2018高考数学第二次质量检查试题杭州市有答案.docx

2017-2018学年杭州市第二次高考科目教学质量检测 高三数学检测试卷 2018.04.23 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共40分） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． 已知集合 A＝{x | x＞1}， B＝{x | x＜2}，则 A∩B＝（ ） A． { x | 1＜x＜2} B． {x | x＞1} C． {x | x＞2} D． {x | x≥1} 2．设 a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R（ i 是虚数单位），则 a＝（ ） A． 3 B． －3 C． D． － 3． 二项式 的展开式中 x3项的系数是（ ） A． 80 B． 48 C． －40 D． －80 4．设圆 C1： x2＋y2＝1 与 C2： (x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆 C1与 C2的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 5． 若实数 x， y 满足约束条件 ，设 z＝x＋2y ，则（ ） A． z≤0 B．0≤z≤5 C． 3≤z≤5 D．z≥5 6．设 a＞b＞0， e 为自然对数的底数． 若 ab＝ba，则（ ） A． ab＝e2 B． ab＝ C． ab＞e2 D． ab＜e2 7． 已知 0＜a＜ ，随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1 P 3 4 1 4 －a a 当 a 增大时，（ ） A． E(ξ)增大， D(ξ)增大 B． E(ξ)减小， D(ξ)增大 C． E(ξ)增大， D(ξ)减小 D． E(ξ)减小， D(ξ)减小 8．已知 a＞0 且 a≠1，则函数 f (x)＝(x－a)2lnx（ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值 9． 记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin． 若平面向量 a， b， c 满足| a |＝| b |＝a•b ＝c•(a＋2b－2c)＝2． 则（ ） A． |a－c|max＝ B． |a＋c|max＝ C． |a－c|min＝√ D． |a＋c|min＝ 10． 已知三棱锥 S－ABC 的底面 ABC 为正三角形， SA＜SB＜SC，平面 SBC， SCA， SAB 与 平面 ABC 所成的锐二面角分别为 α1， α2， α3，则（ ） A． α1＜α2 B． α1＞α2 C． α2＜α3 D． α2＞α3 非选择题部分（共 110 分） 二、 填空题（ 本大题共 7 小题， 第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分） 11．双曲线 = 1的渐近线方程是________，离心率是_______． 12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______． 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________． 14．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______． 15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）． 16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤ ，|f(x)＋1－x2|≤ ，则f(1)＝ ． 17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式 恒成立，则 的最大值为 ． 三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 18．（本题满分14分）已知函数f(x)＝ + - ç ÷ ç ÷ è ø è ø （Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数y＝f(－x)的单调减区间．
19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC 的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD． （Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD； （Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值． 20．（本题满分15分）已知函数f(x)＝ （Ⅰ）求函数f(x)的导函数f ′(x)； （Ⅱ）证明：f(x)＜ （e为自然对数的底数）． 21．（本题满分15分）如图，过抛物线M：y＝x2上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D． （Ⅰ）设A(x0，x02)（x0≠0），求直线AB的方程； （Ⅱ）求 的值．
22．（本题满分15分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋ （c＞0，n∈N*）， （Ⅰ）证明：an＋1＞an≥1； （Ⅱ）若对任意n∈N*，都有 证明：（�。┒杂谌我�m∈N*，当n≥m时， （��）．
2017学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A D C A C A A
二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11． ； 12．3；162 13． ； 14．－ ； 15．32 16． 17． 三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分） （Ⅰ）因为sin(x＋ )＝cos(x－ )， 所以 f (x)＝2sin(x＋ )＝－2sin(x＋ )． 所以函数f (x)的最小正周期是2π，最大值是2． …………7分 （Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－ )， 所以单调递减区间为( ＋2kπ， ＋2kπ)（k∈Z）．…………14分
19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM⊥BD， 又因为 AC′⊥BD， 所以 BD⊥平面AMC， 因为BD 平面ABD， 所以平面AMC⊥平面AB D． …………7分 （Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接F D． 由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面 所成的角． 设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝ ，MD＝2－ ， DC＝DC′＝3 －2，AD＝ － ． 在Rt△C′MD中， ＝9－4 ． 设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′2－AF2＝MC′2－MF2， 即 4－x2＝(9－4 )－(x－1)2， 解得，x＝2 －2，即AF＝2 －2． 所以 C′F＝2 ． 故直线 与平面 所成的角的正弦值等于 ＝ ． …………15分
20．（本题满分15分） （I） ． …………6分 （Ⅱ）设 ， 则函数g(x)在 单调递减，且 ， ， 所以存在 ，使g(x0)＝0，即 ， 所以 x0＋1－(2x0＋1)lnx0＝0， 所以 f′(x)＝0，且f (x)在区间(0，x0)单调递增，区间(x0，＋∞)单调递减． 所以 f (x)≤f (x0)＝ ＝ ． …………15分
21．（本题满分15分） （Ⅰ）因为 y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′ ＝2x0． 所以直线AB的方程y－x0＝2x0(x－x0)， 即 y＝2x0x－ ． …………6分 （Ⅱ）由题意得，点B的纵坐标yB＝－ ，所以AB中点坐标为 ． 设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋ x0． 由 ，联立得m2y2＋(mx0－1)y＋ ＝0． 因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2． 由韦达定理，得y1＋y2＝4y2＝ ，y1y2＝3 ． 所以 ， 解得 mx0＝ ． 所以点D的纵坐标yD＝ ， 故 ． …………15分
22．（本题满分15分） （Ⅰ）因为c＞0，所以 an＋1＝an＋ ＞an（n∈N*）， 下面用数学归纳法证明an≥1． ①当n＝1时，a1＝1≥1； ②假设当n＝k时，ak≥1， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋ ＞ak≥1． 所以，当n∈N*时，an≥1． 所以 an＋1＞an≥1． …………5分 （Ⅱ）（�。┑�n≥m时，an≥am， 所以 an＋1＝an＋ ≤an＋ ， 所以 an＋1－an≤ ，累加得 an－am≤ (n－m)， 所以 ． …………9分 （��）若 ，当 时， ，所以 ． 所以当 时， ． 所以当 时， ，矛盾． 所以 ． 因为 ， 所以 ． …………15分

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