湖南省长沙市高三高考模拟题二理科数学试题及答案.doc

2014年湖南省长沙市高考模拟题（二）
理科数学
一、选择题
1. 已知复数满足（为虚数单位），则z的值为 ( A )
A．i 　 B. －i 　 C. 1 D. －1
2. 设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于 ( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 二项式的展开式中常数项为 （ B ）
A．－15 B．15 C．－20 D．20
4. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：， 命题q：或，则是的（ B ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
5. 已知集合，， 若，使得成立，则实数的取值范围是 （ B ）
A. B.
x
A
B
P
y
O
C. D.
6. 函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，若，则的值为 （ C ）
A． B． C． D．
7. 设变量x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最大值为( B )
A． B． C． D．

8. 如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是（ C ）
A． B． C． D．
9 若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 ( C )
A．12对 B．18对 C．24 对 D．30对
10. 已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 （ A ）
A． B． C． D．
【解析】，表示点与点
连线的斜率，因为，所以，，
即函数图象在区间内任意两点连线的斜率大于1，即在内恒成立.
由定义域可知，所以，即，
所以成立.设，则，
当时，函数的最大值为15，所以.故选A.
11.如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点， ，则=_________.

由切割线定理知，所以，连接OA，在中求得，所以，故答案是：.
12. （选修4－3：不等式证明）不等式有实数解的充要条件是
【解析】
13.（选修4－4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系中，直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为.
14. 设点是双曲线与圆在第一象限的交点，其中分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为.
15. 【解析】由，，可以推得，
当时，，
当时，，
所以输出.
16. 若三个非零且互不相等的实数、、满足，则称、、是调和的；若满足，则称、、是等差的. 若集合中元素、、既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”.
若集合，集合.则
（1）“好集”中的元素最大值为 2012 ；
（2）“好集”的个数为 1006 .
【解析】若、、既是调和的，又是等差的，则，，.
即“好集”为形如（）的集合.
（1）“好集”中的元素最大值为，又因为，所以最大值为2012.
（2）由“好集”是集合的三元子集知，，，且.
∴ ，，且.符合条件的可取1006个值.
∴ “好集”的个数为1006.
三、解答题:
17. 已知函数 .
（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）f (x)=1+sin2x+(1−cos2x) =1++2sin f (x)的最小正周期为
（Ⅱ）由可得，即，
，得，
所以 ，
故，从而2sin，
因此f (x)的值域为. ……12分
18. 在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小的余弦值．

【解析】（Ⅰ）因为，∥，所以平面．
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是，，，，， ．所以，
因为平面的一个法向量为，所以，
又因为平面，所以平面． ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．
设是平面的一个法向量，由 得
即．取，则． ……8分
设是平面的一个法向量，由 得
即．取，，
则． ……10分
设二面角的大小为，则．
故二面角的大小的余弦是． ……12分
19. （本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求；
（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【解析】（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1－×=，所以.……6分
（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×，从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝6.
若E(2X1)>E(3X2)，则.若E(2X1)<E(3X2)，则.
若E(2X1)=E(3X2)，则.
综上所述，当时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；
当时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；
当时，他们都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等．……12分
20． 【解析】（Ⅰ）由题设：投放的药剂质量为，
渔场的水质达到有效净化
或 或，即：，
所以如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续8天.…6分
（Ⅱ）由题设：，，
，
，且，
且， ，
投放的药剂质量的取值范围为. ………13分
21．【解析】（Ⅰ）设，（）.
易知斜率存在，设为，则方程为.
由得， …… ①
由直线与抛物线相切，知.
于是，，方程为.同理，方程为.
联立、方程可得点坐标为 ，
∵ ，方程为，
过抛物线的焦点.∴ ，.
∴ ，点在定直线上.
或解：设，，则方程为，方程为.
∴ 点，坐标满足方程.
∴ 直线方程为.
由直线过点，知.
∴ .点在定直线上. ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，、的坐标分别为、.
∴ .
∴ .
设（），，
由知，当且仅当时等号成立.
∴ .
设，则.
∴ 时，；时，.在区间上为减函数；
在区间上为增函数.
∴ 时，取最小值.∴ 当，，
即，时，面积取最小值. ………… 13分
22. 【解析】（Ⅰ）
，
当时，由知或，
当时，则，时，，在上单调递减，
所以
当时，，时，，时，，
∴在处取得最大值，即
综上所述， （）． ……4分
（Ⅱ）当时，欲证 ，只需证明
∵
，
所以，.所以，当时，都有成立． （III）当时，结论显然成立；当时，由（II）知

．所以，对任意正整数，都有成立． ……13分

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