2018高考数学一轮复习文科训练天天练-31带答案和解释.docx

天天练31　椭圆的定义、标准方程及性质 　　　　　　　　　　　　　
一、选择题 1．(2017•浙江卷，2)椭圆x29＋y24＝1的离心率是(　　) A.133 B.53 C.23 D.59 答案：B 解析：∵ 椭圆方程为x29＋y24＝1， ∴ a＝3，c＝a2－b2＝9－4＝5. ∴ e＝ca＝53.故选B. 2．已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为　(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案：A 解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 3．(2018•黑龙江大庆第一次模拟)已知直线l：y＝kx与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　) A.22，1 B.0，22 C.22，1 D.0，22 答案：C 解析：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，即c2>12a2，可得22<e<1.故选C. 4．(2018•深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　) A.x25＋y210＝1 B.x210＋y215＝1 C.x215＋y210＝1 D.x210＋y25＝1 答案：C 解析：椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±5，0)，可得c＝5，设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1，可得9a2＋4b2＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为x215＋y210＝1.故选C. 5．(2018•佛山二模)若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为12，则mn＝(　　) A.34 B.43 C.32或233 D.34或43 答案：D 解析：若焦点在x轴上，则方程化为x21m＋y21n＝1，依题意得1m－1n1m＝14，所以mn＝34；若焦点在y轴上，则方程化为y21n＋x21m＝1，同理可得mn＝43.所以所求值为34或43. 6．(2018•宜春二模)已知椭圆的焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，离心率e＝32，若点P在椭圆上，且PF1→•PF2→＝23，则∠F1PF2的大小为(　　) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案：D 解析：由题意可设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，且c＝3，离心率e＝32＝ca，a2＝b2＋c2，得a＝2，b＝1.∴椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，∵PF1→•PF2→＝23，∴mncos∠F1PF2＝23，又(2c)2＝(23)2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，∴12＝42－2mn－2×23，解得mn＝43.∴43cos∠F1PF2＝23，∴cos∠F1PF2＝12，∴∠F1PF2＝π3.故选D. 7．(2018•湖北孝感七校教学联盟期末)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为(　　) A.35 B.57 C.45 D.67 答案：B 解析： 如图所示，在△AFB中，|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|•cos∠ABF＝100＋64－2×10×8×45＝36，∴|AF|＝6，由勾股定理得∠BFA＝90°.设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，∴|BF′|＝6，|FF′|＝10.∴2a＝8＋6,2c＝10，解得a＝7，c＝5.∴e＝ca＝57.故选B. 8．已知直线l1：y＝kx＋2(k>0)与椭圆C：x24＋y23＝1相切，且切点为M，F是椭圆C的左焦点，直线l2过点M且垂直于直线l1，交椭圆于另一点N，则△MNF的面积是(　　) A.1519 B.4519 C.1538 D.4538 答案：D 解析：联立y＝kx＋2，x24＋y23＝1， 可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 因为直线l1与椭圆C相切于点M，所以Δ＝(16k)2－4(3＋4k2)×4＝48(4k2－1)＝0， 又k>0，所以k＝12，M－1，32， 故l2：y＝－2(x＋1)＋32＝－2x－12， 代入椭圆方程得19x2＋8x－11＝0， 解得x1＝－1，x2＝1119，则y1＝32，y2＝－6338， 设l2与x轴的交点为A，则A－14，0， 又F(－1,0)，所以△MNF的面积S＝12|AF|•|y2－y1|＝12×34×－6338－32＝4538.故选D. 二、填空题 9．(2018•石家庄三模)如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________． 答案：5 解析：方程x2＋ky2＝2可化为x22＋y22k＝1，则322＋2k＝2⇒2k＝54，∴短轴长为2×52＝5. 10．(2018•河北唐山模拟)设F1，F2为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C的方程为________． 答案：x29＋y26＝1 解析：由△F2AB是面积为43的等边三角形知AB垂直x轴，得b2a＝33×2c，12×2c×2b2a＝43，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所求的椭圆方程为x29＋y26＝1. 11．(2018•江苏徐州、宿迁、连云港、淮安四市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________． 答案：5－12 解析：由题意得－bc×ba＝－1⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒1－e2＝e,0<e<1⇒e＝5－12. 三、解答题 12．(2018•湖北襄阳模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝23，△PF1F2的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)如果椭圆C上总存在关于直线y＝x＋m对称的两点A，B，求实数m的取值范围． 解析：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n. ∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝23，△PF1F2的面积为1， ∴m2＋n2＝(23)2，m＋n＝2a，12mn＝1，解得a＝2，又c＝3， ∴b2＝a2－c2＝1.∴椭圆C的方程为x24＋y2＝1. (2)设AB的方程为y＝－x＋n. 联立x2＋4y2＝4，y＝－x＋n，化为5x2－8nx＋4n2－4＝0， Δ＝64n2－20(4n2－4)>0，解得－5<n<5. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝8n5，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2n＝2n5. 线段AB的中点4n5，n5在直线y＝x＋m上， ∴n5＝4n5＋m，解得n＝－53m. 代入－5<n<5，可得－5<－5m3<5，解得－355<m<355， ∴实数m的取值范围是－355，355.

20 × 20