2017高考数学一轮考点训练平面解析几何含答案.docx

第九章 平面解析几何 考纲链接 1.平面解析几何初步 (1)直线与方程 在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系 能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离 (2)圆与方程 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 2圆锥曲线与方程 (1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) (2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) (3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) (4)理解数形结合的思想 (5)了解圆锥曲线的简单应用9.1直线与方程1平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|_ (2)平面直角坐标系中的基本公式： 两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为 d(A，B)|AB|_ 线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 x，y. 2直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴_或_时，我们规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角的取值范围为_ (2)斜率：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k_(_)当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k_0；当直线的倾斜角为锐角时，k_0；当直线的倾斜角为钝角时，k_0；倾斜角为_的直线没有斜率倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度 (3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k 3直线方程的几种形式 (1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的_叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的_叫做直线l在y轴上的截距 注：截距_距离(填“是”或“不是”) (2)直线方程的五种形式： 名称 方程 适用范围 点斜式 k存在 斜截式 k存在 两点式 截距式 a0且b0 一般式 平面直角坐标系内的所有直线 注：斜截式是_的特例；截距式是_的特例 (3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为_； 若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为_； 若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为_； 若x1x2，且y1y20，直线即为x轴，方程为_自查自纠： 1(1)|x2x1|(2)x2x12y2y12 x1x22y1y22 2(1)正向平行重合00，kPA0，故k0时，为锐角 又kPA2（1）101， kPB1（1）201，1k1. 又当0k1时，04； 当1k0时，34. 故倾斜角的取值范围为0，434，. 故填1，1；0，434，.(2)如图所示，直线l1的倾斜角130，直线l1与l2垂直，则直线l1的斜率k1_，直线l2的斜率k2_ 解：由图可知，2190120，则直线l1的斜率k1tan1tan3033，直线l2的斜率k2tan2tan1203，故填33；3.点拨： 直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式ktan联系在使用过两点的直线的斜率公式ky2y1x2x1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为xx1.在已知两点坐标，求倾斜角的值或取值范围时，用tanky2y1x2x1转化，其中倾斜角0，)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题(1)直线xsiny10的倾斜角的变化范围是() A.0，2 B(0，) C.4，4 D.0，434， 解：直线xsiny10的斜率是ksin， 1sin1，1k1， 当0k1时，倾斜角的范围是0，4； 当1k0时，倾斜角的范围是34，.故选D.(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1，1)和Q(2，2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_ 解：如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA32，kPA2，kl1m， 1m2或1m32， 解得0m12或23m0； 当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点 实数m的取值范围为23，12.故填23，12. 类型二求直线方程 根据所给条件求直线的方程 (1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为，则sin1010(0，)， 从而cos31010，则ktan13. 故所求直线的方程为y13(x4)，即x3y40. (2)若截距不为0，设直线的方程为xaya1， 直线过点(3，4)，3a4a1，解得a1. 此时直线方程为xy10. 若截距为0，设直线方程为ykx，代入点(3，4)， 有43k，解得k43，此时直线方程为4x3y0. 综上，所求直线方程为xy10或4x3y0. (3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x50. 当直线斜率存在时，设其方程为y10k(x5)， 即kxy(105k)0. 由点到直线的距离公式，得105k1k25，解得k34. 此时直线方程为3x4y250. 综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.点拨： 本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线求满足下列条件的所有直线方程： (1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍 解：(1)根据题意，设直线l在x，y轴上的截距均为a， 若a0，即l过点(0，0)和(4，1)， l的方程为y14x，即x4y0. 若a0，则设l的方程为xaya1， l过点(4，1)，4a1a1， 得a5.l的方程为xy50. 综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50. (2)由已知设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2. tan3，tan22tan1tan234. 又直线经过点(1，3)， 因此所求直线方程为y334(x1)， 即3x4y150.类型三直线方程的应用 (1)已知点A(4，1)，B(8，2)和直线 l：xy10，动点P(x，y)在直线l上，则PAPB的最小值为_ 解：设点A1(x1，y1)与A(4，1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，P0A1P0A，PA1 PA.PAPBPA1 PBA1BA1P0P0BP0AP0B. 当P点运动到P0点时，PAPB取到最小值A1B. 点A，A1关于直线l对称，由对称的充要条件知， y11x1411，x142y11210， 解得x10，y13， 即A1(0，3) (PAPB)minA1B82（1）265.故填65.点拨： 平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据(2)直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点 当|OA|OB|最小时，求l的方程； 若|PA|PB|最小，求l的方程 解：依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0) 令y0，可得A14k，0； 令x0，可得B(0，4k) |OA|OB|14k(4k)5k4k 5k4k549. 当且仅当k4k且k0， 即k2时，|OA|OB|取最小值 这时l的方程为2xy60. |PA|PB|4k2161k2 41k（k）8(k0)， 当且仅当1kk且k0， 即k1时，|PA|PB|取最小值 这时l的方程为xy50.点拨： 直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决已知直线l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程 解：(1)证明：将直线l的方程变形得k(x2)(1y)0，令x20，1y0，解得x2，y1， 无论k取何值，直线l过定点(2，1) (2)当直线l的倾斜角0，90时，直线l不经过第四象限，k0. (3)由l的方程，得A12kk，0，B(0，12k) 依题意得12kk0，解得k0. S12|OA|OB|1212kk|12k| 12（12k）2k124k1k4 12(224)4， 当且仅当4k1k且k0，即k12时等号成立， Smin4，此时直线l的方程为x2y40.1直线的倾斜角和斜率的关系，可借助ktan的图象(如图)来解决这里，0，)，k的范围是两个不连续的区间这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在进行分类讨论 2直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况 3在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单 4对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2B20而出现增解1若ABC0，则直线AxByC0必经过点() A(0，1) B(1，0) C(1，1) D(1，1) 解：将点(1，1)代入AxByC0，得ABC0， 直线AxByC0必过点(1，1)故选C. 2下列命题中，正确的是() A直线的斜率为tan，则直线的倾斜角是 B直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan C直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 D直线的倾斜角0，22，时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 解：因为直线的斜率ktan，且0，)时，才是直线的倾斜角，所以A不对；因为任一直线的倾斜角0，)，而当2时，直线的斜率不存在，所以B不对；当0，2时，斜率大于0；当2，时，斜率小于0，C不对故选D. 3已知直线的倾斜角为120，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为() Ay3x2 By3x2 Cy3x2 Dy3x2 解：ktan1203，且直线在y轴上的截距为2， 由斜截式得y3x2.故选C. 4已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是() A1 B1 C2或1 D2或1 解：显然a0，由题意得a2a2a，解得a2或1.故选D. 5将直线l沿y轴的负方向平移a(a0)个单位，再沿x轴正方向平移a1个单位得直线l，此时直线l与l重合，则直线l的斜率为() A.aa1 Baa1 C.a1a Da1a 解：设直线l的倾斜角为，则根据题意，有tan()tanaa1，ktanaa1.故选B. 6(2013北京海淀模拟)已知点A(1，0)，B(cos，sin)，且AB3，则直线AB的方程为() Ay3x3或y3x3 By33x33或y33x33 Cyx1或yx1 Dy2x2或y2x2 解：AB（cos1）2sin222cos3， cos12，sin32. 当点B的坐标为12，32时，直线AB的方程为y33x33；当点B的坐标为12，32时，直线AB的方程为y33x33.故选B. 7直线l：xsin30ycos15010的斜率是_ 解：由题意得直线l的斜率ksin30cos150tan3033，直线l的斜率为33.故填33. 8若直线l的斜率为k，倾斜角为，而6，423，则k的取值范围是_ 解：ktan ，6，423， 3k0，b0)，将点P(3，2)代入得3a2b126ab，得ab24，从而SAOB12ab12，当且仅当3a2b时等号成立，这时kba23，从而所求直线l的方程为2x3y120. 解法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k0， 可设直线l的方程为y2k(x3)(k0)， 则A32k，0，B(0，23k)， SABO12(23k)32k 1212（9k）4k 12122（9k）4k 12(1212)12，当且仅当9k4k，即k23时，等号成立 ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x3y120. 已知ABC中，顶点A(4，5)，点B在直线l：2xy20上，点C在x轴上，求ABC周长的最小值 解：设点A关于直线l：2xy20的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时ABC的周长取最小值，且最小值为A1A2. A1与A关于直线l：2xy20对称， y15x1421，2x142y15220， 解得x10，y17.A1(0，7)易求得A2(4，5)， ABC周长的最小值为A1A2（40）2（57）2410.20 20