平均数标准差与变异系数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第三章第三章 平均数、标准差平均数、标准差与变异系数与变异系数 第一节第一节 平均数平均数下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第1页 平均数是统计学中最惯用统计量，用来表明资平均数是统计学中最惯用统计量，用来表明资平均数是统计学中最惯用统计量，用来表明资平均数是统计学中最惯用统计量，用来表明资料中各观察值相对集中较多中心位置。平均数主要料中各观察值相对集中较多中心位置。平均数主要料中各观察值相对集中较多中心位置。平均数主要料中各观察值相对集中较多中心位置。平均数主要包含有：包含有：包含有：包含有：算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数（arithmetic meanarithmetic mean）中位数中位数中位数中位数（medianmedian）众数众数众数众数（modemode）几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数（geometric meangeometric mean）调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数（harmonic meanharmonic mean）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第2页 一、算术平均数一、算术平均数 算术平均数算术平均数是指资料中各观察值总和除以是指资料中各观察值总和除以观察值个数所得商，简称观察值个数所得商，简称平均数或均数平均数或均数，记为。，记为。算术平均数可依据样本大小及分组情况而算术平均数可依据样本大小及分组情况而采取直接法或加权法计算。采取直接法或加权法计算。(一一)直接法直接法 主要用于样本含量主要用于样本含量n30以下、未经分组以下、未经分组资料平均数计算。资料平均数计算。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第3页 设某一资料包含设某一资料包含设某一资料包含设某一资料包含n n个观察值：个观察值：个观察值：个观察值：x x1 1、x x2 2、x xn n，则样本平均数可经过下式计算：则样本平均数可经过下式计算：则样本平均数可经过下式计算：则样本平均数可经过下式计算：（3-13-1）其中，其中，其中，其中，为总和符号；为总和符号；为总和符号；为总和符号；表示从第一个观察表示从第一个观察表示从第一个观察表示从第一个观察值值值值x x1 1累加到第累加到第累加到第累加到第n n个观察值个观察值个观察值个观察值x xn n。当。当。当。当 在意义上已明在意义上已明在意义上已明在意义上已明确时，可简写为确时，可简写为确时，可简写为确时，可简写为 x x，（，（，（，（3-13-1）式可改写为：）式可改写为：）式可改写为：）式可改写为：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第4页 【例【例【例【例3.13.1】某种公牛站测得某种公牛站测得某种公牛站测得某种公牛站测得1010头成年公牛体重头成年公牛体重头成年公牛体重头成年公牛体重分别为分别为分别为分别为500500、520520、535535、560560、585585、600600、480480、510510、505505、490490（kgkg），求其平均数。），求其平均数。），求其平均数。），求其平均数。因为因为因为因为 x x=500+520+535+560+58=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 +600+480+510+505+49 =5285 =5285，n n=10=10 下一张 主 页 退 出 上一张 第5页 得：得：即即10头种公牛平均体重为头种公牛平均体重为528.5 kg。（二）加权法（二）加权法 对于样本含量对于样本含量 n30 以上且已分组资料，以上且已分组资料，能够在次数分布表基础上采取加权法计算平均能够在次数分布表基础上采取加权法计算平均数，计算公式为：数，计算公式为：（3-2）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第6页 式中：式中：第第i组组中值；组组中值；第第i组次数；组次数；分组数分组数 第第i组次数组次数fi是权衡第是权衡第i组组中值组组中值xi在资料中在资料中所占比重大小数量，所以将所占比重大小数量，所以将fi 称为是称为是xi“权权”，加权法也由此而得名。，加权法也由此而得名。【例【例3.2】将将100头长白母猪仔猪一月窝头长白母猪仔猪一月窝重（单位：重（单位：kg）资料整理成次数分布表以下，）资料整理成次数分布表以下，求其加权数平均数。求其加权数平均数。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第7页 表表表表31 10031 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第8页 利用（利用（32）式得：）式得：即这即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为为45.2kg。计算若干个来自同一总体样本平均数平均计算若干个来自同一总体样本平均数平均数时，假如样本含量不等，也应采取加权法计数时，假如样本含量不等，也应采取加权法计算。算。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第9页 【例【例3.3】某牛群有黑白花奶牛某牛群有黑白花奶牛 1500头，其平均体重为头，其平均体重为750 kg，而另一牛群有黑，而另一牛群有黑白花奶牛白花奶牛1200头，平均体重为头，平均体重为725 kg，假，假如将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体如将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？重为多少？此例两个牛群所包含牛头数不等，要计算此例两个牛群所包含牛头数不等，要计算两个牛群混合后平均体重，应以两个牛群牛头两个牛群混合后平均体重，应以两个牛群牛头数为权，求两个牛群平均体重加权平均数，即数为权，求两个牛群平均体重加权平均数，即 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第10页 即两个牛群混合后平均体重为即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。（三）平均数基本性质（三）平均数基本性质 1、样本各观察值与平均数之差和为零，、样本各观察值与平均数之差和为零，即即离均差之和等于零离均差之和等于零。或简写成或简写成下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第11页 2 2、样本各观察值与平均数之差平方和为最小，、样本各观察值与平均数之差平方和为最小，、样本各观察值与平均数之差平方和为最小，、样本各观察值与平均数之差平方和为最小，即即即即离均差平方和为最小离均差平方和为最小离均差平方和为最小离均差平方和为最小。(x xi i-)-)2 2 (x xi i-a-a)2 2 （常数（常数（常数（常数a a ）或简写为：或简写为：或简写为：或简写为：几何平均数几何平均数调和平均数调和平均数 上述五种平均数，最惯用是算术平均数。上述五种平均数，最惯用是算术平均数。第29页第二节第二节 标准差标准差 一、标准差意义一、标准差意义 用平均数作为样本代表，其代表性强弱受用平均数作为样本代表，其代表性强弱受样本资料中各观察值变异程度影响。仅用平均样本资料中各观察值变异程度影响。仅用平均数对一个资料特征作统计描述是不全方面，还数对一个资料特征作统计描述是不全方面，还需引入一个表示资料中观察值变异程度大小统需引入一个表示资料中观察值变异程度大小统计量。计量。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第30页 全距（极差）全距（极差）是表示资料中各观察值是表示资料中各观察值变异程度大小最简便统计量。不过全距只变异程度大小最简便统计量。不过全距只利用了资料中最大值和最小值，并不能准利用了资料中最大值和最小值，并不能准确表示资料中各观察值变异程度，比较粗确表示资料中各观察值变异程度，比较粗略。当资料很多而又要快速对资料变异程略。当资料很多而又要快速对资料变异程度作出判断时，能够利用全距这个统计量。度作出判断时，能够利用全距这个统计量。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第31页 为为 了了 准准 确确 地地 表示样本内各个观察值变异表示样本内各个观察值变异程度程度，人们，人们 首首 先会考虑到以平均数为标准，求先会考虑到以平均数为标准，求出各个观察值与平均数离差，（出各个观察值与平均数离差，（），称为，称为离均差离均差。即使离均差能表示一个观察值偏离平均数性即使离均差能表示一个观察值偏离平均数性质和程度，但因为离均差有正、有负质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差，离均差之和之和 为零，即（为零，即（）=0，因，因 而而 不不 能能 用用离均差之和离均差之和（）来）来 表表 示示 资料中全部观资料中全部观察值总偏离程度。察值总偏离程度。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第32页 为了处理离均差有正为了处理离均差有正、有负，离均差、有负，离均差之和为零问之和为零问 题题 ，可先求可先求 离离 均均 差绝差绝 对对 值值 并并 将将 各各 离离 均均 差差 绝对绝对 值值 之之 和和 除以除以 观观 测测 值值 个个 数数 n 求求 得得 平平 均均 绝绝 对对 离差，离差，即即|/n。即使平均绝对离差能够表。即使平均绝对离差能够表示资料中各观察值变异程度示资料中各观察值变异程度，但因为平均，但因为平均绝对离差包含绝对值符号绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，使用很不方便，在统计学中未被采取。在统计学中未被采取。第33页 我们还能够采取将离均差平方方法来处理离我们还能够采取将离均差平方方法来处理离均差有正、有负，离均差之和为零问题。均差有正、有负，离均差之和为零问题。先将各先将各 个离个离 均差平方，即均差平方，即()2，再求，再求 离均差平方和离均差平方和，即即 ，简称，简称平方和平方和，记，记为为SS；由由 于于 离差平方和离差平方和 常常 随随 样样 本本 大大 小小 而而 改改 变变，为，为 了了 消消 除除 样样 本大小本大小 影影 响响，用平用平方和方和 除除 以以 样样 本本 大大 小，小，即即 ，求出离，求出离均差平方和平均数均差平方和平均数；下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第34页 为了使所得统计量是对应总体参数无为了使所得统计量是对应总体参数无 偏预计偏预计量，统计学证实，在求离均差平方和平均数时，量，统计学证实，在求离均差平方和平均数时，分母不用样本含量分母不用样本含量n，而用自由度，而用自由度 n-1，于是，于是，我们我们 采采 用统计量用统计量 表示资料变异程表示资料变异程度。度。统计量统计量 称称 为为 均均 方方（mean square缩写为缩写为MS）,又称又称样本方差样本方差，记为记为S2，即，即 S2=（39）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第35页 对应总体参数叫对应总体参数叫 总体方差总体方差，记为，记为2。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，2计算公式计算公式为：为：（310）第36页 因为因为 样本方差样本方差 带有原观察单位带有原观察单位 平方平方单位，在仅表示一个资料中各观察值变异单位，在仅表示一个资料中各观察值变异程度而不作其它分析时程度而不作其它分析时 ，常需要与平均常需要与平均数配合使用数配合使用，这，这 时应时应 将平方单位还原，将平方单位还原，即应求出样本方差平方根。统计学上把样即应求出样本方差平方根。统计学上把样本方差本方差 S2 平方根叫做平方根叫做样本标准样本标准 差差，记，记为为S，即：，即：（3-11）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第37页 因为因为 所以（所以（3-11）式可改写为：）式可改写为：（3-12）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第38页 对应总体参数叫对应总体参数叫总体标准差总体标准差，记为，记为。对于有限总体而言，对于有限总体而言，计算公式为：计算公式为：（3-13）在统计学中，惯用样本标准差在统计学中，惯用样本标准差S预计预计总体标准差总体标准差。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第39页二、标准差计算方法二、标准差计算方法 （一）直接法（一）直接法 对于未分组或小样本资料对于未分组或小样本资料，可直可直接利用（接利用（311）或（）或（3-12）式来计）式来计算标准差。算标准差。第40页 【例【例3.9】计算计算10只辽宁绒山羊产绒量：只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）标）标准差。准差。此例此例n=10，经计算得：，经计算得：x=5400，x2=2955000，代入（，代入（312）式得：）式得：(g)即即10只辽宁绒山羊产绒量只辽宁绒山羊产绒量 标准差标准差 为为65.828g。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第41页 （二）加权法（二）加权法 对于已制成次数分布表大样本资料，可利对于已制成次数分布表大样本资料，可利用次数分布表，采取加权法计算标准差。计算用次数分布表，采取加权法计算标准差。计算公式为：公式为：（314314）式中，式中，f为各组次数；为各组次数；x为各组组中值；为各组组中值；f=n为总次数。为总次数。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第42页 【例【例3.10】利用某纯系蛋鸡利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资枚蛋重资料次数分布表（见表料次数分布表（见表3-4）计算标准差。）计算标准差。将表将表3-4中中f、fx、代入（代入（314）式得：）式得：(g g)即某即某 纯纯 系系 蛋蛋 鸡鸡200枚枚 蛋蛋 重标准差为重标准差为3.5524g。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第43页 表表表表34 34 某纯系蛋鸡某纯系蛋鸡某纯系蛋鸡某纯系蛋鸡200200枚蛋重资料次数分布枚蛋重资料次数分布枚蛋重资料次数分布枚蛋重资料次数分布 及标准差计算表及标准差计算表及标准差计算表及标准差计算表下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第44页 三、标准差特征三、标准差特征三、标准差特征三、标准差特征 （一）（一）（一）（一）标准差大小，受资料中每个观察值影响，标准差大小，受资料中每个观察值影响，标准差大小，受资料中每个观察值影响，标准差大小，受资料中每个观察值影响，如观察值间变异大，求得标准差也大，反之则小。如观察值间变异大，求得标准差也大，反之则小。如观察值间变异大，求得标准差也大，反之则小。如观察值间变异大，求得标准差也大，反之则小。（二）（二）（二）（二）在计算标准差时，在各观察值加上或减去在计算标准差时，在各观察值加上或减去在计算标准差时，在各观察值加上或减去在计算标准差时，在各观察值加上或减去一个常数，其数值不变。一个常数，其数值不变。一个常数，其数值不变。一个常数，其数值不变。（三）（三）（三）（三）当每个观察值乘以或除以一个常数当每个观察值乘以或除以一个常数当每个观察值乘以或除以一个常数当每个观察值乘以或除以一个常数a a，则所，则所，则所，则所得标准差是原来标准差得标准差是原来标准差得标准差是原来标准差得标准差是原来标准差a a倍或倍或倍或倍或1 1/a/a倍。倍。倍。倍。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第45页 （四）（四）在资料服从正态分布条件下，资料在资料服从正态分布条件下，资料中约有中约有68.26%观察值在平均数左右一倍标观察值在平均数左右一倍标准差（准差（S）范围内；约有）范围内；约有95.43%观察观察值在平均数左右两倍标准差（值在平均数左右两倍标准差（2S）范围）范围内；约有内；约有99.73%观察值在平均数左右三倍观察值在平均数左右三倍标准差（标准差（3S）范范 围内。也就是说全距围内。也就是说全距近似地等于近似地等于6倍标准差，可用（全距倍标准差，可用（全距/6）来粗）来粗略预计标准差。略预计标准差。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第46页第三节第三节 变异系数变异系数 变异系数是衡量资料中各观察值变异变异系数是衡量资料中各观察值变异 程度另一个统计量程度另一个统计量。标标 准差与平均数比值称为准差与平均数比值称为 变异系数变异系数，记为记为CV。变异系数能够消除单位变异系数能够消除单位 和和（或）平（或）平 均数不一样对两个或多个资料变异程度比均数不一样对两个或多个资料变异程度比较影响。较影响。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第47页 变异系数计算公式为：变异系数计算公式为：（315）【例【例3.11】已知某良种猪场长白成年母已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为猪平均体重为 190kg，标准差为标准差为10.5kg，而大约克成年母猪平均体重为而大约克成年母猪平均体重为196kg，标准，标准差为差为8.5kg，试问两个品种成年母猪，那一个，试问两个品种成年母猪，那一个体重变异程度大。体重变异程度大。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第48页 因为，长白成年母猪体重变异系数：因为，长白成年母猪体重变异系数：大约克成年母猪体重变异系数：大约克成年母猪体重变异系数：所以，长白成年母猪体重变异程度大于大所以，长白成年母猪体重变异程度大于大约克成年母猪。约克成年母猪。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第49页 注意，变异系数大小，同时受平均数和标准差两个统计量影响，因而在利用变异系数表示资料变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。下一张 主 页 退 出 上一张 第50页