovery is about the case of pure anharmonic term,in this paper we will continue to focus on the
7、 case with mixed anharmonic term,we study this energy gap for the case of the sextic-octic mixed anharmonic term,and find that they are still described by the same qualitative formula,thus further confirming the existence of this unknown connection.Keywords Instanton,Quantum Anharmonic Oscillator,Nu
8、merical Bootstrap,Semidefinite Optimization Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 量子非谐振子和双阱势是两个重要的数学物理模型1 2 3 4,其中的非谐效应是一个重要的研究问题,常通过计算其基态能隙中源自于
9、非简谐项的部分来定量研究。在简谐极限下,通常用微扰的方法来计算该非谐能隙:非谐振子是围绕谐振子的物理图像展开微扰,其能级为渐近级数3 5,而双势阱是围绕瞬子的物理图像展开6,解释了隧穿和衰变过程6-11。在强非谐效应时,通常由数值方法计算,因为它们的物理图像是未知的:强耦合问题在解析上一直是困难的,有很多逐阶求解的逼近方法,但是没有完整的闭合解析表达式。对于含有纯非谐项的情况,我们在最近的研究12 13中发现可以用同一个公式来描述它们源自于纯非谐项的非谐能隙,且该公式适应耦合参量的整个区间,这表明它们的非谐效应存在着某种统一的联系。因为谐振子和瞬子是两种完全不同的物理图像,所以这是一个深刻的联
10、系。本文进一步考虑具有混合非谐项的情况,对于六次与八次混合非谐项,我们发现这种联系仍然是存在的。由于这个定性公式适用于所有耦合区间,我们希望所发现的这个联系,能够有助于关于强耦合下的解析方法的寻找。本文的计算采用数值 bootstrap 方法,这是一种非微扰方法,模型的能谱完全由自洽性条件中获得,不涉及任何微扰因素。数值 bootstrap 方法始于共形场论和矩阵模型的研究中14 15 16 17 18,其突破性进展发生在最近对于矩阵量子力学模型的研究里面19,此后,数值 bootstrap 方法迅速发展并产生了许多新的结果20-25。2.数值数值 Bootstrap 方法方法 Bootstr
11、ap 方法的思想简洁,只用量子理论的基本假设来构建系统的自洽条件,求解这些自洽条件便可获得系统的解。但是具体求解这些自洽条件会出现解析上的复杂难题,因而人们开始探究 bootstrap 的数值实现。数值 bootstrap 算法主要分为以下三个步骤:求解递归方程、构造 bootstrap 矩阵、设置对应不同势函数的搜索空间,本文将沿用文献20的符号来简单介绍数值 bootstrap 算法。2.1.求解递归方程求解递归方程 对于一个给定哈密顿量的量子力学系统:Open AccessOpen Access张会鹏,樊炜 DOI:10.12677/mp.2024.142005 41 现代物理 ()2
12、2pHV x=+(1)假设能量 E 的本征态为(在下文的描述中省略了),在能量本征态中,哈密顿量 H 和任意算子 都满足以下两个恒等式:,0H=HHE=(2)将,nnxx p=和哈密顿量 H 分别代入上式,运用对易关系可得到如下递归方程:()()()()311128840nnnnn nnxn xV xnE xx Vx+=(3)2.2.构造构造 Bootstrap 矩阵矩阵 采用20中构造矩阵的方法,选择如下算子:00:pxKKmnmnmncx p=(4)其中mnc为一系列常数。任意算子在能量本征态上的期望值都满足正性约束条件 0 (5)上述条件限制 bootstrap 矩阵必须为半正定矩阵,这
13、对算子的期望值有很强的约束作用,由此可以构造如下的 bootstrap 矩阵:1111:0kkkk=(6)其中0,1,2,是的组成元素(子算符)。称 k 为矩阵的深度,随着深度 k 的增加,约束会变得更强,哈密顿 量系统的能谱就会进一步的收敛。2.3.设置搜索空间设置搜索空间 要使用递归关系,需要设置最小的数据集合来初始化递归,称这个集合为搜索空间。最小化搜索空间与哈密顿量的势能项有关,在谐振子中搜索空间只有一个变量 E,在六次非谐振子中最小化搜索空间 为24,Exx,八次非谐振子的最小化搜索空间为246,Exxx,可见随着势能项次数的增加,搜索空间中矩序列的次数会对应增加。本文使用的搜索空间
14、与八次非谐振子的搜索空间相同。我们选取了系统能量作为搜索参量,使用半正定优化算法来排除不满足约束条件的参数值。当深度k 足够大时,剩余参数空间将收敛为一个很小的邻域,可将其视为一个数据点(原始参数空间的子集),即为量子系统的离散特征值。3.模型模型 定义 6 次和 8 次混合非谐项的模型为 22682pHgxxx=+(7)其中耦合参数 g 代表着“质量”项,0g 对应着非谐振子,0g+(9)其中 a、b、c、d 是待定的参数。在简谐极限g 时,它为零,在强非谐效应0g 时,它是 g 的收敛级数,这与两个模型的物理行为一致。4.结果讨论结果讨论 本文针对 6 次和 8 次混合非谐项的情况,研究非
15、谐振子的非谐能隙E和双势阱的非谐能隙DE。4.1.双势阱双势阱 图 2 给出了 E0和 E1的 bootstrap 数据,可以看到,随着g逐渐减小,非谐效应增强,双势阱的基态张会鹏,樊炜 DOI:10.12677/mp.2024.142005 43 现代物理 能隙增大。图 3 显示了非谐能隙DE,曲线为公式(9)的拟合,DE在0g=处最大,当1g 时,逐渐趋近于零,符合预期。公式(9)与 bootstrap 数据非常吻合,拟合参数值见表 1。Table 1.Fitted parameter values 表表 1.拟合参数值 g 0 a 0.1800091861655839 0.6841725
16、622144665 b 1.2493683668996924 0.5675565815977618 c 0.11072802479411986 0.0014144157302838026 d 1.5618129758132615 2.0728251742210113 Figure 2.Energy levels E0 and E1 of the double well 图图 2.双势阱能级 E0和 E1 Figure 3.Energy gap ED due to anharmonicity 图图 3.非谐能隙ED 张会鹏,樊炜 DOI:10.12677/mp.2024.142005 44 现代
17、物理 4.2.非谐振子非谐振子 图 4 显示了 E0和 E1的 bootstrap 数据。图 5 显示了由非谐效应产生的能隙E,曲线为公式(9)的拟合。非谐能隙E在0g=时最大,当1g 时,其渐近地趋近于零,符合预期。公式(9)与 bootstrap 数据非常吻合,拟合参数值见表 1。Figure 4.Energy levels E0 and E1 of the anharmonic oscillator 图图 4.非谐振子能级 E0和 E1 Figure 5.Energy gap E due to anharmonicity 图图 5.非谐能隙E 4.3.联系联系 非谐振子和双势阱具有完全不
18、同的物理图像,因而它们的非谐效应的这种联系是意想不到的。在13中,我们提供了一个相变的视角来理解这种联系:把非谐振子0g 和双阱势0g 分别视为模型(7)的振张会鹏,樊炜 DOI:10.12677/mp.2024.142005 45 现代物理 子相和瞬子相,根据量子相变26的视角可以把非谐能隙看作序参量,描述了非谐效应。将E和DE放在一起,如图 6 所示,其形状类似于相变中常见的形曲线27,这提供了一种理解非谐振子与双阱势之间的非谐效应的视角。Figure 6.()Eg and()DEg for the quantum system(7)图图 6.量子模型(7)的非谐能隙()Eg和()DEg
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