高考理科数学试题全国卷2及解析.doc

2016年全国高考理科数学试题全国卷2
第Ⅰ卷
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
（2）已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知向量，且，则m=（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
（4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

（A） （B） （C） （D）
（7）若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（9）若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A） （B） （C） （D）
（11）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
（12）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
(13) 的内角的对边分别为，若，，，则 ．
(14) 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果，那么.[]
（2）如果，那么.
（3）如果，那么.
（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.
其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
（16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1 000项和．
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]
一年内出险次数
0
1
2[]
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19.（本小题满分12分）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．

20.（本小题满分12分）
已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．

（21）（本小题满分12分）
(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．
(Ⅰ) 证明：四点共圆；
(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的
面积．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，．

2016年全国高考理科数学试题全国卷2
参考答案
（1）【解析】A
∴，，∴，故选A．
（2）【解析】C
，
∴，∴，
故选C．
（3）【解析】D
，
∵，∴
解得，
故选D．
（4）【解析】A
圆化为标准方程为：，
故圆心为，，解得，
故选A．
（5）【解析】B
有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法
故选B．
【解析二】：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条，故选B.
（6）【解析】C
几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．
由图得，，由勾股定理得：，
，
故选C．
（7）【解析】B
由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.
（8）【解析】C
第一次运算：，
第二次运算：，
第三次运算：，
故选C．
（9）【解析】D
∵，，
故选D．
解法二：对展开后直接平方
解法三：换元法
（10）【解析】C
由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在
如图所示的阴影中

由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．
（11）【解析】A
离心率，由正弦定理得．
故选A．
（12）【解析】B
由得关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点 ，
∴，故选B．
13．【解析】
∵，，
，，
，
由正弦定理得：解得．
（14）【解析】②③④
对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.
（15）【解析】
由题意得：丙不拿（2，3），
若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，
若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，
故甲（1，3），
（16）【解析】
的切线为：（设切点横坐标为）
的切线为：
∴
解得
∴．
17．【解析】⑴设的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
⑵记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
18．⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量．

平均保费

，
∴平均保费与基本保费比值为．
19.【解析】⑴证明：∵，
∴，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴面．
⑵建立如图坐标系．

，，，，
，，，
设面法向量，
由得，取，
∴．
同理可得面的法向量，
∴，
∴

20．【解析】 ⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，
则直线AM的方程为．
联立并整理得，
解得或，则
因为，所以
因为，，
所以，整理得，
无实根，所以．
所以的面积为．
⑵直线AM的方程为，
联立并整理得，
解得或，
所以
所以
因为
所以，整理得，．
因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得
解得．

（21）【解析】⑴证明：

∵当时，
∴在上单调递增
∴时，
∴
⑵

由(1)知，当时，的值域为，只有一解．
使得，
当时，单调减；当时，单调增

记，在时，，∴单调递增
∴．
（22）【解析】（Ⅰ）证明：∵
∴
∴

∵，
∴
∴
∴
∴
∴．
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，，
∴，
∴在中，，
连接，，
∴．
（23）解：⑴整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．
（24）【解析】解：⑴当时，，若；
当时，恒成立；
当时，，若，．
综上可得，．
⑵当时，有，
即，
则，
则，
即，
证毕．
15