高考新课标I卷文科数学试题及答案.doc

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试卷类型：新课标Ⅰ（A）
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，满分150分.
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，则集合中的元素个数为
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
（2）已知点，向量，则向量
（A） （B） （C） （D）
（3）已知复数满足，则
（A） （B） （C） （D）
（4）如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则
（A） （B） （C） （D）
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有
（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛
（7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则
（A） （B） （C） （D）
（8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（10）已知函数 ，且，则
（A） （B） （C） （D）
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)在数列中为的前n项和，若，则 .
(14)已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .
(15)若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 .
(16)已知F是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， .当周长最小时，该三角形的面积为 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知分别是内角的对边，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面积.

（18）（本小题满分12分）
如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，.

（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

（19）（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费，和年销售量的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（I）根据散点图判断，与，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

（20）（本小题满分12分）
已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.
（I）求k的取值范围；
（II），其中O为坐标原点，求.

（21）（本小题满分12分）
设函数.
（I）讨论的导函数的零点的个数；
（II）证明：当时，.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是圆O直径，AC是圆O切线，BC交圆O与点E.

（I）若D为AC中点，求证：DE是圆O切线；
（II）若，求的大小.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求的极坐标方程；
（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（I）当 时求不等式 的解集；
（II）若 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题答案
A卷选择题答案
一.选择题
（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C
A、B卷非选择题答案
二.填空题
（13）6 （14）1 （15）4 （16）
三.解答题
（17）解：
（I）由题设及正弦定理可得=2ac.
又a=b，可得b=2c，a=2c.
由余弦定理可得cosB== . …… 6分
（II）由（I）知=2ac.
因为B=，由勾股定理得.
故，得c=a=.
所以△ABC的面积为1. …… 12分
（18）解：
（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分
（II）设AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得
AG=GC=，GB=GD=.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积=×AC·GD·BE=.
故=2 ……9分
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. ……12分
（19）解：
（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程类型. ……2分
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程式.由于
,
，
所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为
……6分
（Ⅲ）（i）由（II）知，当=49时，年销售量y的预报值
，
年利润z的预报值
……9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
.
所以当，即=46.24时，取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分
（20）解：
（I）由题设，可知直线的方程为.
因为与C交于两点，所以.
解得 .
所以k的取值范围为. ……5分
（II）设.
将代入方程，整理得
.
所以.

.
由题设可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.
故圆心C在上，所以. ……12分
（21）解：
（I）的定义域为.
当≤0时，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，
当b满足0＜b＜且b＜时，，故当＜0时存在唯一零点.
……6分
（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，＜0；
当时，＞0.
故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，. ……12分
（22）解：
（I）连结AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE，则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是O的切线.
……5分

（II）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，
所以，即.可得，所以∠ACB=.
……10分
（23）解：
（I）因为，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为. ……5分
（II）将代入，得，解得
.故，即
由于的半径为1，所以的面积为. ……10分
（24）解：
（I）当时，化为.
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.
所以的解集为. ……5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为
,△ABC的面积为.
由题设得＞6，故＞2.
所以的取值范围为. ……10分