第四章线性代数方程组的迭代解法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

在第二章中我们知道，凡是迭代法都有在第二章中我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个收敛迭代法不但含有程序设计会发散。一个收敛迭代法不但含有程序设计简单，适于自动计算，而且较直接法更少计简单，适于自动计算，而且较直接法更少计算量就可取得满意解。所以，迭代法亦是求算量就可取得满意解。所以，迭代法亦是求解线性方程组，尤其是求解含有大型稀疏矩解线性方程组，尤其是求解含有大型稀疏矩阵线性方程组主要方法之一。阵线性方程组主要方法之一。第四章第四章 解线性方程组迭代法解线性方程组迭代法第1页4.2 4.2 迭代法基本思想迭代法基本思想 迭代法基本思想是将线性方程组转化为迭代法基本思想是将线性方程组转化为便于迭代等价方程组，对任选一组初始值便于迭代等价方程组，对任选一组初始值 ，按某种计算规则，不停地，按某种计算规则，不停地对所得到值进行修正，最终取得满足精度要对所得到值进行修正，最终取得满足精度要求方程组近似解求方程组近似解。第2页设设 非奇异，非奇异，则线性方程组，则线性方程组 有惟一解有惟一解 ，经过变换结构，经过变换结构出一个等价同解方程组出一个等价同解方程组将上式改写成迭代式将上式改写成迭代式选定初始向量选定初始向量 ,重复不停重复不停地使用迭代式逐步迫近方程组准确解地使用迭代式逐步迫近方程组准确解,直到直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法满足精度要求为止。这种方法称为迭代法第3页 假如假如 存在极限存在极限则称迭代法是收敛，不然就是发散。则称迭代法是收敛，不然就是发散。收敛时，在迭代公式收敛时，在迭代公式中当中当 时，时，,则则,故故 是方程组是方程组 解。解。对于给定方程组能够结构各种迭代公式。对于给定方程组能够结构各种迭代公式。并非全部收敛并非全部收敛 第4页例例4.1 4.1 用迭代法求解线性方程组用迭代法求解线性方程组 解解 结构方程组等价方程组结构方程组等价方程组据此建立迭代公式据此建立迭代公式 取取 计算得计算得 迭代解离准确解迭代解离准确解 越来越远迭代不收敛越来越远迭代不收敛 第5页4.3 雅可比（雅可比（Jacobi）迭代法迭代法4.3.14.3.1雅可比迭代法算法结构雅可比迭代法算法结构 例例4.2 4.2 用雅可比迭代法求解方程组用雅可比迭代法求解方程组 解：从方程组三个方程中分离出解：从方程组三个方程中分离出 和和 建立迭代公式建立迭代公式 第6页取初始向量取初始向量进行迭代进行迭代,能够逐步得出一个近似解序列：能够逐步得出一个近似解序列：（k=1,2,）直到求得近似解能到达预先要求精度，直到求得近似解能到达预先要求精度，则迭代过程终止，以最终得到近似解作为线则迭代过程终止，以最终得到近似解作为线性方程组解。性方程组解。当迭代到第当迭代到第10次有次有计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组精计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组精确解确解x*=(3,2,1)T。第7页考查普通方程组，将考查普通方程组，将n n元线性方程组元线性方程组 写成写成 若若 ,分离出变量分离出变量 据此建立迭代公式据此建立迭代公式 上式称为解方程组上式称为解方程组JacobiJacobi迭代公式。迭代公式。第8页4.3.4.3.2 雅可比迭代法矩阵表示雅可比迭代法矩阵表示 设方程组设方程组 系数矩阵系数矩阵A A非奇异，且主对非奇异，且主对角元素角元素 ，则可将，则可将A A分裂成分裂成 记作记作 A=L+D+U 第9页则则 等价于等价于即即因为因为 ，则则这么便得到一个迭代公式这么便得到一个迭代公式令令则有则有（k=0,1,2）称为雅可比迭代公式称为雅可比迭代公式,B称为雅可比迭代矩阵称为雅可比迭代矩阵第10页其中其中 在例在例4.24.2中中,由迭代公式写出雅可比迭代矩阵为由迭代公式写出雅可比迭代矩阵为 第11页雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式分量形性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式分量形式。即式。即(k=0,1,2,)第12页4.3.34.3.3 雅可比迭代法算法实现雅可比迭代法算法实现 第13页4.4 高斯高斯-塞德尔（塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法迭代法4.4.1 高斯高斯-塞德尔迭代法基本思想塞德尔迭代法基本思想 在在Jacobi迭迭代代法法中中，每每次次迭迭代代只只用用到到前前一一次次迭迭代代值值，若若每每次次迭迭代代充充分分利利用用当当前前最最新新迭迭代代值值，即即在在求求 时用新分量时用新分量代替旧分量代替旧分量 ,就得到高斯就得到高斯-赛德尔迭代法。其迭代法格式为：赛德尔迭代法。其迭代法格式为：(i=1,2,=1,2,n k=0,1,2,)=0,1,2,)第14页例例4.3 用用GaussSeidel 迭代格式解方程组迭代格式解方程组 准确要求为准确要求为=0.005=0.005 解解 GaussGaussSeidel Seidel 迭代格式为迭代格式为取初始迭代向量取初始迭代向量 ,迭代结果为：迭代结果为：x*第15页4.4.2 GaussSeidel 迭代法矩阵表示迭代法矩阵表示 将将A分裂成分裂成A=L+D+U，则则 等价于等价于 (L+D+U)L+D+U)x=b=b 于是于是,则高斯则高斯塞德尔迭代过程塞德尔迭代过程 因为因为 ,所以所以 则高斯则高斯-塞德尔迭代形式为：塞德尔迭代形式为：故故 令令 第16页4.4.3 高斯高斯塞德尔迭代算法实现塞德尔迭代算法实现 高高斯斯-塞塞德德尔尔迭迭代代算算法法计计算算步步骤骤与与流流程程图图与与雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元某个新值某个新值 后后,就改用新值就改用新值 替换老值替换老值 进行这一步剩下计算。进行这一步剩下计算。高斯高斯-塞德尔迭代算法塞德尔迭代算法程序实现程序实现(见附录见附录A A-7 用高斯用高斯塞德尔迭代法求解线塞德尔迭代法求解线 性方程组性方程组）第17页4.5.5 超松弛迭代法（超松弛迭代法（SOR方法）方法）使用迭代法困难在于难以预计其计算使用迭代法困难在于难以预计其计算量。有时迭代过程即使收敛，但因为收敛速量。有时迭代过程即使收敛，但因为收敛速度迟缓，使计算量变得很大而失去使用价值度迟缓，使计算量变得很大而失去使用价值。所以，迭代过程加速含有主要意义。逐。所以，迭代过程加速含有主要意义。逐次超松弛迭代（次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Successive Over relaxatic MethodMethod，简称简称SORSOR方法）法，能够看作是带参方法）法，能够看作是带参数高斯数高斯塞德尔迭代法，实质上是高斯塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德塞德尔迭代一个加速方法。尔迭代一个加速方法。第18页4.5.1超松弛迭代法基本思想超松弛迭代法基本思想 超松弛迭代法目标是为了提升迭代法收敛速度，超松弛迭代法目标是为了提升迭代法收敛速度，在高斯在高斯塞德尔迭代公式基础上作一些修改。这种塞德尔迭代公式基础上作一些修改。这种方法是将前一步结果方法是将前一步结果 与高斯与高斯-塞德尔迭代方法塞德尔迭代方法迭代值迭代值 适当加权平均，期望取得更加好近似值适当加权平均，期望取得更加好近似值 。是解大型稀疏矩阵方程组有效方法之一，有着广。是解大型稀疏矩阵方程组有效方法之一，有着广泛应用。泛应用。其详细计算公式以下：其详细计算公式以下：用高斯用高斯塞德尔迭代法定义辅助量。塞德尔迭代法定义辅助量。第19页把把 取为取为 与与 加权平均，即加权平均，即 合并表示为：合并表示为：式中系数式中系数称为称为松弛因子松弛因子，当，当=1时，便为高斯时，便为高斯-塞德尔迭代法。为了确保迭代过程收敛，要求塞德尔迭代法。为了确保迭代过程收敛，要求0 2。当当0 1时，低松弛法；当时，低松弛法；当1 2时时称为超松弛法。但通常统称为超松弛法称为超松弛法。但通常统称为超松弛法(SOR)。第20页4.5.2 超松弛迭代法矩阵表示超松弛迭代法矩阵表示设线性方程组设线性方程组 系数矩阵系数矩阵A非奇异非奇异,且主对角且主对角元素元素 ,则将则将A A分裂成分裂成A=L+D+U,A=L+D+U,则超松弛迭代公式用矩阵表示为则超松弛迭代公式用矩阵表示为或或 故故 显然对任何一个显然对任何一个值值,(,(D+L)D+L)非奇异非奇异,(,(因为假设因为假设 )于是超松弛迭代公式为于是超松弛迭代公式为 令令则超松弛迭代则超松弛迭代公式可写成公式可写成 第21页例例4.4 用用SOR法求解线性方程组法求解线性方程组 取取=1.46，要求要求 解：解：SOR迭代公式迭代公式 k=0,1,2,，初值初值 该方程组准确解该方程组准确解只需迭代只需迭代20次便可到达精度要求次便可到达精度要求 假如取假如取=1(即高斯即高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法)和同一初和同一初值值 ,要到达一样精度要到达一样精度,需要迭代需要迭代110次次第22页4.6 迭代法收敛性迭代法收敛性 我们知道我们知道,对于给定方程组能够结构成简对于给定方程组能够结构成简单迭代公式、雅可比迭代公式、高斯单迭代公式、雅可比迭代公式、高斯-塞德尔塞德尔迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收迭代公式和超松弛迭代公式，但并非一定收敛。现在分析它们收敛性。敛。现在分析它们收敛性。对于方程组对于方程组 经过等价变换结构出等价方程组经过等价变换结构出等价方程组 在什么条件下迭代序列在什么条件下迭代序列 收敛？先引入收敛？先引入以下定理以下定理 第23页定理定理4.1 对给定方阵对给定方阵G,若若 ,则则 为非奇异矩阵为非奇异矩阵,且且 证证:用反证法用反证法,若若 为奇异矩阵为奇异矩阵,则存在非零向则存在非零向 量量x,使使 ,即有即有 由相容性条件得由相容性条件得 因为因为 ,两端消去两端消去 ,有有 ,与已知条件与已知条件矛盾矛盾,假设不成立假设不成立,命题得证。命题得证。又因为又因为 有有 即即 将将G分别取成分别取成G和和-G，再取范数再取范数 又已知又已知 ，有有 第24页定理定理4.2 4.2 迭代公式迭代公式 收敛收敛充分必要条件是迭代矩阵充分必要条件是迭代矩阵G谱半径谱半径证证:必要性必要性 设迭代公式收敛设迭代公式收敛,当当kk时时,则在迭代公式两端同时取极限得则在迭代公式两端同时取极限得记记 ,则则 收敛于收敛于0(0(零向量零向量),),且有且有 于是于是 因为因为 能够是任意向量能够是任意向量,故故 收敛于收敛于0 0当且仅当且仅当当 收敛于零矩阵，即当收敛于零矩阵，即当 时时 于是于是 所以必有所以必有 第25页充分性充分性:设设 ,则必存在正数则必存在正数,使使则存在某种范数则存在某种范数 ,使使 ,则则 ,所以所以 ,即即 。故。故 收敛于收敛于 0,收敛于收敛于 由此定理可知，不论是雅可比迭代法、高斯由此定理可知，不论是雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法还是超松弛迭代法，它们收敛塞德尔迭代法还是超松弛迭代法，它们收敛充要条件是其迭代矩阵谱半径充要条件是其迭代矩阵谱半径 。实际上实际上,在例在例4.1中中,迭代矩阵迭代矩阵G=，其特征多项式为其特征多项式为,特征值为特征值为-2，-3，,所以迭代发散所以迭代发散 第26页定理定理4.3(4.3(迭代法收敛充分条件迭代法收敛充分条件)若迭代矩阵若迭代矩阵G G一个范数一个范数 ,则迭代公式则迭代公式收敛收敛,且有误差预计式且有误差预计式,且有误差预计式且有误差预计式 及及 证证:矩阵谱半径不超出矩阵任一个范数矩阵谱半径不超出矩阵任一个范数,已知已知 ,所以所以 ,依据定理依据定理4.24.2可知迭代公式收可知迭代公式收敛敛第27页又因为又因为 ,则则det(I-G)0,I-G为非奇异矩阵为非奇异矩阵,故故xGxd有惟一解有惟一解 ,即即与迭代过程与迭代过程 相比较相比较,有有两边取范数两边取范数 第28页由迭代格式，有由迭代格式，有 两边取范数，代入上式，得两边取范数，代入上式，得 证毕证毕 由定理知，当由定理知，当 时，其值越小，迭代时，其值越小，迭代收敛越快，在程序设计中通惯用相邻两次迭代收敛越快，在程序设计中通惯用相邻两次迭代 （为给定精度要求）作为为给定精度要求）作为控制迭代结束条件控制迭代结束条件 第29页例例4.5 4.5 已知线性方程组已知线性方程组 考查用考查用JacobiJacobi迭代和迭代和G-SG-S迭代求解时收敛性迭代求解时收敛性解解:雅可比迭代矩阵雅可比迭代矩阵 故故JacobiJacobi迭代收敛迭代收敛 第30页 将系数矩阵分解将系数矩阵分解 则高斯则高斯-塞德尔迭代矩阵塞德尔迭代矩阵 故高斯故高斯塞德尔迭代收敛。塞德尔迭代收敛。第31页定理定理4.4 设设n阶方阵阶方阵 为对角占优阵为对角占优阵,则则 非奇异非奇异证证:因因A为对角占优阵为对角占优阵,其主对角元素绝对值大其主对角元素绝对值大 于同行其它元素绝对值之和于同行其它元素绝对值之和,且主对角元素且主对角元素 全不为全不为0,故对角阵故对角阵 为非奇异。为非奇异。作矩阵作矩阵 第32页利用对角占优知利用对角占优知 由定理由定理4.1知知 非奇异非奇异,从而从而A非奇异非奇异,证毕证毕 系数矩阵为对角占优阵线性方程组称作对角系数矩阵为对角占优阵线性方程组称作对角占优方程组占优方程组。第33页定理定理4.5 对角占优线性方程组对角占优线性方程组 雅可比雅可比 迭代公式和高斯迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式均收敛。赛德尔迭代公式均收敛。证证:雅可比迭代公式迭代矩阵为雅可比迭代公式迭代矩阵为 由定理由定理4.4知知,这时这时 ,再由再由定理定理4.3知迭代收敛知迭代收敛 再考查高斯再考查高斯-赛德尔迭代公式迭代矩阵赛德尔迭代公式迭代矩阵 令令 ，则有，则有 即即 写出分量形式有写出分量形式有 第34页设设 而而 由上式得由上式得 由此整理得由此整理得 利用对角占优条件知上式右端小于利用对角占优条件知上式右端小于1,(1,(假如右端大假如右端大于于1,1,则得出与对角占优条件矛盾结果则得出与对角占优条件矛盾结果)故有故有据定理据定理4.34.3知知G-SG-S收敛收敛 第35页例例4.6 设求解线性方程组设求解线性方程组 雅可比迭代雅可比迭代 求证当求证当 1 1时时,对应高斯对应高斯-塞德尔迭代收敛塞德尔迭代收敛 证证:因为因为B B是雅可比迭代迭代矩阵是雅可比迭代迭代矩阵,故有故有 又又 1,1,故有故有 则则 系数矩阵系数矩阵 为对角占优阵为对角占优阵,故故G-SG-S迭代收敛迭代收敛 第36页例例4.7 设设 ,证实证实,求解方程组求解方程组 JacobiJacobi迭代与迭代与G-SG-S迭代同时收敛或发散迭代同时收敛或发散 证证:雅可比迭代矩阵雅可比迭代矩阵 其谱半径其谱半径 第37页例例4.7 设设 ,证实证实,求解方程组求解方程组 JacobiJacobi迭代与迭代与G-SG-S迭代同时收敛或发散迭代同时收敛或发散 证证:G-SG-S迭代矩阵迭代矩阵 其谱半径其谱半径 显然显然,和和 同时小于、等于或大于同时小于、等于或大于1,1,因而因而JacobiJacobi迭代法与迭代法与G-SG-S迭代法含有相同收敛性迭代法含有相同收敛性 第38页例例4.8 设求解线性方程组设求解线性方程组雅可比迭代雅可比迭代 x(k+1)=B x(k)+f k=0,1,求证当求证当BB 1时时,对应对应G-S迭代收敛迭代收敛证证 这里以这里以BB 为例为例,BB1 1类似类似 因为因为B是是雅可比迭代雅可比迭代迭代矩阵，故有迭代矩阵，故有 Ax=b 系数矩阵按行严格对角占优系数矩阵按行严格对角占优,故故高斯高斯-塞德尔迭代收敛塞德尔迭代收敛第39页例例 4.9 考查用考查用雅可比迭代法和雅可比迭代法和高斯高斯-塞德尔迭代塞德尔迭代 法解线性方程组法解线性方程组Ax=bAx=b收敛性，其中收敛性，其中解：解：先计算迭代矩阵先计算迭代矩阵第40页求特征值求特征值雅可比矩阵雅可比矩阵 (B)=0 1)=21 用高斯用高斯-塞德尔迭代塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散法求解时，迭代过程发散高斯高斯-塞德尔迭代矩阵塞德尔迭代矩阵求特征值求特征值第42页 Ax=b系数矩阵按行严格对角占优系数矩阵按行严格对角占优,故故高斯高斯-塞德尔迭代收敛塞德尔迭代收敛例例4.10 设有迭代格式设有迭代格式 X(k+1)=B X(k)+g (k=0,1,2）其中其中B=I-A,假如假如A和和B特征值全为正数，特征值全为正数，试证：该迭代格式收敛。试证：该迭代格式收敛。分析分析:依据依据A，B和单位矩阵和单位矩阵I之间特征值关系之间特征值关系导出导出()1,从而说明迭代格式收敛。从而说明迭代格式收敛。证证:因为因为B=I-A,故故(B)=(I)-(A)=1-(A)(A)+(B)=1 因为已知因为已知(A)和和 (B)全为正数，故全为正数，故 0(B)1,从而从而 (B)1 所以该迭代格式收敛。所以该迭代格式收敛。第43页当初当初a a11时时,Jacobi矩阵矩阵 G GJ J 1,1,对初值对初值x x(0)(0)均收敛均收敛例例4.11 设设 方程组方程组 写出解方程组写出解方程组Jacobi迭代公式和迭代矩阵迭代公式和迭代矩阵 并讨论迭代收敛条件。并讨论迭代收敛条件。写出解方程组写出解方程组Gauss-Seidel迭代矩阵迭代矩阵,并讨并讨 论迭代收敛条件。论迭代收敛条件。解解 Jacobi迭代公式和迭代公式和Jacobi矩阵分别为矩阵分别为 第44页例例4.11设设 方程组方程组 写出解方程组写出解方程组Gauss-Seidel迭代矩阵，并讨论迭代矩阵，并讨论 迭代收敛条件。迭代收敛条件。解解 Gauss-Seidel矩阵为矩阵为 当初当初a a11时时,Gauss-SeidelGauss-Seidel矩阵矩阵 G Gs s 1,1,所以对任意初值所以对任意初值x x(0)(0)均收敛。均收敛。也可用矩阵谱半径也可用矩阵谱半径p(GS)1来讨论来讨论第45页解：解：先计算迭代矩阵先计算迭代矩阵例例4.12 讨论用讨论用雅可比迭代法和雅可比迭代法和高斯高斯-塞德尔迭代塞德尔迭代 法解线性方程组法解线性方程组Ax=bAx=b收敛性。收敛性。第46页求特征值求特征值雅可比矩阵雅可比矩阵 (B)=1 用用雅可比迭代法求解时，迭代过程不收敛雅可比迭代法求解时，迭代过程不收敛 1=-1，2,3=1/2第47页求特征值求特征值高斯高斯-塞德尔迭代矩阵塞德尔迭代矩阵 (G1)=0.3536 1 用用高斯高斯-塞德尔迭代塞德尔迭代法求解时，迭代过程收敛法求解时，迭代过程收敛 1=0,第48页求解求解AX=b,AX=b,当当 取何取何值时迭代收敛？值时迭代收敛？解解:所给迭代公式迭代矩阵为所给迭代公式迭代矩阵为 例例4.13 4.13 给定线性方程组给定线性方程组 AX=bAX=b 用迭代公式用迭代公式 X X(K+1)(K+1)=X=X(K)(K)+(b-A(b-AX X(K)(K)(k=0,1,)(k=0,1,）第49页即即 2-(2-5 )+1-5 +4+4 2 2=0=0 2-(2-5 )+(1-)(1-4)=0)=0 -(1-)-(1-4)=0=0 1=1-2=1-4 (B)=max|1-|,|1-4|1取取0 1/21/2迭代收敛迭代收敛第50页例例4.14 设求解线性方程组设求解线性方程组Ax=b简单迭代法简单迭代法 x(k+1)=Bx(k)+g (k=0,1,2,)收敛收敛,求证求证:对对0 1,迭代法迭代法 x(k+1)=(1-)I+Bx(k)+g (k=0,1,2,)收敛。收敛。证证:设设C=(1-)I+B,(C)和和(B)分别为分别为C和和B 特征值，则显然特征值，则显然 (C)=(1-)+(B)因为因为0 1,(C)是是1和和(B)加权平均加权平均,且由迭代法且由迭代法 x(k+1)=Bx(k)+g (k=0,1,2,)收敛知收敛知|(B)|1,故故|(C)|1,从而从而(C)1,即即x(k+1)=(1-)I+Bx(k)+g (k=0,1,2,)收敛收敛k=0,1,第51页本章小结本章小结 本章介绍了解线性方程组本章介绍了解线性方程组 迭代法迭代法一些基本理论和详细方法。迭代法是一个逐次逼一些基本理论和详细方法。迭代法是一个逐次逼近方法，即对任意给定初始近似解向量，按近方法，即对任意给定初始近似解向量，按照某种方法逐步生成近似解序列，使解序列极照某种方法逐步生成近似解序列，使解序列极限为方程组解。注意到在使用迭代法限为方程组解。注意到在使用迭代法解方程组时，其迭代矩阵解方程组时，其迭代矩阵B B和迭代向量和迭代向量f f在计算过在计算过程中一直不变程中一直不变,迭代法含有循环计算公式迭代法含有循环计算公式,方法方法简单，程序实现方便，它优点是能充分利用系简单，程序实现方便，它优点是能充分利用系数稀疏性数稀疏性,适宜解大型稀疏系数矩阵方程组。适宜解大型稀疏系数矩阵方程组。第52页 迭代法不存在误差累积问题。使用迭代法迭代法不存在误差累积问题。使用迭代法关键问题是其收敛性与收敛速度，收敛性与迭代关键问题是其收敛性与收敛速度，收敛性与迭代初值选取无关，这是比普通非线性方程求根初值选取无关，这是比普通非线性方程求根优越之处。在实际计算中，判断一个迭代格式收优越之处。在实际计算中，判断一个迭代格式收敛性较麻烦，因为求迭代谱半径时需要求特征敛性较麻烦，因为求迭代谱半径时需要求特征值，当矩阵阶数较大时，特征值不易求出，通值，当矩阵阶数较大时，特征值不易求出，通常采取矩阵任一个范数都小于常采取矩阵任一个范数都小于1 1或对角占优来判或对角占优来判断收敛性。有时也可边计算边观察其收敛性。如断收敛性。有时也可边计算边观察其收敛性。如何加紧迭代过程收敛速度是一个很主要问题何加紧迭代过程收敛速度是一个很主要问题，实用中更多采取，实用中更多采取SORSOR法，选择适当松驰因子法，选择适当松驰因子有赖于实际经验。我们应针对不一样实际问题有赖于实际经验。我们应针对不一样实际问题，采取适当数值算法。，采取适当数值算法。第53页本章作业本章作业本章作业本章作业4.14.1、4.24.2、4.44.4、4.64.6第54页