高考圆锥曲线真题汇编——文科数学解析版.doc

2012高考试题分类汇编：8：圆锥曲线
一、选择题
1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）

【答案】C
【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.
2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）

【答案】C
【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.
3.【2012高考山东文11】已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为
(A) 　(B) 　　(C)　　(D)
【答案】D
【解析】抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为，不妨取，即，焦点到渐近线的距离为，即，所以双曲线的离心率为，所以，所以，所以抛物线方程为，选D.
4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为，选C.
5.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.
6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则，即，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为，，.
7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】根据题意可设设抛物线方程为，则点焦点，点到该抛物线焦点的距离为，
， 解得，所以.
8.【2012高考四川文11】方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、28条 B、32条 C、36条 D、48条
【答案】B
【解析】本题可用排除法，，5选3全排列为60，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又时，方程出现重复，重复次数为4，所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B.
9.【2012高考上海文16】对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】∵＞0，∴或。
方程=1表示的曲线是椭圆，则一定有故“＞0”是“方程=1表示的是椭圆”的必要不充分条件。
10.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为，选B.
11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^@]
【答案】A
【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.
又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.
又，，C的方程为-=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.
12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于
A B C D
【答案】C.
【解析】根据焦点坐标知，由双曲线的简单几何性质知，所以，因此.故选C.
二 、填空题
13.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
【答案】，
【解析】当直线过右焦点时的周长最大，最大周长为；
，即，
14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.
【答案】
【解析】由双曲线的方程可知

【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ．
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。
∴，即，解得。
16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

【答案】.
【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.
17.【2012高考重庆文14】设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率
【答案】
【解析】由得，又垂直于轴，所以，即离心率为。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。
【答案】
【解析】设及；则点到准线的距离为，
得： 又。
19.【2012高考天津文科11】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则
【答案】1，2
【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，所以有，，又双曲线的右焦点为，所以，又，即，所以。
三、解答题

20.（本小题满分14分）
已知椭圆（a>b>0）,点P（,）在椭圆上。
（I）求椭圆的离心率。
（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。
【答案】

21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．

【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得
，∴。
由点在椭圆上，得
∴椭圆的方程为。
（2）由（1）得，，又∵∥，
∴设、的方程分别为，。
∴。
∴。①
同理，。②
（i）由①②得，。解得=2。
∵注意到，∴。
∴直线的斜率为。
（ii）证明：∵∥，∴，即。
∴。
由点在椭圆上知，，∴。
同理。。
∴
由①②得，，，
∴。
∴是定值。
【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。
【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。
（2）根据已知条件，用待定系数法求解。
22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）
如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值.
【解析】

23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.
【答案】
【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，
点代入椭圆，得，即，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，
，消去并整理得，
因为直线与椭圆相切，所以，
整理得 ①
，消去并整理得。
因为直线与抛物线相切，所以，
整理得 ②
综合①②，解得或。
所以直线的方程为或。
24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)
已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值
【答案】

25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)
如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.
【答案】(21)(I)……①
矩形ABCD面积为8，即……②
由①②解得：，
∴椭圆M的标准方程是.
(II)，
设，则，
由得.
.
当过点时，，当过点时，.
①当时，有，
，
其中，由此知当，即时，取得最大值.
②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.
③当时，，，
由此知，当时，取得最大值.
综上可知，当和0时，取得最大值.
26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

【答案】

27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分
在平面直角坐标系中，已知双曲线
（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；
（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：⊥

【答案】
28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）
设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.
【答案】

29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。

（1）求p,t的值。
（2）求△ABP面积的最大值。
【答案】
【解析】

（1）由题意得，得.
（2）设，线段AB的中点坐标为
由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.
由，得，得
所以直线的方程为，即.
由，整理得，
所以，，.从而得
，
设点P到直线AB的距离为d，则

，设ABP的面积为S，则.
由，得.
令，，则.
设，，则.
由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.
30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.[中国教育出%版网^@*&]
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.
【答案】
【解析】（Ⅰ）由，得.故圆Ｃ的圆心为点
从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知
故椭圆Ｅ的方程为：

（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得
　　，
即　　　　　
同理可得　　.
从而是方程的两个实根，于是
　　　　　　　　　　　　　　①
且
由得解得或
由得由得它们满足①式，故点Ｐ的坐标为
，或，或，或.

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标.
31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）
设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。
21. 【答案】

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知抛物线与圆有一个公共点，且在点处两曲线的切线为同一直线.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。

【答案】

33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)
如图，动圆,1<t<3,
与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。
(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。
【答案】

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。
34.【2012高考江西文20】（本小题满分13分）
已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x0,y0）(-2<x0<2)是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，-1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比。
【答案】
【解析】

35.【2012高考四川文21】(本小题满分12分)
如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
【答案】
【解析】

36.【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆的中心为原点，长轴在 轴上，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ，线段 的中点分别为 ，且△是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过 作直线交椭圆于，，求△的面积
【答案】（Ⅰ）+=1（Ⅱ）

37.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）
已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。
【答案】