江苏省专转本高等数学模拟试题二.doc

2010江苏省专转本高等数学模拟试题二
一. 选择题：
*1. 设函数，是的反函数，则（ ）
A. B.
C. D.
令
，反函数为，选B
*2. 若是的极值点，则（ ）
A. 必定存在，且
B. 必定存在，但不一定等于零
C. 可能不存在
D. 必定不存在
应选C。例：在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在
*3. 设有直线，则该直线必定（ ）
A. 过原点且垂直于x轴
B. 过原点且平行于x轴
C. 不过原点，但垂直于x轴
D. 不过原点，且不平行于x轴
直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，，故直线与x轴垂直，故应选A。
*4. 幂级数在点处收敛，则级数（ ）
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与有关
在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选A。
5. 对微分方程，利用待定系数法求其特解时，下面特解设法正确的是（ ）
A. B. C. D.

二. 填空题：
*6. _________________.

7. 设，则_________________.
*8. 设，则_________________.
解：

*9. _________________.
解

10. 设，则_________________.
*11. 已知，则过点且同时平行于向量和的平面的方程为_________________.
面的法向量为
平面的方程为即
12. 微分方程的通解是_________________.
*13. 幂级数的收敛区间是_________________.
解：令，

由解得，，于是收敛区间是
14. 设，则与同方向的单位向量_________________.
*15. 交换二次积分的次序得_________________.
解：积分区域如图所示：D：，于是

三. 解答题：
*16. 计算
解：

*17. 设，求
解：

18. 判定函数的单调区间
19. 求由方程所确定的隐函数的微分
*20. 设函数，求
解：设，则，两边求定积分得

解得：，于是

21. 判定级数的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？
22. 设，求
23. 求微分方程的通解
*24. 将函数展开为麦克劳林级数
解：
（）

即
25. 设，求
26. 求函数在条件之下的最值。
*27. 求曲线的渐近线
解：（1）
曲线没有水平渐近线
（2），曲线有铅直渐近线
（3）

所以曲线有斜渐近线

*28. 设区域为D：，计算
解：积分区域如图所示（阴影部分）

参考答案
一.
1. 令
，反函数为，选B
2. 应选C。例：在处取得极小值，但该函数在处不可导，而不存在
3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为，轴的正向方向向量为，，故直线与x轴垂直，故应选A。
4. 在点处收敛，推得对，绝对收敛，特别对有绝对收敛，故应选A。
5. 特征根为，由此可见（）是特征根，于是可设，应选C。
二.
6.
7.
8. 解：

9. 解

10.

（）
11. 平面的法向量为
平面的方程为即
12. 解：
通解为

13. 解：令，

由解得，，于是收敛区间是
14. ，
15. 解：积分区域如图所示：D：，于是

三.
16. 解：

17. 解：

18. 解：

当时，，函数单调增加；当或时，，函数单调减少，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为
19. 解：方程两边对求导（注意是的函数）：

解得

20. 解：设，则，两边求定积分得

解得：，于是

21. 解：（1）先判别级数的收敛性
令
发散
发散
（2）由于所给级数是交错级数且
<1>
<2>
由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。
22. 解：

23. 先求方程的通解：
特征方程为 ，特征根为，，于是齐次方程通解为
……（1）
方程中的，其中不是特征根，可令

则，
代入原方程并整理得
，

……（2）
所求通解为
24. 解：
（）

即
25. 解：因由得
，从而
26. 解：把条件极值问题转化为一元函数的最值

当时，函数取到最大值
当时，函数取到最小值0
27. 解：（1）
曲线没有水平渐近线
（2），曲线有铅直渐近线
（3）

所以曲线有斜渐近线

28. 解：积分区域如图所示（阴影部分）