备战历届高考数学真题汇编专题7平面向量理20002006.doc

【2006高考试题】
一、选择题（共28题）
1．（安徽卷）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
2．（北京卷）若与都是非零向量，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

3．（福建卷）已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于
A. B.3 C. D.
4．（福建卷）已知向量与的夹角为，则等于
（A）5　　　　（B）4　　　　（C）3　　　　（D）1

图1
解析：向量与的夹角为， ，，∴ ，则=－1(舍去)或=4，选B.
5．（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量
A. B. C. D.
解析：，故选A.
6．（湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则
A．（） B．（） C．（） D．（）
7．（湖北卷）已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则
A. B. 4 C. D. 2
解：由a＋2b与a－2b互相垂直Þ（a＋2b）·（a－2b）＝0Þa2－4b2＝0
即|a|2＝4|b|2Þ|a|＝2|b|，故选D
8．（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )
A.[0,] B. C. D.
9．（湖南卷）已知向量若时，∥；时，，则
　 A．　 B. 　 C. 　 D.
10．（湖南卷）如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是
A
B
O
M
图1
A．　　　　　B.
C. D.
解析：如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，
由图知，x<0，当x=－时，即=－，P点在线段DE上，=，=，而<<，∴ 选C.
11．（辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为
(A) (B) (C) (D)
12．（辽宁卷）设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.
13．（辽宁卷）已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：依题意，结合图形可得，故，选D
14．（全国卷I）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则
A． B． C． D．

15．（全国卷I）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则
A． B． C． D．
16．（全国卷I）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为
A． B． C． D．
解：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选B.
17．（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
18．（全国II）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝
（A）9 (B)6 (C)5 (D)3
解：//Þ4×3－2x＝0，解得x＝6，选B
19．（山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=
1 （B）2 （C）—1 （D）
20．（山东卷）设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
解：设d＝（x，y），因为4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，选D
21．（山东卷）设向量a=(1,－3),b=(－2,4),若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为
(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）
解：4a＝（4，－12），3b－2a＝（－8，18），设向量c＝（x，y），依题意，得4a＋（3b－2a）＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6，选D
22．(陕西卷) 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
23．(上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）
A
B
C
D
（A）＝； （B）＋＝；
（C）－＝； （D）＋＝．
解：由向量定义易得， （C）选项错误；；
24．（四川卷）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是
（A） （B）
（C） （D）
25．（四川卷）设分别是的三个内角所对的边，则是的
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件

26．（浙江卷）设向量满足,,则
(A)1 (B)2 (C)4 (D)5
27．(重庆卷)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是
(A) (B) 或
（C） （D）或
解析：与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则，解得或，选B.
28．(重庆卷)已知三点，其中为常数。若，则与的夹角为
（A） （B）或 （C） （D）或
二、填空题（共15题）
29．（安徽卷）在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）
解：，，所以。
30.（北京卷）若三点共线，则的值等于__________.
31．（北京卷）在中，若，则的大小是___________.
解： Ûa:b:c＝5:7:8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得的大小为.
32.（北京卷）若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于 。
解：＝（a－2，－2），＝（－2，2），依题意，向量 与共线，故有2（a－2）－4＝0，得a＝4
33.（北京卷）在△ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c= , B的大小是 .
34（北京卷）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .
35.（湖北卷）在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝ .
解：由正弦定理易得结论sinB＝。
A
O
M
P
B
图2
36.（湖南卷）如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 .
解析:如图, , 点在由射线, 线段
及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动,
且，由向量加法的平行四边形
法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以
OB和OA的反向延长线为两邻边，∴ 的取值范围
是(－∞，0)；
当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB，∴ 的取值范围是(，).
37.（江苏卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　　　
38.（江西卷）已知向量，，则的最大值为 ．
解：＝|sinq－cosq|＝|sin（q－）|£。
39.（全国II）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．
解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得
AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得。
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。
40.（天津卷）设向量与的夹角为，，，则　　　　　．
解析：设向量与的夹角为且∴ ，则。
41.（浙江卷）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若｜a｜=1,则｜a｜+｜c｜的值是　　　
【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。
解析：
，所以
【名师点拔】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。
42.（上海春）在△中，已知，三角形面积为12，则 .
43.（上海春）若向量的夹角为，，则 .
三、解答题（共11题）
44.（湖北卷）设函数，其中向量，，，。
（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。
45.（湖北卷）设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b).
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。
解：（Ⅰ）∵
∴的最大值为，最小正周期是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即成立的的取值集合是.

B
D
C
α
β
A
图3
46 （湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
证明 ;
若AC=DC,求的值.
解：(1)．如图3，，
　　即．

47．（江西卷）在锐角中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，则

（2），则bc＝3。将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得解得b＝
48.（江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA＝a（）
试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数
（2）求y＝的最大值与最小值
因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值ymax＝240
当a＝时，y取得最小值ymin＝216
49.（全国卷I）的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin
=－2(sin － )2+
当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为
50.（全国II）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（Ⅰ）若a⊥b，求θ；
（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大
51.（全国II）在,求
（1）
(2)若点
解：（1）由,
由正弦定理知
（2）
由余弦定理知
52. （四川卷）已知是三角形三内角，向量，且
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求tanC.
（Ⅱ）由题知，整理得
∴ ∴∴或
而使，舍去 ∴
∴ 53（四川卷）已知A、B、C是三内角，向量且
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若求tanB.
本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。

（Ⅱ）由题知，整理得
∴ ∴
∴或,而使，舍去
∴
54.（天津卷）如图，在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值.
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.
（Ⅰ）解： 由余弦定理，
那么，
55(上海卷)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？
[解] 连接BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
【2005高考试题】
1.（全国卷Ⅰ）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 1
2．（全国卷Ⅱ）已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于 （ C ）
A．2 B． C．－3 D．－
3．（全国卷Ⅱ）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为 （ C ）
A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5） D．（5，－10）
4. （全国卷III）已知向量，且A、B、C三点共线，则k=
5.（北京卷）若，且，则向量与的夹角为(C )
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
6.（上海卷）直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是x+2y-4=0 __________。
7.（天津卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且| |=2,则=
8.（福建卷）在△ABC中，∠C=90°，则k的值是 （ D ）
A．5 B．－5 C． D．
9.（广东卷）已知向量，，且，则x为____4_________．
10.（湖北卷）已知向量不超过5，则k的取值范围是 [－6，2]
11.（江苏卷）在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_-2_________。
12.（江西卷）已知向量 （ C ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
15. （全国I）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点
16.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　）
　　A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心
【2004高考试题】
一）选择题
1．(2004.全国理)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|= （C ）
A． B． C． D．4

3．（2004. 福建理）已知a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是 （ B ）
A． B． C． D．
4．（2004. 重庆理）若向量的夹角为，,则向量的模为 （ C ）
A．2 B．4 C．6 D．12
5、(2004. 四川理）已知平面上直线l的方向向量e=(-)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为和，则λe，其中λ=（ D ）
A B - C 2 D -2
6．（04. 上海春季高考）在中，有命题
①；②；③若，则为等
腰三角形；④若，则为锐角三角形.
上述命题正确的是 （ C ）
（A）①② （B）①④ （C）②③ （D）②③④

10、（2004.上海理）已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向, =2,则点B的坐标为 (5,4) ..
三）解答题
11．（2004.湖北理）（本小题满分12分）
如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.

11．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

12. （04. 上海春季高考）（本题满分12分） 在直角坐标系中，已知点和点
，其中. 若向量与垂直，求的值.
12. 由，得，利用，化简后得
，于是或，，.
【2003高考试题】
一、选择题
3.（2001江西、山西、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，－1），则向量2b－a的坐标是（ ）
A.（3，－4） B.（－3，4）
C.（3，4） D.（－3，－4）
4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（ ）
A. B.－ C.3 D.－3

5.（2001上海）如图5—1，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（ ）
图5—1
A.－a+b+c B. a+b+c
C. a－b+c D.－a－b+c
7.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直
④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
8.（1997全国，5）如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为（ ）
A.－ B.－3 C. D.3
二、填空题
9.（2002上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.
10.（2001上海春，8）若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.
11.（2000上海，1）已知向量=（－1，2），=（3，m），若⊥，则m= .
12.（1999上海理，8）若将向量a=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为_____.
13.（1997上海，14）设a=（m+1）i－3j，b=i+（m－1）j，（a+b）⊥（a－b），则m=_____.
14.（1996上海，15）已知a+b=2i－8j，a－b=－8i+16j，那么a·b=_____.
15.（1996上海，15）已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是_____.
三、解答题
18.（2002上海，17）如图5—4，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

图5—3 图5—4 图5—5
21.（2001江西、山西、天津理）如图5—6，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.
（1）求cos< >；
（2）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED.

图5—6 图5—7 图5—8
22.（2001上海春）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.
（1）求证：A1C⊥平面AEF；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.
试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）
（a×b）·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.
25.（2000上海，18）如图5—9所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.

图5—9 图5—10 图5—11
26.（2000天津、江西、山西）如图5—10所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos< >的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
图5—12
28.（1999上海，20）如图5—12，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角.
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成角的大小.

图5—13
29.（1995上海，21）如图5—13在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.
（1）求向量的坐标；
（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值.
●答案解析
3.答案：D
解析：设（x，y）=2b－a=2（0，－1）－（3，2）=（－3，－4）.
评述：考查向量的坐标表示法.
4.答案：B
5.答案：A
解析：=c+（－a+b）=－a+b+c
评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.
6.答案：B
解析：设c=ma+nb，则（－1，2）=m（1，1）+n（1，－1）=（m+n，m－n）.
∴ ∴
评述：本题考查平面向量的表示及运算.
7.答案：D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（b·c）a－（c·a）b］·c=（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直.故③假；
④（3a+2b）（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9|a|2－4|b|2成立.故④真.
评述：本题考查平面向量的数量积及运算律.
8.答案：A
解析：设直线l的方程为y=kx+b（此题k必存在），则直线向左平移3个单位，向上平移1个单位后，直线方程应为y=k（x+3）+b+1即y=kx+3k+b+1
因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.∴k=－.
评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.
9.答案：13
解析：∵（2a－b）·a=2a2－b·a=2|a|2－|a|·|b|·cos120°=2·4－2·5（－）=13.
评述：本题考查向量的运算关系.
11.答案：4
解析：∵={－1，2}，={3，m}，={4，m－2}，又⊥，
∴－1×4+2（m－2）=0，∴m=4.
评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件.
12.答案：（）
解析：设a==2+i，b=，由已知、的夹角为，由复数乘法的几何意义，得=（cos+isin）=（2+i）.
∴b=（）
评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学知识解决问题的能力.
14.答案：－63
解析：解方程组
a=－3i+4j=（－3，4）
b=5i－12j=（5，－12）

得

∴a·b=（－3）×5+4×（－12）=－63.
评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法.
15.答案：（4，2）
解析：设P（x，y），由定比分点公式，
则P（2，1），又由中点坐标公式，可得B（4，2）.
∵CO⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CO⊥平面ABB1A1，即∠CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角.
在Rt△CA1O中，CO=m，CA1=，
∴sinCA1O=，即∠CA1O=45°.
图5—15
17.解：（1）取OB的中点D，连结O1D，
则O1D⊥OB.
∵平面OBB1O1⊥平面OAB，
∴O1D⊥平面OAB.
过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E.
则O1E⊥AB.
∴∠DEO1为二面角O1—AB—O的平面角.
由题设得O1D=，
sinOBA=，
∴DE=DBsinOBA=
∵在Rt△O1DE中，tanDEO1=，
∴∠DEO1=arctan，即二面角O1—AB—O的大小为arctan.
18.解法一：如图5—16，以O点为原点建立空间直角坐标系.
图5—16
由题意，有B（3，0，0），D（，2，4），设P（3，0，z），则
={－，2，4}，={3，0，z}.
∵BD⊥OP，∴·=－+4z=0，z=.
∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.
tanPOB=，∴∠POB=arctan.
（以下同解法一）
图5—18
19.解：（1）如图5—18，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.
由已知，得
A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0， a），C1（）.
（2）坐标系如图，取A1B1的中点M，于是有M（0， a），连AM，MC1有
=（－a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）
由于·=0，·=0，所以MC1⊥面ABB1A1.
∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
∵=（），=（0，a），

20.解：（1）记P（x，y），由M（－1，0），N（1，0）得=－=（－1－x，－y），
=－=（1－x，－y），=－=（2，0）
∴·=2（1+x），·=x2+y2－1，·=2（1－x）.
于是，·，·，·是公差小于零的等差数列等价于

即
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.
（2）点P的坐标为（x0，y0）.
·=x02+y02－1=2.
||·||=.
∴cosθ=
（2）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，则，则有＝0.
又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有＝（a，－a，h）且，
∴.
即h＝a，这时有
cos<>＝，
∴∠BED＝<>＝arccos（）＝π－arccos
评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.
如图5—19建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），
C（4，3，0）.
AG={，3，0}，A1C={4，3，－5}.
因为AG与A1C所成的角为α，
所以cosα=.
由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos.
注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.
解法一：设AG与BD交于M，则AM⊥面BB1D1D，再作AN⊥EF交EF于N，连接MN，则∠ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角α，用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.
解法二：用面积射影定理cosα=.
评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.
因此，三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时BE=BF=，过B作BD⊥EF于D，连
B′D，可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高.∴BD=a.
∴tanB′DB=
故二面角B′—EF—B的大小为arctan2.
评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于·=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量.

（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.
猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.
评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.

图5—21
25.解：如图5—21建立空间直角坐标系
由题意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）
设D点的坐标为（0，0，z）（z>0）
则={1，1，0}，={0，－2，z}，
设与所成角为θ.
则·=·cosθ=－2，且AD与BE所成的角的大小为arccos.∴cos2θ=，∴z=4，故|BD|的长度为4.
又VA—BCD=|AB|×|BC|×|BD|=，因此，四面体ABCD的体积为.
评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，
={，0}.
∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.
（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.
∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C
∴只须求满足：=0即可.
设=a，=b，=c，
∵=a+b+c，=a－c，
∴=（a+b+c）（a－c）=a2+a·b－b·c－c2=－6，令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.
评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.
于是，={－a，a，0}
设与的夹角为θ，则由cosθ=

∴θ=arccos，即AE与CD所成角的大小为arccos.
评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.
29.解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.
OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.
∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.