高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷I理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第。卷（选择题）和第。卷（非选择题）两部分．第。卷1至2页，第。卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
【2009/理/1】 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（A）
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个
解：，故选A。也可用摩根律：
【2009/理/2】已知=2+i,则复数z=（B ）
（A）-1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i
解： 故选B。
【2009/理/3】不等式＜1的解集为（ D ）
（A）｛x (B)
（C） (D)
解：验x=-1即可。
【2009/理/4】设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )
（A）（B）2（C） （D）
解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又
解得: .
【2009/理/5】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )
（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种
解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法;
(2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D
【2009/理/6】设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( D )
（A）（B） （C） (D)
解: 是单位向量
故选D.
【2009/理/7】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）
（A）（B）（C） (D)
解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D
【2009/理/8】如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（A） （B） （C） (D)
解: 函数的图像关于点中心对称
由此易得.故选A
【2009/理/9】已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
解:设切点，则,又
.故答案选B
【2009/理/10】已知二面角α-l-β为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）
(A) (B)2 (C) (D)4
解:如图分别作
，连
，
又
当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。
【2009/理/11】函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数
解: 与都是奇函数，，
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
【2009/理/12】已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=
(A). (B). 2 (C). (D). 3
解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
第II卷
二、填空题：
【2009/理/13】的展开式中，的系数与的系数之和等于 。
解:
【2009/理/14】设等差数列的前项和为，若,则= 。
解: 是等差数列,由,得
.
【2009/理/15】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
【2009/理/16】若，则函数的最大值为 。
解:令,

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
【2009/理/17】（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）
在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
【2009/理/18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M在侧棱上，=60°
（I）证明：M在侧棱的中点
（II）求二面角的大小。
（I）解法一：作∥交于N，作交于E，
连ME、NB，则面，,
设，则,
在中，。
在中由
解得，从而 M为侧棱的中点M.
解法二:过作的平行线.
解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案.
（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.
分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.
分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。
另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。
【2009/理/19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。
分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。
需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。
另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。
【2009/理/20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和
分析：（I）由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
（II）由（I）知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
【2009/理/21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
（I）求得取值范围；
（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标
分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为、、、。
则由（I）根据韦达定理有，
则

令，则 下面求的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点的坐标。设点的坐标为：
由三点共线，则得。
以下略。
【2009/理/22】本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）
设函数在两个极值点，且
（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
(II)证明：
分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根
则有
故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解： 由题意有．．．．．．．．．．．．①
又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
　　　消去可得．
又，且
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m